第一单元第一单元 常微分方程常微分方程一、两个一、两个实案案例实案案例引言：微分方程的应用（人口增长、自动引言：微分方程的应用（人口增长、自动控制、市场控制、力学、电学）控制、市场控制、力学、电学）项目项目1(1.1)一一阶微分方程的阶微分方程的解法解法任务任务1-1 微微分方程的基本分方程的基本概念概念引言：微分方程的应用（人口增长、自动引言：微分方程的应用（人口增长、自动控制、市场控制、力学、电学）控制、市场控制、力学、电学）解解)(xyy 设所求曲线为设所求曲线为xdxdy2 曲线上任意点的坐标为曲线上任意点的坐标为(x,y)，则，则案例案例1.31.3 列车在平直线路上以列车在平直线路上以20m/s20m/s的速度行驶，的速度行驶，制动时列车获得加速度制动时列车获得加速度m/s.m/s.问开始制动后多长问开始制动后多长时间列车才能停住，在这段时间内列车行驶了多时间列车才能停住，在这段时间内列车行驶了多少路程？少路程？解解 设列车开始制动的时刻为设列车开始制动的时刻为t=0t=0，制动，制动t t秒行驶了秒行驶了s s米后停止，由导数的力学意义，米后停止，由导数的力学意义，列车制动阶段运动规律的函数列车制动阶段运动规律的函数 应满应满足足)(tss)1(4.0)(tsS(t)还应满足.20)0(;0)0(ss（1）式两边积分得：14.0ctdtdsv两边再积分得：2122.0ctcts.20)0(;0)0(ss代入以上两式得：将0,2021cc,204.0tvtts202.02令0v得)(504.020st)(500 ms 定义定义1 含有自变量、未知函数及未知函数的导数含有自变量、未知函数及未知函数的导数(或微分或微分)的方程，叫做的方程，叫做微分方程微分方程.未知函数是一元函数的微分方程叫做未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程常微分方程.微分方程中未知函数的导数（或微分）的最高阶微分方程中未知函数的导数（或微分）的最高阶数，称为数，称为微分方程的阶微分方程的阶1.微分方程的定义微分方程的定义2.微分方程的阶微分方程的阶二、基本概念二、基本概念可不出现可不出现x yyy，yy，y y(n)(n)特点特点 判定下列等式是否微分方程？如果是，指出判定下列等式是否微分方程？如果是，指出它的阶数。
它的阶数1)y+2xy=e x (2)y-5 y=2 x 2-x+1 (3)2 y-3(y)3+5y=8x (4)y 2-x+1=0 (5)(sinx)=cosx(1)y=0(1)y=0 (7)(y)(7)(y)4 4=e =e x yx y 定义定义2 如果一个函数代入微分方程后，方程两端如果一个函数代入微分方程后，方程两端恒等，则称此函数为微分方程的恒等，则称此函数为微分方程的解解1）通解：通解：如果微分方程的解中含有任意常数，如果微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的同，这样的解叫做微分方程的通解通解3.微分方程的解微分方程的解（2）特解：特解：在通解中，给任意常数以确定的值在通解中，给任意常数以确定的值而得到的解称为而得到的解称为特解特解3）初始条件初始条件：用来确定通解中任意常数的条件：用来确定通解中任意常数的条件 00yyxx 如案如案案例案例1xedxdydxeyx,Ceyx即（通解通解）2,0yx时其中（初始条件初始条件）,1 C求求得得.1xey所求曲线方程为（特解特解）解解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将xdtxd.0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解是原方程的解故故ktCktCx 4.指出微分方程的阶、通解或特解指出微分方程的阶、通解或特解一阶微分方程的一般形式为一阶微分方程的一般形式为 F（x，y，y）=0下面我们仅讨论几种特殊的一阶微分方程下面我们仅讨论几种特殊的一阶微分方程 及解法及解法则该微分方程称为可分离变量的微分方程则该微分方程称为可分离变量的微分方程 任务任务 1-2(1.1.2)分离变分离变量法量法 如果一个一阶微分方程如果一个一阶微分方程 F（x，y，y）=0可化为可化为dxxfdyyg)()(的形式，的形式，dxxfdyyg)()(设设函函数数)(yG和和)(xF分分别别为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数,CxFyG )()(两边积分，得两边积分，得 则微分方程的通解为：则微分方程的通解为：解解分离变量分离变量,2dxxydy 两端积分两端积分,2dxxydy1323121Cxycxy3232（C=2C1)案例案例1.51.5 求解微分方求解微分方程程yxdxdy2的通解。
132232Cxy即即为方程的通解为方程的通解案例案例1.1 求微分方程求微分方程 xydyxydy+dxdx=y y 2 2dx dx+ydyydy 的通的通解解 解解分离变量分离变量,1112dxxyydy两端积分两端积分,1112dxxyydy),1(1121)1(22xdxyydCxyln)1ln()1ln(2222)1(1xCy故方程的通解为故方程的通解为案例案例1.7 求微分方程求微分方程 满足初始满足初始条件条件y（0）=1的特解的特解 xxeyye)1(解解分离变量分离变量,1dxeeydyxx两端积分两端积分Ceyx)1ln(212故所求的特解为故所求的特解为由初始条件由初始条件y（0）=1，得，得2ln21C2ln21)1ln(22xey)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:,0)(xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.,0)(xQ当当案案案案例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx ,32 xyyy,1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.任务任务1-3(1.1.3)常常数变数变易法易法.0)(yxPdxdy,)(dxxPydy ,)(dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)(dxxPCey线性齐次方程线性齐次方程我们先讨论我们先讨论 一阶齐次线性微分方程的一阶齐次线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)下面我们用常数变易法在齐次线性方程的通解下面我们用常数变易法在齐次线性方程的通解式的基础上来求解非齐次线性方程式的通解，式的基础上来求解非齐次线性方程式的通解，即把齐次线性方程的通解式中的即把齐次线性方程的通解式中的C看作是看作是x的的函数函数C（x）.设设是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解dxxPexCy)()(把它代入非齐次方程，由此来确定待定把它代入非齐次方程，由此来确定待定函数函数C（x）.这时这时,)()()()()(dxxPdxxPexPxCexCy代代入入原原方方程程得得和和将将yy,)()()(CdxexQxCdxxP),()()(xQexCdxxP两边积分得两边积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:)()()(CdxexQeydxxPdxxPdxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解案例案例 求微分方程 的通解.1)(sin)(cosyxyx解一解一 将原方程变形为 xyxysec)(tan（1）先求对应齐次方程 0)(tanyxy的通解.xCCeCeCeyxxdxdxxPcoscoslntan)(（2）把 换成 ，即设 C)(xCxxCycos)(（3）把它代入方程，化简后得：xxC2sec)(两边积分，得 CxxC tan)(（4）把C(x）代入，即得原方程的通解是：xCxycos)(tan解二解二 我们也可以直接利用通解公式求解，此时,tan)(xxPxxQsec)(CdxexQeydxxPdxxP)()()(CdxxeexdxxdxtantansecxCxcos)(tan，得通解 案例案例1.9 求微分方程求微分方程 x2dy+(2xy x+1)dx=0 满足初满足初始条件始条件y(1)=0的特解的特解,2)(xxP,1)(2xxxQCdxexxeydxxdxx2221解解212xxyxdxdyCdxexxexxln22ln21.21122Cxxx把初始条件把初始条件 y(1)=0 代入上式，得代入上式，得C=1/2故所求方程的特解为故所求方程的特解为.211212xxy补充：求微分方程补充：求微分方程(y 2-1 x)dy+2ydx=0的通解的通解（y为自变量）为自变量）,3)(yyP,2)(yyQCdyeyexdyydyy332解解23yxydydxCdyeyeyyln3ln32.213Cyy.232Cyyx故所求方程的通解为故所求方程的通解为Cdyyyy332。