定义定义1 1 设 为Hilbert空间 到 中的有界线性算子，若 ，则称 为 上的自伴算子；若 ，则称 为 上正常算子；若 是 到 的一对一映射，且 ，则称 为 上的酉算子在矩阵理论中，我们已经研究过Hermitian阵，酉阵和正常阵，下面我们要在Hilbert空间中建立起相应的自伴算子、酉算子和正常算子的概念，并讨论这些算子的一些基本性质9.5自伴算子、酉算子和正常算子自伴算子、酉算子和正常算子 TTXX*TTTX*TTT TTXXXT*1TTTX 当 是自伴算子时，由 的定义，对一切 ，成立显然自伴算子必为正常算子又由酉算子的定义，成立T*T,x yX,(1)Tx yx Ty*(2)T TTTI其中 为 上恒等算子；反之，若（2）式成立，则 为 上的酉算子由（2）式知，酉算子必为正常算子正常算子不一定是酉算子或自伴算子，例如 ，则 ，所XITX2TiI*2TiI 以 ，即 是正常算子，但显然 不是自伴算子和酉算子4TTT TITT 引理引理1 1 设设 为复内积空间为复内积空间 上有界线性上有界线性算子，那么算子，那么 的充要条件为对一切的充要条件为对一切 ，成立成立TX0T xX,0 (3)Tx x 证明 若 ，显然有 ；反之，如果（3）式对一切 成立，对任意 及数 ，令 ，由条件得0T,0Tx xxX,x yXvxy20,|,Tv vTx xTy yTx yTy x ,(4)Tx yTy x 令 ，则 ，此时由（4）式,0 (5)Tx yTy x 又若令 ，则由（4）式i i1,0 (6)Tx yTy x 将（5）式与（6）式相加，得到 ，由于 是 中的任意向量，所以 。
证毕0Tx y,x yX0T 定理定理1 设设 为复为复Hilbert空间空间 上有界线上有界线性算子，则性算子，则 为自伴算子的充要条件为对一为自伴算子的充要条件为对一切切 ，是实数TXTxX,Tx x 证明证明 若 为自伴算子，则对所有 ，有因此 是实数；反之，如果对所有 ，皆为实数，则TxX,Tx xx TxTx x,Tx xxX,Tx x*,Tx xTx xx T xT x x 所以 由引理1，即 自伴，证毕),0T T x x*TTT 定理定理2 2 设设 和和 是是HilbertHilbert空间空间 上两个自上两个自伴算子，则伴算子，则 自伴的充要条件为自伴的充要条件为 1T2TX12T T1221T TT T 证明证明 由共轭算子性质，*122121(),T TTTT T所以，自伴的充要条件为 ，证毕12T T1221T TT T 定理定理3 3 设设 是空间是空间 上一列自伴算子，并上一列自伴算子，并且且 ，那么，那么 仍为仍为 上自伴算子上自伴算子nTXlimnnTTXT 证明证明 因 ，由于 ，所以 ，但 自伴，故 ，因此由极限的唯一性，成立 0()nTTn*|()|nnTTTT*limnnTTnT*limnnTT*TT 定理定理4 4 设设 及及 是是HilbertHilbert空间空间 上两个酉上两个酉算子，那么算子，那么UVX（1）是保范算子，即对任意 ，成立 ；（2）当 时，；（3）是酉算子；（4）是酉算子；（5）若 是 上一列酉算子，且 收敛于有界算子 ，则 也为酉算子。
Ux X|Uxx0X|1U 1UUV,1,2,nUn XnUAA 证明证明 （1）由酉算子定义2*2|,|UxUx Uxx U Uxx xx （2）由（1）立即可得3）因 为一一到上，故 也一一到上，并且由于 ，所以 仍为酉算子U1U1*11()()UUUU1U （4）因 及 为酉算子，故为一一到上映射，所以 仍为一一到上映射，且 所以 仍为酉算子UVU VU V*111()()U VVUVUU V （5）当 时，因 ，所以 ，即 ，因此 同理可证 故 为酉算子n nUA*|0nnUAUA*nUA*limnnnA AU UI*AAIA 定理4中的（1）的逆命题不一定成立，即保范算子不一定为酉算子例1 设 ，为 中如下定义的算子，对任何 ，令显然 是 到 中的线性算子，并且所以 是保范算子但 的像为 中第一个坐标为0的向量全体故 不映射到上，因此不是酉算子称 为 上单向移位算子2XlT2l2123(,)l 12312(,)(0,).T T2l2l22123121|(,)|(0,)|.iiT TT2lTT2l 定理定理5 5 设设 为复为复HilbertHilbert空间空间 上有界线性上有界线性算子，那么算子，那么 是酉算子的充要条件为是酉算子的充要条件为 是映射是映射到上的保范算子。
到上的保范算子TXTT 证明证明 由定理4的（1），只要证明充分性即可设 为 到 上的保范算子，所以 是一对一的，并且对任何 ，有所以 由引理1，又因 是映射到 上的，故 在全空间 上有定义，由于 ，所以 ，即 这就证明了 是酉算子TXXTxX*,TTx xTxTxx x*(),0T TI x x*T TITX1TX*T TI*11T TTT*1TTT 下面介绍正常算子的一些基本性质设 是复Hilbert空间 上的有界算子，令TX*,22TTTTABi容易证明 和 是自伴算子，并且有 称 和 分别为算子 的实部和虚部，并称 为算子 的笛卡尔分解TTABTAiBABT A iB 定理定理6 6 设设 为复为复HilbertHilbert空间空间 上有界线性上有界线性算子，算子，为为 的笛卡尔分解，则的笛卡尔分解，则 是正常算是正常算子的充要条件为子的充要条件为 TXAiBTTABBA 证明证明 因所以因此，的充要条件为*(),TAiBAiBAiB*22()(),TTAiB AiBABiABiBA*22()(),T TAiB AiBABiBAiAB*T TTT 证明证明 必要性：若 ，则对任何 ，成立所以 。
充分性：若对任何 ，成立 ，则 ，即 BAABBAAB ABBA 定理定理7 7 设设 为复为复HilbertHilbert空间空间 上有界线性算上有界线性算子子,则则 是正常算子的充要条件为对任何是正常算子的充要条件为对任何 ，成，成立立 TXTxX*|T xTxxX*TT TT*2*|,T xT x T xTT x xT Tx x2,|Tx TxTx*|T xTxxX*|T xTx*(),T TTTx xT Tx xTT x x 2*2|0TxT x由引理1，即 是 上正常算子TT TTXT。