材料力学解题指导-晋芳伟1图示为某构件内危险点的应力状态(图中应力单位为 MPa),试分别求其第二、第四强度理论的相当应力 r2、 r4 ( 0.3)解：由图可见，z 60Mpa为主应力之一因此，可简化为二向应力状态，且有:x 40Mpa, y 20Mpa, xy 30Mpa于是有：40max 40 20min 230252.4{32.4MPa所以:1 60MPa2 52・4 MPa ， 3 32.4 MPa2、求如图所示悬臂梁的内力方程，并作剪力图和弯距图，已知20KN.m10KN m(0 x 1m)10(2 x)(KN m)(0 x0(1m x 2m)10KN m(1 x 2m)M(x)"P=10KN,M=10KN • mr21(2 3) 54Mpa'12 2 2r4Jc1 2 2 3 3 1 88.8Mpa2解：分段考虑：1、 AC段：(1) 剪力方程为：Q(x)(2) 弯矩方程为：M (x)2、 CB段：(1) 剪力方程为：Q(x)(2) 弯矩方程为：M(x)3 、内力图如下：Q(x)f 10KNl1,l2 ,l3 且200Mpa，a 304Mpa，b 上125 .12Mpa），三杆两端均为铰支，长度分别为li212 413 5m。
试求各杆的临界压力解:1,三根杆的柔度分别为:上 31.25i旦 62.5可见:Fcr111—100Fcr 2Fcr 3杆适用欧拉公式,cr1 Acr2Acr3A2E d22杆适用经验公式，3杆适用强度公式2536KNd2——4710KN 4d2s ——4823KNs 4(a b )4、已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：仁240 10-6， 2= - 160 10-6,弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3，试求该点处的主应力及另一主应 变所以，该点处为平面应力状态210 1091 0.32(2400.3 160) 1044.3MPa210 1091 0.32(1600.3 240) 1020.3MPa1 44.3MPa; 2 0; 320.3MPa;0.3210 109(22.3 44.3)10634.3 107.—铸铁圆柱的直径为40mm,其一端固定，另一端受到315 N.m的力偶矩作用若该铸铁材料的许用拉应力为[t] 30MPa，试根据强度理论对圆柱进行强度校核解：圆柱表面的切应力最大，即：max Jax/W Tmax /( d?/16) 25Mpa圆柱表面首先破坏，其上任一点的应力状态为纯剪切，见图 325MPa图3进行应力分析可得：2max0 00 0 25解：(1):一E 92.9 1，欧拉公式不成立min2 \225MPa1 25MPa ， 2 0， 3 25MPa由第一强度理论有：1 25MPa t满足强度条件。
8.—根圆截面压杆两端固定，工作压力参数为：E 210GPa， s 235MPaF=1.7KN，直径为d=8mm，材料为A3钢，其性能p 240MPa，a 304MPa，b 1.12Mpa杆的长度为I 260mm，规定的稳定安全系数是nst3.5试校核压杆的稳定性61.6即有1 ，宜米用经验公式cr231.2MPaFcr(3)1 d24工作安全系数：crAcr11.62 KNFcr 11.62 nF 1.7压杆稳定性满足9某传动轴设计要求转速n = 500 r / min ,输入功率N1 = 500马力，输出功率分别N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa，[ ]=70M Pa，[ ]=1dm，试确定：①AB段直径d1和BC段直径d2 ?②若全轴选同一直径，应为多少？③主动轮与从动轮如何安排合理？N1N2AC500N3400解：(1)计算外力偶矩m 7024N(N m) nH024(4 分)据扭转强度条件：， max Tmax/W [ ]，Wt d3/16可得：d1 80mm, d2 67.4mm由扭转刚度条件：(Tmax/Glp)(180/ ) [ ],Ip d4/32可得:d14mm,d274.4mm综上所述，可取： d1 85mm,d2 75mm⑵ 当全轴取同一直径时，d d1 85mm⑶ 轴上扭矩的绝对值的越小越合理，所以，1轮和2轮应该换位。
换位后，轴的扭矩如 图所示，此时,轴的最大直径为75mm(kNm)2.814—4.2112 •如下图所示等截面圆轴，主动轮的输入功率 PA=350kW，三个从动轮输出功率PB=100kW， PC=130kW， PD=120kW轴的转速 n=600r/min，剪切弹性模量 G 80GPa，许用剪应力 60MPa，许用单位扭转角 1/m试：画出该传动轴的扭矩图，并确定该等截面圆轴的直径不考虑转轴的自重和弯曲变形）c cPa350 klmA9550」9550Nm5570.83J mn600mB9550 PB9550100 Nm1591.66k N mn600mC 9550pC 9550 13-Nm 2069.17N mn600mC 9550 空 9550 120 N m 1910N m n 600100kW130kW120kW1591.66(a)解：（1 ）计算外力偶矩:（2）画扭矩图如图（b）所示可见，内力最大的危险面在 AC段内，最大扭矩值| Tmax I =3979.17N?m3）确定轴的直径d1）按强度条件得:maxTmax60MPad116T max 3q v 60 10669.64mm2）按刚度条件得T max 180maxGl pTmax 1804-G—32d2J32 180Tmax J32 180 3979.17c c 80 109 1 m2g73.40mm故 D max(d1,d2) 73.40mm13、悬背梁之某处收到支撑，如图（a）所示。
悬臂梁在集中载荷作用下的挠曲线方程分别为：fl6EIx)，w6EIx)(0x b）求支座B的反力，梁的抗弯刚度为Elc)解：（1）本题为超静定问题 建立相当系统如图（b）、 所示2） B处的挠度为0,即:yB （yB）F由叠加法得，见图(yB)FBy(b)(d):(yB)F F(2a)26EI (9a2a)14Fa33EI(yB)FBy8FBya3EIMa(c)FByB F14Fa33EI8F Bya3EI(dd)FByFBy7fD 32mm， d 20mm和14.请校核图示拉杆头部的剪切强度和挤压强度已知图中尺寸h 12mm，杆的许用切应力 100MPa，许用挤压应力 jy 240MPa鹼 = SOkNr = ^=50^ = ^^ll!_ = 66JMPa
已知梁材料的许用正应力应力 60MPa，P=80kN，不考虑梁的自重试：(1)校核的正应力强度 (2)校核 的剪应力强度3)采用第三强度理论校核梁 B的右截面腹板上、腹板与翼板的交接处 a点 的强度1200 | I 1(b)V图0.7P(c)M图解：(1)外力分析，荷载与轴线垂直，发生弯曲变形截面水平对称轴为中性轴 z轴＜求截面的几何性质1 3 1 3 5 4Iz 0.120 0.1803 (0.120 0.015) 0.1203 4.32 10 5m412 12Sz,max 120 30 75 60 15 30 297000mrh 2.97 10 4m5Sa 120 30 75= 27000mm 2.7 10 4m"(2)内力分析，内力图如图(b)、(c)所示B支座的右截面的弯矩值最大，为正应力强度危险面；AB段横截面的剪力最大，为剪应力强度危险面； B支座的右截面的弯矩值、剪力都最大，为第三强度理论的危险面MB 0.7 80 56(kN m) ，VB 80kN = Vab(3) 应力分析，判危险点：B支座的右截面的上下边缘点都是正应力强度的危险点； AB段中性层上各点是剪应力强度 的危险点。
B支座的右截面的a点既有正应力又有剪应力处于复杂应力状态4) 对梁进行正应力校核maxmaxymax56 103 (90 10 3)4.32 10(Pa)116.67(MPa)120(MPa)故，正应力强度足够5) 对梁进行剪应力强度校核V Szmax 80 103 (2.97 10 4)max 一 5 (Pa) 36.67(MPa) 60(MPa)I zb ( 4.32 10 5) 0.015(6) 按第三强度理论对梁B支座的右截面a点进行强度校核MBya356 10Iz54.32 10 50.0677.77 106(Pa)77.77(MPa)Vb SaI zb3 480 10 (2.7 10 )»5 Pa(4.32 10 ) 0.01533.33(MPa)77.772 4 33.332 102.43(MPa)120MPa故，梁的强度足够17•从某钢构件中取下的一个三向应力单元体状态如图所示，应力单位为 MPa已知泊松比0.3，许用应力 100MPa，试求主应力及单元体内最大切应力，并按第一和第二强度理论校核其强度cr* — 6tiMPa解：闵单元体左、右 截面上无切应力，所以 为丄平而* Jt上的正应 力即为一个主应力T在单元休上平行于的截面1:的雋力佰与无关。
所以在 确定另外两个卞应力时，可用图h所示的平血应力状|h由式佑・5k并代入込=—如 a=()r 得£73L23MPa-5L23MPa根据主应力的排序=^ = 6{)MPa6 =(j =31,23MPa^ =(7" = -51 ?3MPa由式〔乩川）求单元体内的最大切应力miK=乎=坐学仏5杯第一强度理论（最大拉应力理论）第二强度理论（最大拉应变理论）2 3 60 0.3 31.23 51.23 66MPa18 .已知P、h、b、丨，求图示偏心拉杆的最大拉应力和最大压应力最大拉应力发生在横截面的A点；myPb2最大压应力发生在横截面的B点myPb2PhPbN MzMyP丄ii 27Plmax A WzWybhbh2b2hbhPh PbN MzMyP22 5Pcmax A WzWybhbh2b2h bh6620 .图示杆件由两种材料在i-i斜面上用粘结剂粘结而成已知杆件横截面面积A 2000 mm2，根据粘结剂强度指标要求粘结面上拉应力不超过 10MPa，剪应力不超过o 6MPa，若要求粘结面上正应力与剪应力同时达到各自容许值，试给定粘结面的倾角 a并确定其容许轴向拉伸载荷P解:根据轴向拉伸杆件斜截面上止应力和剪力公式, 各自的容许条件为p% = crt cos2 a = —cos2 a = a, （日）3)PT„ = sm tz cos ar =——sin cr cos ar = r ” A式（b）除以式（日），得lantz = 0.6 , «=30. 96a 窃 3F将此结果代入式佃），得COS" ty10xl0ax2000xl0=2 7.2 AV可利用式（b）校核结果是否止确27.2x10’200071(Fsin3T cos3F21 •不计自重的矩形悬臂梁尺寸、荷载如图所示。
两集中力大小都为 P,其中一个与梁的轴线重合，另一个与轴线垂直；而均布荷载的合力也为大小 P梁采用铸铁材料制成，其许用拉应力 40MPa，许用压应力试确定许可荷载P的大小120MPa不考虑横力弯曲的剪力对强度的影响,解：（1）外力分析判变形：梁由于受到两个平面的外力和轴向力作用，将生斜弯曲和轴 向压缩变形2）内力分析判危险面：固定端右截面弯矩的最大1 2 1 P 2 LM z,max Pyl 专 ql 2 Pcos30"专专 2 V3P P 2.732PMy,max Pz l 2 Psin30 PN P（3）应力分析判危险点：固定端右截面的最上最后角 B点具有最大拉应力，以及最前最下角A点为危险点具有最大压应力4）强度计算，确定截面的尺寸9maxNAMz,max MWZA y,maxWy16.67P910.67P500P%iaxNM z,maxM y,maxAW4Wy16.67P910.67P500PP28.69kNP84.07kNP2.732PP0.20.30.2 0.320.3 0.2266(T40106(T120106故，梁的许可荷载P的大小:P 28.69kN23、图示木梁受以可移动荷载F = 40 kN作用.已知10MPa3MPa。
木梁的截面为矩形h其咼宽比b试选择梁的截面尺寸Fsmax=40kNmax2 3 FS max2 bh由剪应力强度计算b=115.5mm, h=173mm;由正应力强度计算M max=10kN.mM maxmaxb=138.7mm, h=208mm24、如图所示为一 T字形铸铁梁，已知受弯时抗拉许用应力 t 30MPa，抗压 c 60MPa9kN 4kN(a)试校核此梁是否安全图示截面尺寸长度单位为 mm1)作弯距图MB如圈⑹*可能危险面为G B： =15kNmf 划广=7.0热畑2)计算抗弯戡面系数 设参考坐标轴農形心坐标：ip则80x20x10+120x205(84) “ 52 ta m比 50x20 + 120x20g 9/.=—k2j+2x8x42-+ — xl23+ 12x2x2.8- = 76W 12 12-'S'W；—■ 86.7o?r'3）危险点应力计算由于C面受正弯距，上缘岀现压应力，下缘出现拉应力* B面受负弯距，上缘出现担应力，下缘出现压应力，考虑 到|畋|＜阿』忒」＜|£小所以C面上缘非危险点，其他 三个危险点因应力为2 5x10J{'面 （碍汀）= =28^xlOeN/m2 =28+8MPai + 86.7 x]0-6B 面 9.） = 4X>X1°\ = 272x106N/id2 = 27.2MPa* " 147 x 10^4.0xl03S^TxHT7= 46.lx]0tiN/m2 = 46.BPaf面有»28,8MPa <[