椭圆一. 知识清单1. 椭圆的两种定义：① 平面内与两定点F, F的距离的和等于定长2aGa > \F F |）的动点P的轨迹，即点集M={P|1 2 12|PF | + |PF |=2a, 2a>|FF|}； （ 2a = |FF | 时为线段 FF , 2a < \F F | 无轨迹）其中两定 I 2 1 2 '12 1 2 12点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距② 平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P|^^ = e，0 1为双曲线）d（利用第二定义，可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点， 定直线为准线）.2标准方程：（1）焦点在x轴上，中心在原点：三+ b. = 1 （a>b>0）；焦点 F] （—c，0）， F2 （c，0）其中c = Ja2 -b （一个Rt 三角形）y 2 启 一. ,（2）焦点在y轴上，中心在原点：—+ — = 1 （a>b>0）；a 2 b 2焦点 F] （0，—c），F2 （0，c）其中c = Ja2 -b2注意：①在两种标准方程中，总有a>b>0，c = 0, B>0, ANB），当AB时焦点在y轴上。
f x = a cos03参数方程：焦点在x轴，< ^ . Q （9为参数）[y = b sin 94 一般方程：Ax2 + By2 = 1（ A > 0, B > 0）5. 性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：挡+ M = 1 （a>b>0）有以下性质： a 2 b 2坐标系下的性质：① 范围：|x|Wa，|y|Wb；② 对称性：对称轴方程为x=0, y=0,对称中心为0 （0, 0）；③ 顶点：A （-a, 0）, A （a, 0）, B （0, -b）, B （0, b）,长轴 |AA |=2a，短轴 |BB |=2b；1 2 1 2 12 12（a半长轴长，b半短轴长）；左准线/] : X =a2 a2——； 右准线12： x =—. 一 x 2 y 2 -④椭圆的准线方程：对于一+: = 1, a 2 b 2y2 x2对于—+- =1a2 b2a2 a2下准线〈：y =—云；上准线12: y =；a 2 a 2 - c 2 b 2 焦点到准线的距离p = 一 -c = = 一(焦参数)c c c椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称⑤ 焦半径公式：P(x，y)为椭圆上任一点。
PF | = r =a+ex，|PF | = r =a-ex ； |PF | = r =a+ey，0 0 1 左 02 右 0 1 卜 0|PF2| = r上 =a-ey0 |PF| = a + c,|PF| . = a -c，左加右减，上减下加⑥ 通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短 2b 2a平面几何性质：⑦ 离心率：e= a = £ =(1-]： j (焦距与长轴长之比)6 01)； e越大越扁，e = 0是圆b2 2a2⑧ 焦准距p =—；准线间距= c c⑨ 两个最大角 Jf PF ) =ZFB F ,(ZAPA ) = ZA B A1 2 max 12 2 1 2 max 12 2一 y 2 x 2焦点在y轴上，中心在原点：土 + ^7 = 1(a>b>0)的性质可类似的给出6. 焦点三角形应注意以下关系：(1) 定义：ri+r2 = 2a(2) 余弦定理：罕 + 号—2rir2cos e =(2c)9(3) 面积：S = 1 r r sine = 1 ・2c| y |= c| y |= b2- tan：1\PF ]F 2 2 1 2 2 0 0 2(其中 P( x,y )为椭圆上一点，|PF |=r，|PF |=r，ZFPF= e ) 0 0 1 1 2 2 1 27. 共焦点的椭圆系设法：把椭圆挡+ H = 1 (a>b>0)的共焦点椭圆设为—X^ + 一^ = 1(X>-b2)a 2 b 2 a 2 + 人 b + X8. 特别注意：椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关，而焦点坐标，准线方程，顶点坐标，与坐 标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件：两个定形条件a,b, 一个定位条件焦点坐标或准线方 程. |x + x =-b9. 弦长公式：|AB| = J1 + 化2 |x -x | = j1+ 厂 |y — y 1 = J1 + k2 < " (a,b,c 为1 2】V k2 ' 1 2】 a c1 1 XX =— 、1 2 a方程的系数考点1椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用[例1 ](湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B 是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是A. 4a B. 2(a—c) C. 2(a+c) D.以上答案均有可能［解析］按小球的运行路径分三种情况：(1) A - C - A,此时小球经过的路程为2(a—c);⑵A — B — D — B — A,此时小球经过的路程为2(a+c);(3) A — P — B — Q — A此时小球经过的路程为4a,故选D【名师指引】考虑小球的运行路径要全面【新题导练】1. 短轴长为J5，离心率e = 3的椭圆两焦点为F「F2，过^作直线交椭圆于A、B两点，则△ ABF2的周长为 ( )A.3 B.6 C.12 D.24［解析］C.长半轴a=3，^ABF2的周长为4a=12X 2 V 22. 已知p为椭圆不；— = 1上的一点，M, N分别为圆(x + 3)2 + y2 = 1和圆(x — 3)2 + y2 = 4上的25 16点，则|PM| + |PN|的最小值为()A. 5 B. 7 C . 13 D. 15［解析］B.两圆心C、D恰为椭圆的焦点，PC I + I PD 1= 10，|PM| + |PN|的最小值为10-1-2=7题型2求椭圆的标准方程［例2 ］设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点 与长轴上较近的端点距离为4t2 —4,求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数。
b,c的式子“描述”出来X 2 y 2 一 X 2 y 2［解析］设椭圆的方程为一+ > = 1或广+二=1(> b > 0)，a 2 b 2 b 2 a 2(b=l则 < a 一 C = 4( J2 — 1)，a 2 = b 2 + c 2x 2 y 2 x 2 y 2解之得：a = 4x 2，b=c=4.则所求的椭圆的方程为由+ = 1或TZ + 3T = 1.32 16 16 32【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数a,b,c的数量关系.［警示］易漏焦点在y轴上的情况.【新题导练】3.如果方程X2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是,［解析］(0,1).椭圆方程化为与+孕=1.焦点在y轴上，则I >2,即k0,A0cos0，方程表示焦点在x轴上的椭圆 5.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最［a — c = v 3 I a = 2^3［解析］< c n〈 ’一，••• b = 3Ia = 2c I c = v 3短距离是<3，求这个椭圆方程., ・ x 2 y2 x 2 y 2所求方程为n咛=1或矽芸=】.考点2椭圆的几何性质题型1：求椭圆的离心率(或范围)［例3］在△A8C中，ZA = 3Oo,| AB 1= 2, S凰bc =焰.若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该 椭圆的离心率e =.【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率［解析］Sy = 2| AB I -1 AC Isin A =招，•I AC I= 2、3，I BC I= V;I AB |2 + I AC I2 —2I AB I -1 AC I cos A = 2I AB I 2 <3 — 1e = =——= = I AC I +1 BC I 2耘 + 2 2【名师指引】(1)离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离 心率也随之确定 (2)只要列出a、b、c的齐次关系式，就能求出离心率(或范围)(3) “焦点三角形”应给予足够关注 【新题导练】6. 如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍，那么这个椭圆的离心率为A-亨［解析］选Bx 2 y 27. 已知m,n,m+n成等差数列，m, n, mn成等比数列，则椭圆一 + 一 = 1的离心率为m n2n = 2m + nfm = 2［解析］由\n2 = m2n n 0 .. -2 < x < 221 c 1 / ,、 3.:x2 + y2 — x = — x2 — x + 2 = — (x — 1)2 + —, x 6 ［—2,2］2 2 2当x = 1时，x2 + y2 - x取得最小值3，当x = -2时，x2 + y2 - x取得最大值6【新题导练】9.已知点A,B是椭圆—+ — = 1 （ m > 0， n > 0）上两点，且AO = XbO，则人= m 2 n 2［解析］由AO = XBO知点A,O,B共线，因椭圆关于原点对称，:.X =-110. 如图，把椭圆挡+ = 1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于25 16P, P , P , P , P , P , P七个点，F是椭圆的一个焦点1 2 3 4 5 6 7则 |PF| + |PF| + PF + |PF| + |PF| + |PF| + PF = '1''2''3''4''5''6''7’［解析］由椭圆的对称性知：|PF| + |P F| = |P F| + |P F| = |PF| + |PF| = 2a = 35 .1 / 2 6 3 5考点3椭圆的最值问题x2 y2［例5 ］椭圆n + 9=1上的点到直线l： x + y — 9 = 0的距离的最小值为 .16 9【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数［解析］在椭圆上任取一点P,设P（4cos9,3sin9 ）.那么点P到直线l的距离为：I4cos0 + 3sin 9 —121 -<2 . =一 15sin（9 +甲）—91 > 2气 2.\.'12 + 12 2【名师指引】也可以直接设点P （x, y），用x表示y后，把动点到直线的距离表示为x的函数，关键是要具有“函数思想”【新题导练】X 2 V 211. 椭圆R + 9 = 1的内接矩形的面积的最大值为 16 9［解析］设内接矩形的一个顶点为(4cos0,3sin9)，矩形的面积 S = 48sin0 cos0 = 24sin20 < 24x 2 V 212. P是椭圆一+ > = 1上一点，F、F是椭圆的两个焦点，求IPFI -1 PF I的最大值与最小值a 2 b 2 i 2 1 2［解析］IPF I -1 PF I=I PF I (2a- I PF I) = -(I PF I -a)2 + a2,I PF Ig ［a - c,a + c］1 2 1 1 1 1当I PF I= a时，IP^I -1 PF I取得最大值a 2，当I PF I= a 土 c时，IPFJIPgI取得最小值b 2x213. 已知点P是椭圆丁 + V 2 = 1上的在第一象限内的点，又A(2,0)、B(0,1)，4O是原点，则四边形OAPB的面积的最大值是.兀［解析］设P(2cos0,sin0),0 g (0,号)，则S = S + S =— OA - sin0+上 OB - 2cos0 = sin0 + cos0〈七 2OAPB AOPA AOPB 2 2考点4椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题［例6 ］已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0,1),短轴端点和焦点所组成的四边形 为正方形，直线Z与y轴交于点P (0, m)，与椭圆C交于相异两点A、B，且AP = 3PB .(1) 求椭圆方程；(2) 求m的取值范围.【解题思路】通过AP = 3PB，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个 关于m的不等式一 一 V 2 X 2［解析］(1)由题意可知椭圆C为焦点在y轴上的椭圆，可设C :二+厂= 1(a > b > 0) a 2 b 22 由条件知a = 1且b = c，又有a2 = b2 + c2，解得a = 1 , b = c =八 c <2 一 X 2 <故椭圆C的离心率为e =="—，其标准方程为：y2 + ~r- = 1 a 2 12(2)设l与椭圆C交点为A (x「y1)，B (x2，y2)y=kx+m得(k2+2) X2+2kmx+(m2—1)=0 2x2+y2=1A=(2km) 2—4 (k2+2) (m2 — 1)=4 (k2 — 2m2 + 2) >0 (*)— 2km x1 + x2=Em2 — 1xix2=k^AP =3 PB•—x =3x •2'牛=—2*2 iW2=—3x22消去x2，得3（牛）2+4x1x2=0，—2km m2—1•••3(k2 + 2)2+4K=°整理得 4k2m2+2m2—k2 — 2 = 01 1 2 — 2m2m2="时，上式不成立；m2=］时，k2=^二4 4 4m2—12 — 2m2 11因入=3.・.蚌°.・.k2=4m—1〉°，・.・一12m2 — 2成立，所以（*）成立即所求m的取值范围为（一I,一buG’l）22【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能X 2 v 2例7•椭圆L上女"> 0）上一点尸向^轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点七A为椭圆的右uuv uuv顶点，B是椭圆的上顶点，且AB =人OP（人〉0）.⑴、求该椭圆的离心率.⑵、若该椭圆的准线方程是X = ±2志，求椭圆方程.uuv uuv［解析］⑴、Q AB = X OP，AB 〃 OP，.•. △ PFO-A BOA ,PF 1-BOFO 1OAc 2 PF . . b 2又 P(—c, v) n 一 + = 1 n |PF| = 一，b = c,a 2 b 2 1 a 2⑵)、Q x = ±2V5 为准线方程，.. — = 2寸5 n a2 = 2^5c, ca 2 = 2后c 由 0, y > 0)B. 2 x2 - 3y 2 = 1(x > 0, y > 0)C. 3x2 - 3 y 2 = 1(x > 0, y > 0)D. 3x2 + 2 y 2 = 1(x > 0, y > 0)3 °、k , 、 3［解析］AB =(-^x,3y),OQ =(-x,y)x2+ 3y2 = 1，选A.2 215. 如图，在RtAABC中，匕CAB=90°, AB=2, AC=~y。
一曲线E过点C,动点P在曲线E上运动， 且保持|PA| + |PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点1） 建立适当的坐标系，求曲线E的方程；（2） 设直线l的斜率为k，若NMBN为钝角，求k的取值范围解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A （-1，0），B （1，0） 由题设可得I PA I + I PB 1=1 CA I + I CB 1=皂 + [22 + （£2 = U + 2 = 2（22 \ 2 2 2x 2 y 2・.・动点P的轨迹方程为云+ b- = 1（> b > 0），贝 g a = * 2, c = 1.b = x a 2 — c 2 = 1・.・曲线E方程为成+ y 2 = 1(2)直线 MN 的方程为 y = k(x +1),设M(x , y ),设M(x , y ,),N(x , y ) 1 1 1 1 2 2f y = k (x +1) ,由 < 得(1 + 2k 2)x2 + 4k 2x + 2(k 2 -1) = 0I x 2 + 2 y 2 - 2 = 00 A = 8k 2 + 8 > 0・.・方程有两个不等的实数根4k 2 2(k 2 -1)二 x + x = , x - x — 1 2 2 + 2k 2 1 2 1 + 2k 2BM =(气-1, y1), BN = (x2 -1, y2)BM - BN = (x -1)(x -1) + y y = (x -1)(x -1) + k2(x +1)(x +1)=(1 + k 2)x x + (k 2 -1)(x + x ) +1 + k 2=(1 + k 2)2(k 2 -1)1 + 2k 24k 2+(k 2-1)(- E)+ E27 k 2 -1 1+ 2k 2,ZZMBN是钝角BM - BN < 07k2 -1即 1 + 2k 2解得:—斗＜ k〈斗又M、B、N三点不共线k 丰 0综上所述，k的取值范围是（一*，0）D（0,亍）二. 典型例题考点1椭圆定义及标准方程题型1：椭圆定义的运用q是椭圆的两个焦点，试求：所1 •辨2取X 2 V 2例2•点P为为椭圆云+ b =1（^八＞ 0）上一点，Fi、得最值时的P点坐标。
题型2求椭圆的标准方程例3.设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与 长轴上较近的端点距离为4巨一4,求此椭圆方程.考点2椭圆的几何性质题型1：求椭圆的离心率（或范围）例4.在△曷中，匕4 = 300,1 AB |=逆到广# .若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭 圆的离心率e = .题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）X 2 y 2+——=1例5.已知实数乙y满足4 2 ，求X2 + y2 - x的最大值与最小值考点3椭圆的最值问题题型1：动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值X 2 y 2——+ = 1例6.椭圆16 9 上的点到直线l: X + y — 9 = 0的距离的最小值为.题型2.珥+】|所一、 的最值若A为椭圆内一定点(异于焦点)，P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离心率，求P^\+-\FF的最小值2 2c： J J例7.已知椭圆 25 16 内有一点A (2, 1), F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，Pj^\+-\PF求 3 的最小值I 一 战+所心曰比二、 的最值"+若A为椭圆C内一定点(异于焦点)，P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求 的最值。
2 2tv + yy =】 pd pg例8已知椭圆25 16 内有一点A(2, 1)，F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求广点十厂#的最大值与最小值三、冏g的最值若A为椭圆C外一定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到「的距离为d,求囹+技的 最小值2 2A y r——+ —= 1例9.已知椭圆25 16 外一点A(5，6)，「为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到「的距离为d，求 的最小值四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值，方) 2 2d H 与+%■=is>b ")例10.定长为' ’的线段AB的两个端点分别在椭圆〃也 上移动，求AB的中点M到椭圆右准线E的最短距离考点4直线与椭圆相交问题题型1直线与椭圆相交求弦长(1) 常用分析一元二次方程解的情况，仅有△还不够，且用数形结合的思想2) 弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式，但△*这一制约条件不同意 ［尤+尤=_ b|AB| = J1 +如 |x -x | = J1+「|y - y | = J 1 + k2 g < 1 2 a(a,b,c 为方程的系数)1 2 V如1 2 舛xx =三、1 2 a例11.已知直线l过椭圆8X2 + 9y2 = 72的一个焦点，斜率为2, l与椭圆相交于M、N两点，求弦\mn \的长。
题型2“点差法”解题设而不求”的思想当涉及至平行法的中点轨迹，过定点弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程， 用“点差法”来求解步骤：1.设A(x1,y1) B(x2,y2)分别代入椭圆方程；, 、 y — y b2(x + x ) b2x2. 设p(x , y )为AB的中点两式相减， 2 =——尸 气=— 0 0 0 x — x a2(y + y ) a2y1 2 1 2 03. 得出 k = yi — y2x 一 xx 2 y 2 b 2注：一般的，对椭圆02 + ^7 T上弦AB及中点，M，有kab - K.m =~云x 2 一例12.已知椭圆或+ y2 =1，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程考点五.轨迹问题这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种1. 直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x，y)，直接列出动点所应满足的方程2. 代入法：一个是动点Q(x°,y°)在已知曲线F(x,y)=0，上运动，而动点P(x,y)与Q点满足某种关系，要求P点的轨迹其关键是列出P、Q两点的关系式F0 = f "'巧〔y = y(x，y)o3. 定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义求出方 程。
f x = f (t)4. 参数法：在x，y间的方程F(x,y)=0难以直接求得时，往往用｛ ,、(t为参数)来反映〔y = y (t)x，y之间的关系常用的参数有斜率k与角a等…八 4例13： AABC的一边的的顶点是B(0,6)和C(0,-6)，另两边斜率的乘积是一9，求顶点A的轨迹方 程：基础训练A组1. 椭圆2x2 + 3y2 = 6的焦距是( )A. 2 B. 2((3-梃) C. 2抒 D. 2(如3 + 豆)2. F、F是定点，|FF|=6，动点M满足| MF| + |MF|=6，则点M的轨迹是( )1 2 12 123.4.A.椭圆B.直线C.线段D.圆若椭圆经过原点，3A.-4=1上一点，P到右焦点F2的距离为1则P到相应左焦点的准线距离为（ ）2命B. 3C.••容~2且焦点为F1 (12B.-30),F2 (3C.0）,则其离心率为（ ）1D.-44.若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的 最短是距离为t'3，这个椭圆方程为（ ）A．x 2 y 2——^― = 112 9B．x 2 y 2——^ — = 19 12x2 y2 x2 y2C.宥+亏T或5 +〒2 T D.以上都不对JL」 J J JL」6. 离心率e = 1，一个焦点是F（0,-3）的椭圆标准方程为.27. 与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36有相同的焦点，且过点（一3，2）的椭圆方程为一 x2 y28. 设双曲线一-；=1 （a>0,b>0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于 a 2 b 29. 已知椭圆C • — + y 2 = 1的右焦点为F,右准线为l，点A e l，线段AF交C于点B，若uur uur uuuuFA = 3FB，则 I AF I =10. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e = 2，短轴长为8<5,求椭圆的方程.x2 25y2 , , , , 811. 已知A、B为椭圆福+"9a丁 =1 上两点，「2为椭圆的右焦点，若|AF2| + |BF2| = 5 a，AB中点到椭3圆左准线的距离为^，求该椭圆方程.x2 y212.求椭圆云+ b- = 1（a > b > 0）的内接矩形面积的最大值.13. 已知圆X 2 + y 2 =1,从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PPZ,求线段PPZ的中点M的 轨迹.14. （2009全国卷II文）（本小题满分12分）X 2 y 2 3已知椭圆C: a + b = 1（ a >b〉0）的离心率为— ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B2两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为 —（I）求a,b的值；（I）C上是否存在点P,使得当l绕F转到某一位置时，有（OP =函+ O 成立？ 若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。
综合训练B组1.下列命题是真命题的是（ ）A. 到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B. 到定直线x = R和定点F（c，0）的距离之比为C的点的轨迹是椭圆c aC. 到定点F（ — c，0）和定直线x = _企的距离之比为乌（a>c>0）的点的轨迹 是左半个椭圆D. 到定直线x =战和定点F（c，0）的距离之比为a （a>c>0）的点的轨迹是椭圆2），则椭圆方程是（ ）2.若椭圆的两焦点为(—20）和（2,0)，A. 21 + 旦=1 B. 21 + 挡=1 C. 22 + X2 = i D.旦 +8 4 10 6 4 8 10+ 6 =13. 若方程X2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（ ）A. （0，+8） B. （0，2） C. （1，+8） D. （0，1）4. 设定点F（0, —3）、F（0, 3），动点P满足条件|P^| + \PF\ = a + -（a > 0），则点P的轨迹是（ ）A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段5. 椭圆土 + bl = 1和专+亲=k 1 > 0）具有（）A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 D.相同的长、短轴6. 已知P（x, y ）是椭圆立+丑=1上的点，则x + y的取值范围是.144 257. 已知椭圆E的短轴长为6,焦点F到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆E的离心率等于 8.已知双曲线° -b- = l（b > 0）的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y = x，点P（&, y0）在双曲线上.则PF・PF2 = x 2 y 29..过双曲线一-；=1（a > 0,b > 0）的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近 a 2 b 2uur 1 tur线的交点分别为B,C .若AB = -BC，则双曲线的离心率是X 2 y 210. （2009天津卷文）设双曲线云-b- = l（a > 0,b > 0）的虚轴长为2,焦距为2、3，则双曲线的 渐近线方程为11. 求中心在原点，焦点在x轴上，焦距等于4,且经过点P （3，一2v6 ）的椭圆方程.12. 已知地球运行的轨迹是长半轴长为。
离心率为e的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上， 求地球到太阳的最大和最小距离.4 —13. AABC的两个顶点坐标分别是B（0，6）和C（0， -6），另两边AB、AC的斜率的乘积是-9，求顶 点A的轨迹方程.X 2 y 214.过椭圆C* +亍=1上一点P（x0, y 0）向圆x2 + y2 = 4引两条切线pa、PB、A、B为切点，如直线AB与x轴、y轴交于M、N两点.（1）若PA - PB = 0，求P点坐标；（2）求直线AB的方程（用x0, y0表示）；（3）求左MON面积的最小值.（0为原点）15.椭圆挡+ M = 1 （a > b > 0）与直线x + y = 1交于P、Q两点，且OP ± OQ，其中O为坐标 a 2 b 2原点.（1）求上+二的值；（2）若椭圆的离心率e满足旦 W e W互，求椭圆长轴的取值范围 a2 b2 3 2提高训练C组1.若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为R *2D.B. 22.已知P是椭圆盖+J6 T上的一点若P到椭圆右准线的距离是土，则点P到左焦点的距离3.是（ ）L 75C.—8D.778椭圆虫+ 22 = 1上的点到直线x + 2 y f'2 = 0的最大距离是（ ）16 4A. 3C. 2切D.<104.在椭圆归+ 22 = 1内有一点P（1，T），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF |的4 3值最小，则这一最小值是（ ）C.3D.45.过点M （一2,20）的直线m与椭圆—+ y2 = 1交于P2 1线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为气（匕丰0 ），A.2直线op的斜率为k2，则k1k2的值为1C. 2B. —26.中心在原点，离心率为亍，且一条准线方程是y=3的椭圆方程是兀一、 7. 过椭圆x2 + 2y2 = 4的左焦点作倾斜角为-的弦AB,那么弦AB的长=.8. 已知圆C :(x +1)2 + y2 = 25及点A(1,0),Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M,则点M的轨迹方程为.x 2 y 2 一 一- _ _9. 过椭圆 云+ b- = 1 (a > b > 0 )的左焦点^作x轴的垂线交椭圆于点P , %为右焦点，若 ZFPF^ = 60。
则椭圆的离心率为x 2 y 2 , x 2 y 210.(2009湖北卷理)已知双曲线k — 0 = 1的准线过椭圆;+ m = 1的焦点，则直线y = kx + 22 2 4 b 2与椭圆至多有一个交点的充要条件是11.已知椭圆的焦点是F1(—1,0), F2 (1,0), P为椭圆上一点，且I F1F2 I是I PF1 I和I尸乌I的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且匕PFF =120°，求tanFPF .1 2 1 212. 已知椭圆的一个焦点F (0,-2巨)，对应的准线方程为y =—二.•.'2，且离心率e为2和4的等1 4 3 3比中项.(1)求椭圆方程，(2)是否存在直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰为直1线x = -5平分？若存在，求出直线l的倾斜角的范围，若不存在，请说明理由.13. 椭圆的中心是原点0,它的短轴长为2克，相应于焦点F (c，0) ( c > 0 )的准线l与x轴相 交于点A，|0F|二2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.(1) 求椭圆的方程及离心率；(2) 若OP- OQ = 0，求直线PQ的方程；(3) 设AP = X AQ (九〉1 )，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明FM =—X FQ.基础训练A组答案:1.A 2.C 3.D 4.C 5.C 6.丑 + 臣=1 7.立 + 丑=136 27 15 108.解：设切点P气,y「，则切线的斜率为》'\=私=2x0 .由题意有％ = 2x又y = x 2 +10x=x0 0解得：xj =1,.・.—=2, e = J1 + (巳)2 =7?uur uur9.解：过点B作BM ± l于虬并设右准线l与X轴的交点为N,易知FN=1 .由题意FA = 3FB ,故|BM |= u .又由椭圆的第二定义,得1 BF |=—厂,衣=~r~二1 AF |= ^210.:解析］：由彳a = 12，..・椭圆的方程为：艾+五=1或立+至=1.c = 8 144 80卜—144 80、a 2 - b 2 = c 211.:解析]：设 A^,yJ’BE、 4 8y )， 0 e =—,由焦半径公式有a—ex+a—ex= — a，2 5' 1 2 5• ― 1..X]+x「2 a，即AB中点横坐标为1 a，又左准线方程为x = -- a，4 4.—a + ° a = ~，即 a=1，4 4 2X2+ 25 y2=1.12 S = 4a cos 甲・ b sin 甲=2ab sin 2甲 n S = 2ab*13解：设点M的坐标为(x, y)，则点P的坐标为(2x, y).x 2 、•「P 在圆 x2 + y2 = 1 上，(2x)2 + y2 = 1，即了 + y2 = 1..•点M的轨迹是一个椭圆4x2 + y2 = 114解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。
解：(I)设FJ,0)当1的斜率为1时，其方程为x - y - c = 0,0到1的距离为|0 - 0 - cc <2— ，c = 1v2 2得 a = (3， b = x： a2 一 c2 =(II)C上存在点P，使得当/绕F转到某一位置时，有OP = OA + OB成立由(I)知C 的方程为 2 x 2 + 3 y 2=6.设 A3 , y ), B (x , y ).1 1 2 2(i)当/不垂直尤轴时，设/的方程为y = k(x-1)C上的点P使OP = OA + OB成立的充要条件是尸点的坐标为(x + x ,y + y ), 且1 2 1 22(x + x )2 + 3(y + y )2 = 612 12整理得 2x 2 + 3y 2 + 2x 2 + 3y 2 + 4x x + 6y y = 61 1 2 2 1 2 1 2又A、B在C上，即2x2 + 3y 2 = 6,2x 2 + 3y 2 = 61 1 2 22 x x + 3 yy + 3 = 0将y = k(x -1)代入2x2 + 3y2 = 6,并化简得(2 + 3k 2)x2 一 6k 2x + 3k 2 一 6 = 0 于是 x + x6k 22 + 3k 23k 2 一 6x1x 2 = 2 + 3k 2一 2y1y 2 = k 2(x1 -1)(x2 一 2) = 2+3123代入①解得，k2 = 2，此时气+ x2 = ^… k _3 k、于是y1 + y2 = k(气+ x2 - 2)=-2，即尸成一亏)3 \2 因此，当k =-板2时，P(5,5)，/的方程为、.•；2x + y 一巨=0 ；当k =、Q 时，P(5,-土厂)，/的方程为f；2x - y -克=0。
PF = (2-j3,-1). . PF 9【解析】对于A(a,0)C上不存在点P使OP = OA + OB成立ii)当l垂直于x轴时，由OA + OB = (2,0)知，_,3 V-2. = = r 二一综上，C上存在点P(g,±-^-)使OP = OA + OB成立，此时l的方程为* 2 x 士 y — *2 = 0.综合训练B组答案4 1.D 2.D 3.D 4.A 5.A 6. [-13,13] 7. - 8【解析】由渐近线方程为y = x知双曲线是等轴双曲线，.・・双曲线方程是x2 - y2 = 2，于是两焦点坐标分别是(一2, 0)和(2, 0)，且P(u'3,1)或P( v3,-l).不妨去P(气 3,1)，则PF = (—2 — %3,-D ， 1.叫=(-2 一点-1)(2 - M1)= -(2 + 3)(2 -③ +1 = 0直线与两渐近线的交点为B，C，a2,C (—- a - bab、 UUU / 2a2b二K)'则有=(g；2a 2b uur ( ),AB = a 2 一 b 2ab ab 、I a + ba + b)，因则直线方程为x + y-a = 0，uuur umr2AB = BC,4a2 = b2, a e = t5 .10【解析】由已知得到b = 1, c = 3 a fc2-b 2 =.巨，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线、 b \；2方程为 y = ±_ x = ±=- xa 2【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。
考察了同学们的运算能力和推理能力11.挡+ 21 = 1 12.最大距离为a (1+e)，最小距离为a (1 — e)36 3213.解：设顶点A的坐标为(x, y).依题意得x 2 y 2 … 八・.・顶点A的轨迹方程为 $ +白=1(y卫±6).81 36说明：方程丑+归=1对应的椭圆与y轴有两个交点，而此两交点为(0,—6)与0,6)应舍去.81 3614. (12 分)［解析］:(1) 0 PA • PB = 0 /. PA1 PB•.•OAPB的正方形x0 + 咋=8 _32_eY2 A? 2 ——^ x2 — — 8生 + = 1 0 4〔8 4・•・xQ = ±2】2・P点坐标为(土 272,0 )(2)设 A (x「y1)，B (x2，y2)则PA、PB的方程分别为xx + y y = 4, x x + y y = 4，而PA 1 1 2 2即 xx+yy=4，xx+yy=4，・AB 的直线方程为：x x+y y=410 10 20 2 0 0 0(3)由 x x + y y = 4得M (土,0)、N(0,—)0 0 x 0 y 01 1 4 4 1S = I OM I • I ON I= I — I • I — I= 8 AMON 2 2 x y I x y IPB交于P (xof)01 x y I= 4 还 I •、I< 2 巨(％ + 辛)=2 •巨 A S00 22 2 8 4AMON->-^ = 2 克 I 2^2当且仅当I方元I = I亍I时，s amon=2 7' 2 .15. (12 分)［解析］:设P(x , y ),P(x , y )，由 OP L OQ o x x11 2 2 1 20 y = 1 — x , y = 1 — x，代入上式得：2x x — (x + x ) +1 = 0 ① 乂将 y = 1 — x/弋入1 1 2 2 12 122a 2a 2 + b 2y2b~ = 1 n (a2 + b2)x2 — 2a2x + a2(1 -b2) = 0，0 A > 0,. x】+ x2a2(1—b2)代入①化简得x+±=2.a 2 + b 2 a 2 b 2c 2 b2 1 b 2 1 1 b 2 2.(2) 0 e2 = — = 1 -一 3 < 1 -一< — n — < — < ―, 乂田(1)知 b 2 =~^~ 2a 2 -11 1 2 5 3 <5 -:6.•.一< < n —
PF| I PF = ! 1 sin 120 sin(60°—9)10【解析】易得准线方程是X = ±竺=±2 = ±1所以C2 = a2 -b2 = 4-b2 = 1即b2 = 3所以方程是 b 2X 2 2 2—^― = 14 3联立 y = kx + 2 可得 3x2+(4k2+16k)x + 4 = 0 由△< 0 可解得 K G由等比定理得:FFsin 9整理得：5 sin 9 =、.：3(1 + cos 9)sin 91 + cos 9+后 9故 tan =2tan % PF2 = tan 9<32 -——5t 311PF+1PFJsin 120° + sin(60°—9)2 _ 4sin 9 <3 八—+ sin(60°-9)...e =空即c =点又0四-c =空-2,23 a 3 c 4a = 3, c = :. b2 = a2 - c2 = 1 0 F](0,-2、'2)对应准线方程为 y = — 9 克,且c = 2<2..・椭圆中心在原点，则椭圆方程为匹+ x 2 = 1（2）假设存在直线l,且l交椭圆所得的弦MN被直线.—I平分，.・.1的斜率存在，设l：y=kx+m. x —2J — kx + my2 消去y得(k2 + 9)x2 + 2kmx + m2 -9 — 0• .••直线1交椭圆于不同两点M、N.—+ x 2 — 1〔9△二 4k 2m2 - 4(k 2 + 9)(m2 - 9) > 0即m2 - k 2 - 9 < 0.①k 2 + 92kx. + x_ km 112 2 —-k2+9—-2代入①得(1k-+9 )2 - k 2 - 9 < 0.解得k <—、3, 或k > •2k..・存在满足条件的直线11的倾斜角共件％丫严,2兀）注：第（1）小题还可利用椭圆的第二定义 解决a 2 — c 2 — 2,2c — 2(——-c).c13.（14分）［解析］：（1）由题意，可设椭圆的方程为挡+丑=1（a ＞担）.由已知得Ia 2 2 1解得a =' 6, c — 2，所以椭圆的方程为挡+ 21 — 1，离心率e-四6 2 3.一. x2 , y2 1(2)解：由(1)可得A (3，0).设直线PQ的万程为y = k(x — 3).由万程组J； + 5 — 1, y = k (x - 3)得(3k2 +1)x2 - 18k 2x + 27k2 - 6 — 0，依题意△ — 12(2 - 3k 2) > 0设尸(x , y ), 0x , y )，则x + x -也'，①xx - 27k2 ―6.②，由直线PQ的方程得 1 1 2 2 1 2 3k 2 + 1 1 2 — 3k 2 + 1y = k(x — 3), y = k(x —3) .于是yy = kg -3)(x -3) — k2[xx -3(x + x ) + 9].③ 1 1 2 2 12 1 2 12 12• OP - OQ = 0，「• x x + yy = 0 .④，由①②③④得 5k 2 = 1， 1 2 1 2所以直线PQ的方程为x -尽y - 3 = 0或x + 3y - 3 — 0.（2）证明:AP = (x1 - 3,y ), AQ = (x - 3, y ).由已知得方程组气―3 = X气―3), y =\y , x； y 22 i1T+寻=l解得x2全二！，因 F(2, 0), M(x1, - y1)，故FM = (x - 2, - y )=(人(x - 3) + 1, - y ) = ( ~—, — y ) = -X(^^, y ).1 1 2 1 2 1 2X 27而FQ = (x - 2, y )=(上1, y )，所以 FM =-人FQ.2 2 2X 2。