数列求和及极限【知识及方法归纳】1、数列求和主要有以下几种常见方法：（1）公式法；（2）通项转移法；（3）倒序相加法;（4）裂项相消法；（5）错项消法；（6）猜想、证明（数学归纳法）2、能运用数列极限的四则运算法则求数列的极限;求无穷等比数列各项的和【学法指导】1、在公式法求和中，除等差、等比的求和公式外，还应掌握自然数方幕数列的求和公式，女口：12+22+32+…+n2=n（n)=4）62n1）；2、对于形式比较复杂而又不能直接用公式求和的数列，可通过对数列通项结构特点的分析研究，将2其分解为若干个易求和的新数列的和、差；3、将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项易求和，这样的数列常用倒序相加，如课本中等差数列的求和公式就是用这种办法得到；4、利用裂项变换改写数列的通项公式，通过消去中间项达到求和的目的；5、若通项是由一个等差数列与一个等比数列相乘而得的数列，其求和的方法类似于推导等比数列前n项和公式的方法，通过乘于等比数列的公比，在错位相减，转化为等比数列的求和问题；6、通过对Si、S2、S3…进行归纳，分析，寻求规律，猜想出Sn,然后再用数学归纳法给予证明。
典型例题】例1求和：12+32+52+…+(2n-1)2【分析】这是一个通项为（2n-1）2的数列求前n项和，对通项公式展开可得：an=4n2?4n?1,所以对原数列求和分解为3个新数列求和，可用方法2求和简解】+32+52+…+(2n—1)2=(4*12-4*11)+(4?22—4?21)+…+(4n24n(1+2+3+…+n)T?n(n1)(2n1)n(n1)—a?(1+2+3+…+n)+n=4n(2n—1)(2n1)十n—小求和：1―A7-.10...+亦一25251253n°【分析】这是一个通项为这是一个通项为豎2的数列求前n项和，观察通项，不难发现它是一个等差数列5与一个等比数列的积，可用方法5求和设S宀中^盘…畀，则纽二5二2所以5n=5n命-等=1+3（1寺和…说）13八2=1+3nJ.3n2卜詈，所以=3512n75n51-516?5n」，…的前n项和222122232【分析】先写出此数列的通项an二一一-n（n-2只九1）n（n1）「6（丄'nnT,它属12+22n2于用方法4,即裂项求和【简解】因为"1〒严7=册罟矿盘）=61冷，所以鋅6「1-2）+(丄-1)+???+(丄一丄)]=Jn23nn1n1例4若an=(-1)n(5n-3)，求Sn【分析】由于所求的和Sn与n的奇偶有关，所以按n的奇偶分两类分别求和【简解】Sn=-+7-12+17T22+27-…+（—1）n（5n—3）,当n为奇数时，Sn=何咗七n+3=5n“当n为偶数时，二八=5n。
例5在等比数列｛an｝中,lim=（a1a2?a3亠■亠an）=丄，则a1的取值范围是多少？4【分析】无穷等比数列的各项和是指前n项和的极限lim当|q|v1时，lim=空；当|q|1—q>1时，这一极限不存在即在无穷等比数列中|q|v1(qz0)是lim存在的充要n—条件所以特别要注意公式q=1-4a.,因为Ov|q|v1S=lim=的含义及适用范围因此由虫冷可得n》：：1i—q-q【简解】得a1的取值范围是（0,1）u（,1）41【复习练习】一、选择题1、等差数列｛an｝、｛bn｝的前n项和分别为与所以Ov|1-4a1V1,即：0Va1vg..62、等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为A、130B、170C、210D、2603、等比数列{an}中a1>1,且前n项和Sn满足lim=丄，贝Ua1的取值范围是（)A、(1、+a）B、（1、4）C、（1、2）4、根据时常调查结果，预测某种家用商品从年初开始的几个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足=卫（21n_n2_5）（n=1,2，…，12）按此预测，在本年度内，需求量超过901.5万件的月份是A、5月、6月B、6月、7月C、7月、8月D、8月、9月5、若一个等差数列的前3项的和为34,最后3项的和为146，且所有项的和为390,则这（）个数列有A、13项B、12项C、11项D、10项二、填空题n11、设a>1,贝Ulim亠_n—n?12、已知等差数列｛时的公差ad>0,首项a1>0,盼三品匕n,则lim=n—jpc3、已知等比数列{an}(an?R),a1+a2=9,(n=1、a1*a2*a3=27，且Sn=a1a2a3亠亠an4、设ova
观察上述结果，推测计算Sn的公式，并用数学归纳法证明2、设数列｛a.｝的前n项和为Sn，若对所有的正自然数n,都有Sn=n(aian)证明：{a.}是等差数列3、｛an｝是正数组成的数列，前n项和为Sn,且对所有n?N'；an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项1)写出数列｛an｝的前3项；(2)求数列｛an｝的通项公式(写出推证过程)；(3)令bn=1()(n?N),求Iim(bi+b2+…+bn-n)2ann4ilgSn+lgSnio4、设｛an｝是正数组成的等比数列；前n项和为Sn1)证明：一2一0,使得Ig(SnQ；—g4s「2_2=Ig(Sn1_c)成立？并证明你的结论5、设｛an｝为等比数列；Tn=nai(A1)aA2an_(?a,已知Ti=1,T?=4(1)求数列｛a｝的首项和公比；(2)求数列｛Tn｝的通项公式6、已知｛an｝是首项为2,公比为2的等比数列，前n项和为Sn1)用Sn表示Sn-1;(2)是否存在自然数c和k,使得邑二>2成立Sk-C。