yyl＞西南大学2018年6网络与继续教育大作业答案-0044线性代数2、西南大学2018年6月网络继续教育大作业答案-0044线性代数3、西南大学2018年12月网络教育大作业答案-［0044］《线性代数》4、西南大学2018年12月网络与继续教育［0044］《线性代数》答案5、西南大学网络继续教育学院线性代数［0044］答案6、西南大学网络教育2018年春［0044］《线性代数》答案7、西南大学网络教育线性代数0044作业（1）8、西南大学网络教育线性代数0044作业9、西南大学网络与继续教育2018年12月0044（线性代数）答案10、西南大学网络与继续教育学院0044线性代数大作业答案11、西南大学网络与继续教育学院2016年12月［0044］《线性代数》答案12、西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷线性代数［0044］答案13、2015年12月西南大学（0044）《线性代数》大作业A标准答案14、2015年12月西南大学［0044］〈线性代数〉大作业A标准答案15、2015年秋西南大学(0044)《线性代数》A标准答案16、2016年6月西南大网络与继续教育学院线性代数［0044］A卷答案17、2016年12月西南大网络与继续教育学院［0044］线性代数(2)参考答案18、2016年12月西南大网络与继续教育学院0044线性代数参考答案⑴19>2016年12月西南大学网络与继续教育学院《线性代数》［0044］大作业答案20、2016年12月西南大学网络与继续教育学院《线性代数》［0044］大作业答案21、2016年年12月西南大学网络与继续教育《线性代数》［0044］大作业答案22、2016西南大学网络教育大作业《线性代数》0044答案23、2017年6月西南大网络与继续教育学院0044线性代数参考答案24、2017年6月西南大网络与继续教育学院0044线性代数大作业答案25、200年6月西南大学网络与继续教育学院［0044］〈线性代数〉大作业答案26、2017年6月西南大学网络与继续教育学院线性代数0044作业27、2017年秋西南大学继续教育0044线性代数28、2018年6月西南大学网教［0044］《线性代数》 上传29、2018年6月西南大学网教大作业答案-0044《线性代数》30、西南大学2017年12月网络教育大作业答案-0044线性代数31、西南大学2017年12月网络教育大作业答案-0044线性代数类别：网教专业：计算机科学与技术 2018年6月课程名称【编号】：0044【线性代数】 A卷大作业 满分：100分一、大作业题目 x a ... a n X n1.计算行列式"*-.的值.Cl CL a・• X解：计算行列式Dn x a ...aa x ...a a a・・・x把第2,3,・・・,n列都加到第1列，提出公因子x+(n・l)a,得1 a ...a1 x ...a1 a…x第1行乘-1加到23,...,n行，得1 a・..a0 x-a ...000...x-a这是个上三角形所以行列式=[x+(n-l)a](x-a)A(n-l).’2 02 .已知P= 0 1、0 00 0、2 0 ,计算(P-JP。
0 2,3 .设线性方程组为X] 一 - 3x3 4- x4 =12xt - 2x2 — 5x3 + 3x4 — 44xj - 4x2 +3七+19%4 = 4x1 — x2 — 2x3 + 2x4 = 3(其中4为实数),(1)独何值时，该方程组有解?(2)在有解的情况下，求出其特解/以及其对应的齐次线性方程组的基础解系,进而求出原方程组的通解.2 1 1、4 .给定矩阵A=0 2 0.「4 1 3；(1)求出A的特征值及特征向量;(2)矩阵A能对角化?说明理由. 解-211A= 0 20-413入+2 -1 -1|AI-A|= 0 A-2 0 4 ・1 X-3解得人=・1,2 (两・)格特征值-1代入特征方程(AI-A)x=01-1-10-3 04-1-4箕3行,娥去行x4二(人 *1)(入-2)2 =01-1-10-3 00 3 01-1-10-3 000 0国2行逼取公因子• 31-1-10 100 0 010-101 000010-1；0 oiolo 00 ill1005101050ooih得到厦于特征值-1的特征向■(LOJ)I将特征值2代人特征方程（AI-A）x=O4-1-10 0 04-1-1M3行盛会1U行4-1-10 0 00 0 01 : 11 - - OjO -4 ： 40 1 Oil 00 o do i8U行身障公四六口2行,加上箕2行心4010:1001=00 1 0 :100 0 1 ；01之 . iodii4 — 24 .。
花400； 001：04|得到属于特征值2的特征向墨（1,4,0L0,4）T 得到特征向量矩阵P =111040104并且有 P '1 AP = A = diaq(-l,2,2)5.设向量组Q1,…4,线性无关，而向量组6,a,"线性相关,则向量b可由9,生,…,明,线性表示，且表示法是唯一的.解：由于al, a2,..., am, B线性相关所以存在一组不全为0的数kl, k2,..., km, k使得klal+k2a2+...+kmam+kB=0则必有kWO.否则 klal+k2a2+...+kmam=0,而al, a2,..., am线性无关，所以 kl=k2=...=km=0这与kl, k2,..., km, k不全为0矛盾.故有 B=(-l/k)(klal+k2a2+...+kmam)即B可由al, a2,..., am线性表示.设 B = klal+k2a2+..+kmamB = kl* al+k2* a2+..+km, am则(kl-kl') al+(k2-k2*) a2+..+(km-km，) am=0由al, a2,.... am线性无关知ki-ki*=0,即 ki = ki', i=l,2,..., m所以表示法唯一.二、大作业要求大作业共需要完成三道题：第1-2题选作一题，满分30分;第3-4题选作一题，满分30分;第5题必作，满分40分。
类别：网教专业：计算机科学与技术 2018年6月课程名称【编号】：0044【线性代数】 A卷大作业 满分：100分二、大作业题目Xx…".的值.CL ・・• X1.计算行列式" a‘2 0 0、2.已知 P= 0 1 2b‘100、A=020,计算(pT/jp)50.2,IX］一—313+彳4=12x1-2x2-5x3+”=4中 a 为实数)，4Xj -4x2+3.+19x4= z %)— x2—2x3+2x4=3⑴，取何值时，该方程组有解？(2)在有解的情况下，求出其特解屋以及其对应的齐次线性方程组的基础解系,进而求出原方程组的通解.'-211、4 .给定矩阵4=020「413,⑶求出A的特征值及特征向量;(4)矩阵A能对角化?说明理由.5 .设向量组外,%,...,a,“线性无关，而向量组，力线性相关，则向量b可由外,线性表示，且表示法是唯一的.二、大作业要求大作业共需要完成三道题：第1-2题选作一题，满分30分；第3-4题选作一题，满分30分；第5题必作，满分40分第一题答：计算行列式Dnx a ... aa x ... aa a ... x把第2,3,...» n列都加到第1歹U,提出公因子x+(n~l)a,得1 a ... a1 x ... a2 a ... x第1行乘-1加到2,3 n行，得3 a ... a0 x-a ...000... x-a这是个上三角形所以行列式=[x+(n-l)a](x-a)'(n-l).第四题：答：-(A*lXA-2)2-0解博人--1.2(RB)格特征值」代入特征方程(Al-A)x・01-1-10-304-1-41-1-10-30030■访 tC±M2<7i・i・i 0-30000・2杼曲公■于31-1-101000091杼 SUJI2I710-1010000加.此次•事io-ib oi ob oo ih・1行 KJJOfTlodi 010:0 OOlil将到厦于特征值，的特征向■(LO.W将特iM2代入特征方程(Al-A)x=O41-10004.11・1杼■3d4-1-1000000龊：4■1»7 听41.11441型才事1-7•为。
44i90±■孙!4卜;■泗3U朽000000100|j 01.1 ooi!o14 E ・劭・皿010:10001:0110(X1101*000110401000：10 doi01博到属于特征值29W征同・(1.40)1(L0.4)t得到特征向墨矩药P =111040104并且有 P1AP = A = diag(-L2.2)第五题答：由于al, a2,..., am, B线性相关所以存在一组不全为0的数kl,k2,...,km,k使得 klal+k2a2+.・.+kmam+kB=O则必有kr0.否则 klal+k2a2+.・.+kmam=O,而al, a2,..., am线性无关，所以 kl=k2=...=km=O这与kl, k2,..., km, k不全为0矛盾.故有 B=(T/k)(klal+k2a2+...+kmam)即B可由al, a2,・・.，am线性表示.设 B = klal+k2a2+..+kmamB = kl' al+k2' a2+.・+km' am则(kl-kl*)al+(k2-k2,)a2+..+(km-km,)am=O由al, a2,..., am线性无关知ki-ki'=0,即 ki = ki', i=l,2,...,m所以表示法唯1（注：因为这里公式编辑器里面不能输入矩阵,所以我只好用latex编辑后在这里插入图片，为了避免争议后面附上latex源码）题1:解:根据题设（2E C （一得出:C(2E -C-lB}AT=CC-* (1)(2C - = E (2)((2C - = Et (3)A(2C - = £ (4)4=((2C-B)t)-* (5)于是.显然这是一个单位下三角矩阵其行列式为对角线集积等于1.且存在逆矩阵使用高斯消元法求解：题4：证明设 A =(«1,»2,«3)-则 H = AA =>!(<»!,(»2,<»3)=0,显然.4<>,=0(«€{1,2,3}).所以 A 的每一列都是齐次线性方程组AX =0的解根据齐次线性方程组理论..4X =<1的基础解系中.线性无关的解的个数(或者说解空间的维数)<“一，(4).而.4的列向量组{.，如，、}是解空间的一部分.所以A的列向量组中的极大线性无关组中的向量个数(即，,(▲))一定$基础解系中线性无关的解的个数.也就是< n- r(4),所以r(4)< n- r(.4),从而 r(A}+ r(4)=2r(4)< n =3,于是 r(4)=1.题5:(1+ A 1 1 0\1 14-A 1 31 1 1+A A/转换得到：(1+ A 1 1 0\1 14- A 1 334-A 3+A 3+ X 34-A/显然当A =-3时有无穷多解.当A #-3时：“ 1 1 o\t 1 1+A 1 3\ 1 1 1 1/(A 0 0 -1 \0 A 0 20 0 1 1 + A-1 -2A-1/可见当A= 0时无解，否则当八# 一3时有唯一解.当入=-3时.原线性方程组与J-2xl+xa + r3 = »同解X\ — 2^2 + ― 3取了3为自由未知量 令工3为（）得到特解7,.令，3 = 1.得到基础解系于是通解为其中人为任意常数附答案latex源码:解：根据题设$(2E-CA{-1}B)A"T = C，-1}$得出:\begin{align}C(2E - CA{-1}B)AAT &= CCA{-1}\\(2C - B)AAT &= E \\((2C - B)AAT)AT &= EAT \\A(2C - B)AT &= E \\A&=((2C- B)AT)A{-1}\end{align}于是，\begin{align}((2C- B)AT}A{-1}&=\left(\left(4 \begin{pmatrix}1 &2&0&1\\0&1&2&0\\0&0&1&2\\0&0&0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&2&-3&-2\\0&1&2&-3\\0&0&1&2\\O&O &0&1\end{pmatrix)\right)AT\right)A{-1}\\&=\left(\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&1&2&3\\0&0&1&2\\0&0&0&1\end{pmatrix} AT\right)A{-1}\\&=\begin{pmatrix}1 &0&0&0\\2 &1&0&0\\3 &2&1&0\\4&3&2&1\end{pmatrix} A{-1}\end{align)显然这是一个单位下三角矩阵，其行列式为对角线乘积等于$1$,且存在逆矩阵.使用高斯消元法求解：\begin{align}(A|E)&=\left(\begin{matrix}4 &0&0&0\\5 &1&0&0\\6 &2&1&0\\4&3&2&1\end{matrix}\left|\begin{matrix)1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right)\\&=\begin{matrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&1&1&0\\1&1&1&1\end{matrix}\left|\begin{matrix}1&0&0&0\\-1&1&0&0\\0&-1&1&0 w0&0&-1&1\end{matrix}\right)\\&=\left(\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\left|\begin{matrix)1&0&0&0\\-2&1&0&0\\1&-2&1&0\\0&1&-2&1\end{matrix}\right)\\\end{align)得出$A=\begin{pmatrix)1&0&0&0\\-2&1&0&0\\1&-2&1&0\\0&1&-2&1\end{pmatrix)$.\clearpage证明：i5$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$.则$AA2=AA=A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=0$,显然$A\alphaJ=O$$(i \in \{1,2,3\!)$.所以$A$的每一列都是齐次线性方程组$人*=0$的解.根据齐次线性方程组理论,$AX=O$的基础解系中，线性无关的解的个数(或者说解空间的维数)$\leq n-r(A)$.而$A$的列向量组$\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$是解空间的一部分，所以$A$的列向量组中的极大线性无关组中的向量个数(即$r(A)$)一定$\leq$基础解系中线性无关的解的个数，也就是$\leq n-r(A)$,所以$r(A)\leq n-r(A)$,从而$r(A)+r(A)=2r(A)\leq n=3$,于是$r(A)=1$.\clearpage解：根据方程有增广矩阵$B=\begin{pmatrix)1+\lambda &1&1&0\\1&1+\lambda &1&3\\1&1&1+\lambda &\lambda\end{pmatrix}$转换得到：$ B \rightarrow \begin{pmatrix)1+\lambda &1&1&0\\1&1+\lambda&1&3W3+\lambda &3+\lambda &3+\lambda &3+\lambda\end{pmatrix}$显然当$\lambda=-3$时有无穷多解.当$\lambda \neq -3$时：$\rightarrow \begin{pmatrix}1+\lambda &1&1&0\\1&1+\lambda&1&3W1&1&1&1\end{pmatrix)$\rightarrow \begin{pmatrix)\lambda &0&0&-1\\0&\lambda &0&2\\1 &1&1&1\end{pmatrix)$\rightarrow \begin{pmatrix}\lambda &0&0&-1\\0&\lambda &0&2\\0&0&1&1+\lambdaA{-1)-2\lambdaA{-1}\end{pmatrix)$可见当$\lambda=0$时无解，否则当$\lambda \neq-3$时有唯一解.当$\lambda =-3$时，原线性方程组与$\left\{\begin{matrix)-2x1+ x_2+ x_3=0\\x_1-2x_2+ x_3=3\end{matrix}$同解，取$x_3$为自由未知量，令$x_3$为$0$得到特解$\etaA*=\begin{pmatrix}-1\\-2\\0\end{pmatrix}$.令$x_3$=1,得到基础解系为$\xi_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$.于是通解为$\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix}=k_1\begin{pmatrix)1\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix)-1 W-2\\0\end{pmatrix)$,其中$k_1$为任意常数.（注：因为这里公式编辑器里面不能输入矩阵,所以我只好用latex编辑后在这里插入图片，为了避免争议后面附上latex源码）题1:解:根据题设（2E C （一得出:C(2E -C-lB}AT=CC-* (1)(2C - = E (2)((2C - = Et (3)A(2C - = £ (4)4=((2C-B)t)-* (5)于是.显然这是一个单位下三角矩阵其行列式为对角线集积等于1.且存在逆矩阵使用高斯消元法求解：题4：证明设 A =(«1,»2,«3)-则 H = AA =>!(<»!,(»2,<»3)=0,显然.4<>,=0(«€{1,2,3}).所以 A 的每一列都是齐次线性方程组AX =0的解根据齐次线性方程组理论..4X =<1的基础解系中.线性无关的解的个数(或者说解空间的维数)<“一，(4).而.4的列向量组{.，如，、}是解空间的一部分.所以A的列向量组中的极大线性无关组中的向量个数(即，,(▲))一定$基础解系中线性无关的解的个数.也就是< n- r(4),所以r(4)< n- r(.4),从而 r(A}+ r(4)=2r(4)< n =3,于是 r(4)=1.题5:(1+ A 1 1 0\1 14-A 1 31 1 1+A A/转换得到：(1+ A 1 1 0\1 14- A 1 334-A 3+A 3+ X 34-A/显然当A =-3时有无穷多解.当A #-3时：“ 1 1 o\t 1 1+A 1 3\ 1 1 1 1/(A 0 0 -1 \0 A 0 20 0 1 1 + A-1 -2A-1/可见当A= 0时无解，否则当八# 一3时有唯一解.当入=-3时.原线性方程组与J-2xl+xa + r3 = »同解X\ — 2^2 + ― 3取了3为自由未知量 令工3为（）得到特解7,.令，3 = 1.得到基础解系于是通解为其中人为任意常数附答案latex源码:解：根据题设$(2E-CA{-1}B)A"T = C，-1}$得出:\begin{align}C(2E - CA{-1}B)AAT &= CCA{-1}\\(2C - B)AAT &= E \\((2C - B)AAT)AT &= EAT \\A(2C - B)AT &= E \\A&=((2C- B)AT)A{-1}\end{align}于是，\begin{align}((2C- B)AT}A{-1}&=\left(\left(2\begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&1&2&0\\0&0&1&2\\0&0&0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&2&-3&-2\\0&1&2&-3\\0&0&1&2\\O&O &0&1\end{pmatrix)\right)AT\right)A{-1}\\&=\left(\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&1&2&3\\0&0&1&2\\0&0&0&1\end{pmatrix} AT\right)A{-1}\\&=\begin{pmatrix}1 &0&0&0\\2 &1&0&0\\3 &2&1&0\\4&3&2&1\end{pmatrix} A{-1}\end{align)显然这是一个单位下三角矩阵，其行列式为对角线乘积等于$1$,且存在逆矩阵.使用高斯消元法求解：\begin{align}(A|E)&=\left(\begin{matrix}4 &0&0&0\\5 &1&0&0\\6 &2&1&0\\4&3&2&1\end{matrix}\left|\begin{matrix)1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right)\\&=\begin{matrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&1&1&0\\1&1&1&1\end{matrix}\left|\begin{matrix}1&0&0&0\\-1&1&0&0\\0&-1&1&0 w0&0&-1&1\end{matrix}\right)\\&=\left(\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\left|\begin{matrix)1&0&0&0\\-2&1&0&0\\1&-2&1&0\\0&1&-2&1\end{matrix}\right)\\\end{align)得出$A=\begin{pmatrix)1&0&0&0\\-2&1&0&0\\1&-2&1&0\\0&1&-2&1\end{pmatrix)$.\clearpage证明：i5$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$.则$AA2=AA=A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=0$,显然$A\alphaJ=O$$(i \in \{1,2,3\!)$.所以$A$的每一列都是齐次线性方程组$人*=0$的解.根据齐次线性方程组理论,$AX=O$的基础解系中，线性无关的解的个数(或者说解空间的维数)$\leq n-r(A)$.而$A$的列向量组$\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$是解空间的一部分，所以$A$的列向量组中的极大线性无关组中的向量个数(即$r(A)$)一定$\leq$基础解系中线性无关的解的个数，也就是$\leq n-r(A)$,所以$r(A)\leq n-r(A)$,从而$r(A)+r(A)=2r(A)\leq n=3$,于是$r(A)=1$.\clearpage解：根据方程有增广矩阵$B=\begin{pmatrix)1+\lambda &1&1&0\\1&1+\lambda &1&3\\1&1&1+\lambda &\lambda\end{pmatrix}$转换得到：$ B \rightarrow \begin{pmatrix)1+\lambda &1&1&0\\1&1+\lambda&1&3W3+\lambda &3+\lambda &3+\lambda &3+\lambda\end{pmatrix}$显然当$\lambda=-3$时有无穷多解.当$\lambda \neq -3$时：$\rightarrow \begin{pmatrix}1+\lambda &1&1&0\\1&1+\lambda&1&3W1 &1&1&1\end{pmatrix)$\rightarrow \begin{pmatrix)\lambda &0&0&-1\\0&\lambda &0&2\\1&1&1&1\end{pmatrix)$\rightarrow \begin{pmatrix}\lambda &0&0&-1\\0&\lambda &0&2\\0&0&1&1+\lambdaA{-1)-2\lambdaA{-1}\end{pmatrix)$可见当$\lambda=0$时无解，否则当$\lambda \neq-3$时有唯一解.当$\lambda =-3$时，原线性方程组与$\left\{\begin{matrix)-2x1+ x_2+ x_3=0\\x_1-2x_2+ x_3=3\end{matrix}$同解，取$x_3$为自由未知量，令$x_3$为$0$得到特解$\etaA*=\begin{pmatrix}-1\\-2\\0\end{pmatrix}$.令$x_3$=1,得到基础解系为$\xi_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$.于是通解为$\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix}=k_1\begin{pmatrix)1\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix)-1 W-2\\0\end{pmatrix)$,其中$k_1$为任意常数.q 120n 3al3an an 知已知3阶行列式如 i 4an 6a23=6,则a2l a22 a23=().36 i 6a329色3色162 a33答：1/652、为正父矩阵，则a =（ ）"=（ ）1731一遍6173-2-n a1万1一V6二V2r I答,a = O,b=1/V253、/ \已知。
1,2,3),则|0%|=\ 7答：「1 2：324 636 954、设上阶方阵4扇三个特征值为1,2,3,则|A + E|=(24).‘200、设三阶方阵乂=0 x可逆，则x, A应满足条件（ ）.（023）答:3xW2y56、3-1 f矩阵.4=-102所对应的二次型是（ ）.1 223x；-2x,x,+2x,Xj +4x、巧答：若线性方程组 2x2!元答：058.(，P 已知吗=0. X?=4性方程组4"有一个非答：口包59、p 10若矩阵/=1 k 0、00 k2答：K>160、N为3阶方阵：且|/卜答：.461、A 为5x3矩阵,R(A)=一电=2无解，则尤=( ).弓=2+2’是3元非齐次线性方程组小=b的两个解向量，则对应齐次线零解向量，=是正定矩阵，则上满足( )=-2,/是,4的伴随矩阵，则|4/"+/1=( )'102、=3, B=020,贝ijR(AB)=( )、003,向量组日)：勺/2,…与向量组(3):4/2,…等价，目向量组(.4)线性无关，贝(Jr与s的大小关系是( ).答：r《63、).)•设向量组勺=1 =-2一2答：364、设4为3阶方阵，且|4|=-2,4♦是.4的伴随矩阵，则|4/7+/.卜(答：-465、f 1-1 n设/='24a，且.4的特征值为4=6,4=%=2如果/有属于特征值2的两1-3-35)个线性无关的特征向量，则。
)-答：-266、%67、设2阶实对称矩阵A的特征值为1,2,它们对应的特征向量分别为«!=则数2=( y答：-i68、设.4=314"“3),8=(q+%+a力q +2a：+4%,%+3az +9a且⑷=L 则圈=()-答：2二次型曲,XI,3)=(XI - X2)2+(«-功?的矩阵A =(1-10、-12-1.1o-iij答：70、设线性方程组Ax =0, A是4x5阶矩阵，如果K(A)=3,则其解空间的维数为(2).71、设4 B为同阶可逆矩阵，则O 2/B O0 8")卜"°'答：,72、设 a 与/?的内积(a,#)=2,|回|=2,则内积(2a+//,/)=(-8).向量组％=23,4), a,=(2,3,4,5), a,=(3,4,5,6), a4=(4,5,6,7)的秩为().答：2设.4满足3E+/-*=0,则/」=(答:设三阶方阵.4的特征值为1,2,-1,贝”;/川的特征值为( )答：176、已知.4= P ;］，求其特征值与特征向量.3Solution 令 A - )£ |= .二(3-狈1-/)+7= Jl2-14z+40=(^ -4X2 -10)=0.得/的特征值为4=4./=10.当2 = 4时，齐次线性方程组(A-4E)x =的基础解系为于是对应于2 = 4的特征向量为可；当2 = 10时,为兄妣方程组(A -10E)x的基础解系3-10为I于是时应于1=10的特征向量为后=0.77、400…0 anax b20--- 0 0计算行列式0 a2 b3--- 0 0♦---° 0 ° — bnSolutjon将所给行列式按第1行展开，有Jj 0 0 …0 a.%与 0 … 0 00 a2 劣••• 0 0•••• •••° o o…0的4=岫…4+(-l),*1aIaa78、'X]+M +x3«1当4方为何值时，方程组, x2-x3=l 有无穷多解°并求出其结构解.2xi +3x2+(。
2此=b +3Solnrig对电广矩阵他行初等行交换化为显然火(/) ML要使原线防程组有无穷多个解，必须泡足&4)・R&-2,进而a・1「1020、5•“这时，2的行最简形邮为01-11.[0000,令巧=0,得特解/=[l]对应的点次线15方程组跑班续系为4=11,因而原线性方程组储构解为仅、1(R中2为任it常数)79、已知向量组G1, az,03线性无关,fi/i = a\- ai,“产23-28+伤=01-02+2g.证明向量组加，即伤线性无关.答Proof假设上/1-21一号4=0,9]"[(%-"：)+*；(2«[+ la.+%)+居(4- a：+2a,)=0,于是，伏i +此+品)《1+(-瓦+%-&)%+(左：+2&)a；=0.因为%,a：,a；线性无'匕+%：+y=0 121关，所以-&+2坛-&=0.由于-12-1=8#0,所以公=与=k；=0,因此与+%=0 012A&A,线忸关80、A,B是同阶对称矩阵，证明：48为对称矩阵的充要条件是A与8可交换.答Proof (=❖)因为A B是同阶对称矩阵，若AB为对称矩阵,则.4B =(.4fi):= B*.4t = BA«u)因为48是同阶若称矩阵，若」与8可交换，则AB = B.4=6：/：= UB)r单项选择题若方程组］/+巧=0有非零解，贝代=( ).］ ［物一士=0r1. 2r2. 03. r 14. C -1.1111方程I :=0的所有根为( ).1 1 2-x 12、 I r %= (1,0,0), a2 =(0,1,0), % = (0.0,1)2. r «1 =(12,3),02 =(2,4,5)3 r % = (L2,2)c =(212)4 = (2.2J)4 r ai=(LZ3),%=(456)9=(ZL0) ”4如果4是〃阶矩阵/的特征值：那么必有( ) 1 13-x1. r 0,1,2,32. C 1.2,3,43. r 0,1,2.4.11.2,3下列各向量组线性相关的是( ).]「 | A - 0『 -4—4EhO3 C I A-AqE^Q “4 「 A-aoE = O已知人、儿是非齐次线性方程组小=。
的两个不同的解，,、％是其导出组—=0< 的一个基础解系，M后为任意常数，则方程组4\・=的通解可表成（ ）.- kya]+心心+—~~—1. C 2左冈+一（4+2）+4：'2. 1 2r 瓦6+后%+"；跖3. ' 2 〃l kiai +无式 A +2）+—产A下列关于X1,W3国的二次型正定的是（ 工O,*]C x；+2xjX3+2宕+ x； u2 r x；+2xj3 r x；+2xxx2+2xj4 C i x；+2X]%+2x；一岩7、向量组ai, e,.…a：的秩为r,且Ys,贝女 ）.].r E. G，©，…,心中任意人1个向量线性无关5 「 ai, m,…,a：中任意尸+1个向量线性相关“6 .1勾，⑥，…,a：中任意r个向量线性无关8、设45均为3阶方阵，目/与3相似4的特征值为1,2,3,则（现“特征值为（ ）.1111 . r 展7Y “r 21-2 .「』33.1123r 2,1,-4. 29、下列矩阵为正交矩阵的是（）.ri o o'-0103 o o 1n i iin -iW _LT ~210、矩阵a与8相似，则下列说法不正确的是（ ）1 .「style=Mtext-indent:32px"与8有相同的特征值2. r A = B /3. r Ml = Wl4. C R(A)= R(B)设/为〃阶方阵，小-M2-几且⑷黄0,即，4= 4 ，则//=(7I、I、X4：已知一4为肛阶方阵，且满足4=2£,5为单位阵，则(/-幻"=( )12、1 r A-E2 .「E + A。
13、设m, ©是线性方程组.依=的解，〃是对应齐次线性方程组,公=°的解，贝女).,「 E-A° C寸+（01・0?）是4r =0的解3 11+8是如:=»的解4 1广1是心=0的解4.已知线性方程组的系数矩阵M是4x5矩阵，且.4的行向量组线性无关，则下小列结论正确的是（ ）1. r F. A的列向量组线性无关2. C 线性方程组的增广矩阵的任意四个列向量线性无关3. r 线性方程组的增广矩阵的列向量组线性无关4. r 线性方程组的增广矩阵的行向量组线性无关/15、下列各向量组线性相关的是（ ）.r =(1,2,3), Oj =(4,5,6),03=(2,1,0)0C %=(1,Z2).%=(2J2),%=(2.ZDr %=(L2,3),%=(2,4,5)1%=(1,0,0),%=(0,1,0),,=(0,0,1)设as为同阶可逆矩阵，幺了0为数，则下列命题中不正确的是( ).r (5=才“r (4-1)"=/r = BlAl二次型= M+100宕+W +2演再西+第工是（ ）.1/、1. c负定的2. C正定的3. 「半正定的4. style=Htext-indent:14px;line-height:150%”>不定的1S设4为x阶方阵,.4的秩&4）=「<么那么在4的”个列向量中（ ）.1O\1. C 必有r个列向量线性无关02. C 任意r个列向量都构成最大线性无关组3. C 任何一个列向量都可以由其它r个列向量线性表出4. C 任意r个列向量线性无关19、设”阶矩阵彳满足4:=4,则.4的特征值为（ ）.1. r 02. r 13. C ±14. C 0或1设45均为力阶方阵,E为”阶单位矩阵，则有( ).(A)(4+5)2=d+2AB +京 (B)(AB)3=4"(C)(A +3E\A-3E)= A2-9E (D)\-5A |=|-5\\A\20、]r A (A+3E\A-3E)= A2-9E 02 r \-5A\=\-5\\A\3 r (皿3=/好c (A+B)2=A1+2.4B + B1设/为三阶矩阵，且H =2,则(/*尸|=( ).21、1.122. C 4)3.「彳”4.1122、设〃阶方阵4的行列式“|=0,则/中( ).1. 1 C.必有一列向量可有其余列向量线性表示”2. r 必有两列元素对应成比例3. C 任一列向量是其余列向量的线性组合4. C 必有一列元素全为0”阶方阵N与对角阵相似的充要条件是( )23、1. C D. A有n个互异特征值2. r A是实对称阵3. C A有n个线性无关的特征向量/4. r A的特征向量两两正交2%设/是加X间矩阵，则齐次线性方程组Wt = O仅有零解的充分必要条件是（）.r 1（】. B. style="margin-top:7px;margin-bottom:7px;text-indent: I4px;line-height:150%H>A 的行向量组线性相关2. A的行向量组线性无关3. r 4的列向量组线性无关C4. slyle="margin-top:7px：margin-bottom:7px;text-indent:14px;line-heighl:150%">A 的列向量组线性无关25、在下列矩阵中，可逆的是（ ）.F o 0、010 L「I。
’110、01121 I—1,勺1 o,2203. r I00、111主观题2勾23q3已知3阶行列式入214a心6a2326、3a316色29a33参考答案:all a126,贝 ija2l a22 a23=()色1 色3设矩阵.4=±731一遍 b 173-2-V6a 「存1瓶为正父矩阵，则4=( ),方=( ).27、参考答案:a = Qtb=1/V2已知a=(L 2,3),则 a%28、参考答案:1369,29、设三阶方阵A的三个特征值为1,2,3,则|A + E|=(参考答案:243()、(1设三阶方阵x=0,00、y可逆，则x, J应满足条件(3,).参考答案：3x^2y'3-1 f矩阵4=-102所对应的二;欠型是（ ）.31、 L122参考答案：3x{- +2%^3+4x2x3+2x；西—2x2+3x3=—1若线性方程组 2七一七=2无解，则）=（a, Ax,=2+2参考答案：0T、 已知巧=0,与=4是3元非齐次线性方程组4-1-M 15,性方程组Ax=0有一个非零解向蚩J .33、 '）参考答案：0‘110、若矩阵/=1 k 0是正定矩阵，则上满足（*0巳34、参考答案：k >1）-=方的两个解向量，则对应齐次线）_ N为3阶方阵，且|4|=-2,4♦是4的伴随矩阵，则|4k+/1=( )35、参考答案：-4'102、4为5x3矩年火(4)=3, B= Q 2。
贝 i」K(4B)=( )36、 I°3)参考答案：337、向量组0)：%,%,…,凡与向量组(3):从：色,…等价，且向量组⑷线性无关，则尸与5的大小关系是( ).参考答案：r45、设线性方程组Ax =0, A是4x5阶矩阵，如果&4）=3,则其解空间的维数为（ ）.参考答案:2设46为同阶可逆矩阵，则46、参考答案:B"47、设 a 与“的内积(a,#)=2,网=2,则内积(2a+.,/)=().参考答案：-8向量组%=(1,2,3,4),02-(2,3.4,5), a,=(3,4,5,6).4=(4,5,6,7)的秩为参考答案：2设.4满足3E+4-4=0,则/"=( )参考答案：衿一与设三阶方阵.4的特征值为1,2,-1,贝的特征值为( )50、 <2)参考答案：T,-2,1X]+X?+/=4-3当a为何值时，线性方程组,xx^ax2+x3=-2有无穷多个解，并求出其通解.♦A +叼+%=-251、参考答案:4.Solution将增广矩阵5化为"(\ 1 1 3MM0-14-3、1 - a1-%当a =1时，原线性方程组有无穷多个解.（15分）。
当a =1时，原线性方程组与毛+巧+毛=-2同解.取右,天为自由未知量，令.（T巧=0,覆=0得特解为I；=0. （5分AIr-n r-r分别金[ ： I]；|的基砒解系为4=i ,和=0- »分"、° j 11•>于是通解为20 O-求矩阵.4=111的特征值和特征向量■参考答案:2-A 03.Solution 因为 | .4 一 ZE |= 1 1 -z1 -1= (2-A)1 -A-113-2b —1 1 1 1二Q一或，3-广QT）2]3一十（2-4'所以/的特征值为2《分》对于；1=2时，齐次线性方程组（-4-2石）*=0与毛-x?+w =0同解，其基砒解系o ,(io 分)，'-r+ k2 0(1>,其中占，自不全为0.（10分AT于是…4的对应于2的特征向量为自16设2阶矩阵.4可逆，且4・；],对于矩阵R=[3 PLit ；|，令5= P3B，求炉上53、参考答案：2.Solution 由已知，有 PJ =由于5= PV4P,,于是 B-1= P「ATP」 (10分)a2Ab1-26] + b] ax - 2al +%(10 分 A1114求4阶行列式;；"的值一54、参考答案:1111111411311. Solution ♦*12111111-1.+501001111(10分 a3000C—J(10 分 wc—q 020001101111=6 (10分)讨论2为何值时，线性方程组(1+ x)xj +巧+毛=0<再+(1+2)xj +巧=3毛+工？+ Q +2)覆=2(1)有唯一解？(2)无解？(3)有无穷多解？并在。