概率论与数理统计第七章第七章 参参 数数 估估 计计 2 2 点估计量的评选标准点估计量的评选标准概率论与数理统计 对同一个参数，用不同的方法可能得到不同的估计对同一个参数，用不同的方法可能得到不同的估计量，如上节例量，如上节例7的结论那么用什么方法判别不同的估的结论那么用什么方法判别不同的估计量之间的优劣呢？计量之间的优劣呢？这就涉及到用什么样的标准来评这就涉及到用什么样的标准来评判判估计量的问题最常用的有三个标准：估计量的问题最常用的有三个标准：无偏性、有无偏性、有效效性、一致性性、一致性概率论与数理统计7.2.1 无偏性无偏性估计量是随机变量，对于不同的样本值就会得到不估计量是随机变量，对于不同的样本值就会得到不同的估计值我们希望估计值在未知参数真值临近随机同的估计值我们希望估计值在未知参数真值临近随机地摆动，即统计平均值集中于未知参数的真值地摆动，即统计平均值集中于未知参数的真值在在科科学学技技术术中中 )(E称称为为以以 作作为为 的的估估计计的的系系统统误误差差，无偏估计实际上就是无系统误差因此，无偏性可无偏估计实际上就是无系统误差因此，无偏性可以作为衡量一个估计量好坏的标准之一。
以作为衡量一个估计量好坏的标准之一概率论与数理统计),2,1()()(niXEXEkkki nikkikXEnAE1)(1)(概率论与数理统计例例：对于对于均值均值，方差方差2 都都存在的存在的总体总体，若若，2 都未都未知知，则则2 的的估计量估计量212)(1XXnini 是是有偏的有偏的证明：证明：2212212211XAXXnXXnniinii ）（22222221)()()()(nnXEAEXAEE2222)()()(nXEXDXE2222)(AE因为因为及及概率论与数理统计2222)(11(EnnnnE）所以所以2 是有偏的而是有偏的而 2121221)(11)(11 nnXXnnnXXnSniinii由此例可知，二阶以上的样本中心矩，一般不再是由此例可知，二阶以上的样本中心矩，一般不再是总体方差（或中心矩）的无偏估计总体方差（或中心矩）的无偏估计即即2S是是2 的的无无偏偏估估计计因因此此一一般般选选择择样样本本方方差差 2S作作为为总总体体方方差差2 的的估估计计量量 概率论与数理统计7.2.2 有效性有效性概率论与数理统计95)31()32()3132()(21211 XDXDXXDD 85)(2 D21)(3 D即即3 是三个是三个估计量估计量中中最好的一个最好的一个。
2124341XX 2132121XX 哪一个有效？哪一个有效？2113132XX 概率论与数理统计我们自然希望估计量具有一致性，不过估计量的我们自然希望估计量具有一致性，不过估计量的一致性只有当样本容量相当大时，才能显示出优越性一致性只有当样本容量相当大时，才能显示出优越性实际工作中，经常使用无偏性和有效性这两个标准实际工作中，经常使用无偏性和有效性这两个标准7.2.3 一致性一致性概率论与数理统计本节习题的的无无偏偏估估计计量量是是时时，当当估估计计量量的的两两个个相相互互独独立立的的无无偏偏是是参参数数，、设设 22112121_,1cccc 无无偏偏估估计计量量的的）的的样样本本，（）是是，（是是，、2221,2 NXXXn niiniiniiniiXXDnXXCnXXBnXXA12121212.1.1.查看本题答案查看本题答案查看本题答案查看本题答案概率论与数理统计无无偏偏估估计计的的）是是的的样样本本，（是是总总体体，、),(3221NXXXn3213213213211513151.1254131.216131.2110351.XXXDXXXCXXXBXXXA 查看本题答案查看本题答案概率论与数理统计 .0,.;)()(.)(4 kkbbkEDggCBA的的无无偏偏估估计计是是则则若若的的无无偏偏估估计计一一般般不不是是无无偏偏估估计计的的函函数数不不唯唯一一；无无偏偏估估计计若若存存在在则则可可能能；无无偏偏估估计计并并不不总总是是存存在在是是对对的的。
下下列列说说法法 查看本题答案查看本题答案概率论与数理统计 的的无无偏偏估估计计是是证证明明为为样样本本，服服从从泊泊松松分分布布，、设设总总体体 niinaXXnaXaXXXX1221101115 niiinXXccNXXX1221221,6的的无无偏偏估估计计为为使使确确定定常常数数的的一一个个样样本本，是是取取自自总总体体、设设 的的无无偏偏估估计计不不是是试试证证明明的的无无偏偏估估计计，且且有有是是参参数数、设设22,07 D查看本题答案查看本题答案查看本题答案查看本题答案概率论与数理统计无无偏偏的的的的极极大大似似然然估估计计量量不不是是中中未未知知参参数数其其他他、试试证证明明均均匀匀分分布布 ,00,1)(8xxf 达达到到最最小小使使和和估估计计，并并确确定定常常数数的的无无偏偏都都是是，和和对对于于任任意意常常数数试试证证分分别别是是两两样样本本的的均均值值和和的的两两独独立立样样本本，量量为为的的总总体体中中，分分别别抽抽取取容容，方方差差为为、设设从从均均值值为为YDbabXaXYbabaXXnn 21212121,9 查看本题答案查看本题答案查看本题答案查看本题答案概率论与数理统计 达达到到最最小小。
的的值值，使使定定的的无无偏偏估估计计，并并确确都都是是，常常数数试试证证：对对于于任任意意，方方差差分分别别为为的的两两独独立立样样本本，其其样样本本中中抽抽取取容容量量为为和和、设设分分别别自自样样本本ZDbabSaSZbabaSSnnN,1,.,10222212221212221 查看本题答案查看本题答案概率论与数理统计1121 cc、本节答案返回第返回第1题题A、2返回第返回第2题题 CBA、3返回第返回第3题题概率论与数理统计 nXDXEnXECbaEbaEEBDCBA222222121,14 的例子：的例子：时，时，当，当的例子：的例子：、返回第返回第4题题概率论与数理统计 XDXXnEXEXEXDXEnii 12115，注意：注意：、返回第返回第5题题 1216 nc直接计算可得直接计算可得、返回第返回第6题题概率论与数理统计 1,max821 nnEXXXn、返回第返回第8题题2122119nnnbnnna 、返回第返回第9题题212110212211 nnnbnnna、返回第返回第10题题概率论与数理统计。