考研数学模拟试题(数学一)参照答案一、选择题(本题共８小题，每题4分,满分3２分,每题给出的四个选项中,只有一项符合题目规定,把所选项的字母填在题后的括号内）1．设在内是可导的奇函数,则下列函数中是奇函数的是（）. （A）（Ｂ）(C)（D)解 选择B. 由题设知，为偶函数,故为奇函数.2.设 则是的（). （A)可去间断点（B)跳跃间断点(Ｃ）第二类间断点（D）持续点解 选择B. ，，故是的跳跃间断点.3.若函数与在内可导，且，则必有(）.（A） (B)（Ｃ) (D）解 选择C． 由函数与在内可导知， 与在内持续，，，而，故.４.已知级数和分别收敛于，则级数(）．【C】(Ａ)不一定收敛 (B) 必收敛，和为(C)必收敛，和为 (D） 必收敛,和为解 选择D． 由级数收敛知,，设， 的前项和分别为,则,，故，,因此，级数收敛，和为.5.设矩阵与相似，则（）．(A)3 (B) ４ （C） 5 (D) 6解 选择A. 矩阵与相似,则与相似，故.6.设3阶方阵的特性值是,它们所相应的特性向量依次为,令,则（）.(Ａ）（B)(C）(D)解 由于分别为的相应特性值的特性向量,故．7. 设随机变量服从上的均匀分布,则与（)．(A）不有关 （B）有关 （C)独立 （Ｄ）有关且不独立解 选择A. 经计算得,,．8. 设是取自正态总体一种简朴随机样本,则下列结论中错误的是（). (A)（B)(C）(Ｄ）解 选择D. 由一种正态总体的抽样分布知A，B,C都对的,，但是它们不独立,不能推出.二、填空题(本题共６小题,每题４分,满分２４分,把答案填在题中横线上）9.设函数具有持续偏导数，且，,则 . 解 答案为. 方程两边对求导,得，令，得，故.10.微分方程的通解为 . 解 答案为. .11.设，则 ．解 答案为. 12.设为锥面外侧,则 ．解 答案为. 有关面反向对称,有关为偶函数，故 .13.设为阶矩阵，其随着矩阵的元素全为1，则齐次方程组的通解为 .解 答案为，为任意常数. 由题设知，，，且，故的列向量是的基本解系.14.设随机变量与互相独立,且都服从正态分布,则 .解 答案为. .三、解答题(本题共9小题,满分9４分。
解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节）1５. （本题满分9分）设，而是由方程所拟定的隐函数,其中具有持续偏导数,而具有持续导数，求.解 取全微分,，故.1６. （本题满分１0分)设在上持续,且．⑴求;⑵ 设,求级数的和．解 ⑴令，则，故，即,上式两边对求导,得，即.⑵ ，级数， .17. （本题满分1０分)设球体的各点密度与坐标原点到该点的距离成反比(比例系数)，求球体的质量及球体绕轴旋转的转动惯量.解 由题设知，球体上任一点的密度，球体的质量.转动惯量.１8. (本题满分11分）设函数在上持续,在内可导,且，证明：存在，使得．证 令，则,由积分中值定理知,存在,使得,即,由罗尔定理知,存在，使得,即，即.19. (本题满分10分）（数学一）证明:在右半平面上，曲线积分与途径无关，并求一种二元函数，使得．证 ,，，在右半平面上,，故曲线积分与途径无关.解 所求函数，取积分途径为到，再到的折线段,则.20. （本题满分１1分）设二维随机向量联合概率密度为求⑴条件概率密度;⑵概率密度.解 画出联合概率密度的非零区域.⑴有关的边沿密度条件概率密度⑵的取值范畴为当时，,当时，２1.(本题满分11分)设是取自总体一种简朴随机样本,的概率密度为，⑴求未知参数的矩估计量；⑵求未知参数的最大似然估计量.解 ⑴，令，因此的矩估计为．⑵似然函数, ，解得,,因此的最大似然估计为.２2.(11分)已知两个向量组与．⑴为什么值时，两个向量组等价?⑵两个向量组等价时,求出它们之间的线性表达式.解 ⑴对矩阵作初等行变换，得,当时，，,可由线性表达，且, ， 可由线性表达，即两个向量组等价.⑵两个向量组等价时，,故，.２3．（1１分)已知二维向量不是二阶方阵的特性向量.⑴证明线性无关； ⑵若，求的所有特性值,并判断能否与对角矩阵相似. ⑴证 设,则,否则，是的特性向量,与题设矛盾，将代入，得，又,故,因此线性无关; ⑵解 或者， ，又,故有一种特性值为,从而有一种特性值为，同理,有一种特性值为,从而有一种特性值为，故的特性值为和.由于二阶方阵有两个不同的特性值,故能与对角矩阵相似.。