离散空间离散空间tP离散时间离散时间无效网格无效网格 有效网格有效网格点中心网格点中心网格块中心网格块中心网格xyyzx模拟区网格图（井位、边界、断层）模拟区网格图（井位、边界、断层）五点法注水开发五点法注水开发5年后年后XW3层含水饱和度分布图层含水饱和度分布图五点法注水开发五点法注水开发20年后年后XW3层含水饱和度分布图层含水饱和度分布图rzxxPxxPxPx)()(lim0 前前差商差商 xxxPxPxPx)()(lim0 后后差商差商 xxxPxxPxPx2)()(lim0 中心中心差商差商 Px函函数数P(x+x)利利用用Talor公公式式逼逼近近导导数数)()()()(!4)(!3)(!2)()()()4(432xOxPxxPxPxxPxxPxxPxxPxxP (*)2()(2)()(!3)2/()(!2)2/()(2)()2(32xOxPxxPxPxxPxxPxxPxxP 1、一阶前差商一阶前差商 xxPxxPxP)()(，xPPxPiii1 忽略忽略截断截断误差误差)(xO 2、一阶后差商一阶后差商 xxxPxPxP)()(，xPPxPiii1 忽略忽略截断截断误差误差)(xO 3、一阶中心差商一阶中心差商 xxxPxxPxP2)()(，xPPxPiii211 忽略忽略截断截断误差误差)(2xO xxxPxxPxP)2/()2/(，xPPxPiii2/12/1 忽略忽略截断截断误差误差)2/(2xO 1、二二阶阶差差商商 将将方方程程(*)正正负负相相加加,可可得得:.)(12)()(2)()()4(4 2xPxxPxxPxxPxxP 上上式式两两端端同同除除2x,整整理理得得:)()()(2)()(22 xOxxxPxPxxPxP 忽忽略略二二阶阶截截断断误误差差)(2xO 222)()(2)(xxxPxPxxPxP，211222xPPPxPiiii(用节点位置)1、一种常用二阶差商处理方法一种常用二阶差商处理方法 xxukxukxkxxxxx2221，)(2121xxx 112),(),(1xtyxutyxxuxuxx，222),(),(1xtyxxutyxuxuxx xxtyxxutyxukxtyxutyxxukxukxxxxx222112),(),(),(),(21 xx1 1xx2 2xx1、抛物型方程、抛物型方程：一维不稳定渗流方程一维不稳定渗流方程：tPxP22（1）显示差分：）显示差分：利用 P（x，t）关于 t 的一阶向前差商和关于 x 的二阶差商，在点（i，n）的差分方程。
tPPxPPPninininini12112)()21(111ninininiPPPP，2xt，截断误差截断误差：)(2xtO 从方程可以看出：如果已知第 n（本步时间）的值niP，就可以求得第 n+1时刻（下步时间）的值1niP因此如初始条件，即 n=0 时各网格的 P 值已给定，就可以依次求得以后各时间的 P 值这种差分格式是显式差分格式在显式差分格式中：只有一个未知数1niP，由一个方程就可以求出简单，精度较差，时间步长受到严格限制，基本不用2）隐式差分）隐式差分：利用利用 P（x，t）关于）关于 t 的一阶向后差商和关于的一阶向后差商和关于 x 的二阶差商，的二阶差商，在点在点（i，n+1）的差分方程）的差分方程：tPPxPPPninininini12111112 ninininiPPPP)()21(11111 从方程可以看出：如果已知第从方程可以看出：如果已知第 n（本步时间）的值（本步时间）的值niP，为了求得第，为了求得第 n+1 时刻（下时刻（下步时间）的值步时间）的值1niP，必须解一个线性代数方程组，必须解一个线性代数方程组即：要想求出即：要想求出1niP值，需用值，需用到第到第 n 时刻的时刻的 P 值，值，也要用到第也要用到第 n+1 时刻的时刻的 P 值。
这种差分格式是值这种差分格式是隐隐式式差分格差分格式式在隐隐式差分格式中：式差分格式中：在点（在点（i，n+1），），用到（用到（i-1，n+1）、（）、（i+1，n+1）、（）、（i，n）三点在隐式隐式差分格式中差分格式中：只有一个方程，：只有一个方程，23 个未知数，但个未知数，但稳定，稳定，精度好，精度好，广广泛使用以上方程的一般形式：以上方程的一般形式：iiiiiiidPbPaPc11，形成三对角矩阵形成三对角矩阵三三对对角角矩矩阵阵形形式式 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 P P P P 2 2 P P P P P P 3 3 P P P P P P 4 4 P P P P P P 5 5 P P P P P P 1 1 P P P P P P 2 2 P P P P P P 3 3 P P P P P P 4 4 P P P P P P 5 5 P P P P 2、椭圆型方程、椭圆型方程：二维不稳定渗流方程二维不稳定渗流方程 tPyPxP2222 采用：等距网格差分（1）显示差分：）显示差分：在点（i，j，n）的差分方程（图示）tPPyPPPxPPPnjinjinjinjinjinjinjinji,1,21,1,2,1,122)2()2(1,1,1,1,1,njinjinjinjinjinjinjinjiPPPPPPPP 2xt，2yt，截断误差：)(22yxtO 该线性代数方程组在节点（i，j）列方程式，用到（i，j），（i+1，j），（i-1，j），（i，j+1），（i，j-1）五个点。
显式：只有一个方程，1 个未知数，简单，精度较差，时间步长受到严格限制，基本不用2）隐式差分：）隐式差分：在点（在点（i，j，n+1）的差分方程（图示）的差分方程（图示）tPPyPPPxPPPnjinjinjinjinjinjinjinji,1,211,1,11,21,11,1,122 若取正方形网格：若取正方形网格：则：则：yx njinjinjinjinjinjiPPPPPP,1,1,11,1,111,1)14(该线性代数方程组在节点（该线性代数方程组在节点（i，j）列方程式，也要用到（）列方程式，也要用到（i，j），（），（i+1，j），），（i-1，j），（），（i，j+1），（），（i，j-1）五个点，但时刻不同五个点，但时刻不同隐式：只有一个方程，隐式：只有一个方程，5 个未知数个未知数，稳定，广泛使用稳定，广泛使用其一般形式是：其一般形式是：jinjijinijinjijinjijinjijifPdPbPePaPc,11.,11,1,1,1,11,（形成五对（形成五对角矩阵）角矩阵）五五 对对 角角 矩矩 阵阵 形形 式式 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 P P P P P P 2 2 P P P P P P P P 3 3 P P P P P P P P 4 4 P P P P P P P P 5 5 P P P P P P 1 1 P P P P P P P P 2 2 P P P P P P P P P P 3 3 P P P P P P P P P P 4 4 P P P P P P P P P P 5 5 P P P P P P P P 1 1 P P P P P P P P 2 2 P P P P P P P P P P 3 3 P P P P P P P P P P 4 4 P P P P P P P P P P 5 5 P P P P P P P P 1 1 P P P P P P P P 2 2 P P P P P P P P P P 3 3 P P P P P P P P P P 4 4 P P P P P P P P P P 5 5 P P P P P P P P 1 1 P P P P P P 2 2 P P P P P P P P 3 3 P P P P P P P P 4 4 P P P P P P P P 5 5 P P P P P P 3、Crank_Nicolson 差差分分格格式式 Crank_Nicolson 差分格式（简称C_N格式）是综合显式和隐式格式而构建，将空间二阶差商取为n 时刻与n+1 时刻的算术平均值，则：tPPxPPPxPPPnjinjinjinjinjinjinjinji,1,21,11,1,12,1,1)22(21 整理：njinjinjinjinjinjiPPtxPPPtxP,1,2,11,11,21,1)22()22(截断误差：)(2txO 这种差分格式求解精度高，工作量与隐式差不多，在油藏数值模拟中经常采用的格式之一。
4、其其它它差分格差分格式式 时间时间中心中心显式显式差分差分：tPPxPPPnjinjinjinjinji221,1,2,1,1 Dufort_Frankel 差分差分格式格式：tPPxPPPPnjinjinjinjinjinji2)(1,1,2,1!,1,1 Douglas_Jones 校正校正差分差分格式格式：（1）预报预报差分差分格式格式：2/22,2/1,1,122/1,12/1,2/1,1tPPxPPxPPPnjinjinjinjinjinjinji（2）修正修正差分差分格式格式：tPPxPPxPPPPPPnjinjinjinjinjinjinjinjinjinji,1,2/1,12/1,12,1,11,11,1,122)2()2(定定产产条条件件：即即井井以以一一定定产产量量 q 生生产产如如在在网网格格（i，j）上上有有一一口口井井，产产量量 q，则则可可在在渗渗流流方方程程左左边边加加上上产产量量相相，生生产产井井 q 为为负负，注注水水井井 q 为为正正定定压压条条件件：即即井井以以一一定定流流动动压压力力 Pwf 生生产产，这这时时的的 q 未未知知，可可由由给给定定的的井井底底流流动动压压力力 Pwf 和和井井点点所所在在网网格格节节点点的的压压力力 Pij 计计算算：把把网网格格内内井井近近似似看看成成稳稳态态流流动动，符符合合平平面面径径向向流流：)/ln()(2,wewfjijirrPPKhq 如如考考虑虑油油层层弹弹性性和和油油井井表表皮皮效效应应的的影影响响，则则：)43ln()(2,srrPPKhqwewfjiji（一）、内边界条件处理（一）、内边界条件处理关于供给半径关于供给半径 re,不同的学者不同的学者,有不同的公式：有不同的公式：1）、对于各向同性地层，步长：）、对于各向同性地层，步长：yx ,，其等值供给半径：，其等值供给半径：2214.0yxryxree 2）、对于）、对于各向异性各向异性地层，步长：地层，步长：yx ,，其等值供给半径：，其等值供给半径：4/14/12/122/122/128.0yxxyyxxyeKKKKyKKxKKr 。