高中数学第三章概率3.3模拟方法-概率的应用学业分层测评北师大版

3.3 模拟方法—概率的应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．灰太狼和红太狼计划在某日12：00～18：00这个时间段内外出捉羊，则灰太狼和红太狼在14：00～15：00之间出发的概率为(　　)A.　　　　　　　 B．C. D.【解析】　P＝＝.【答案】　D2．已知函数f(x)＝log2x，x∈，在区间上任取一点x0，则使f(x0)≥0的概率为(　　)A．1 B．C． D．【解析】　欲使f(x)＝log2x≥0，则x≥1，而x∈，∴x0∈[1,2]，由几何概型概率公式知P＝＝.【答案】　C3．若将一个质点随机投入如图3­3­3所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(　　)图3­3­3A. B．C. D.【解析】　由题意AB＝2，BC＝1，可知长方形ABCD的面积S＝2×1＝2，以AB为直径的半圆的面积S1＝×π×12＝.故质点落在以AB为直径的半圆内的概率P＝＝.【答案】　B4．A是圆上的一定点，在圆上其他位置任取一点B，连接A、B两点，它是一条弦，则它的长度大于等于半径长度的概率为(　　)A. B．C. D.【解析】　如图，当取点落在B、C两点时，弦长等于半径；当取点落在劣弧上时，弦长小于半径；当取点落在优弧上时，弦长大于半径，所以弦长超过半径的概率P＝＝.【答案】　B5．在区间[0,1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是(　　)A. B．C. D.【解析】　设在[0,1]内取出的数为a，b，若a2＋b2也在[0,1]内，则有0≤a2＋b2≤1.如图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a2＋b2在[0,1]内的点在单位圆内(如阴影部分所示)，故所求概率为＝.【答案】　A二、填空题6．函数f(x)＝x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率是________．【解析】　由f(x0)≤0得x0－2≤0，x0≤2，又x0∈[－5,5]，∴x0∈[－5,2]．设使f(x0)≤0为事件A，则事件A构成的区域长度是2－(－5)＝7，全部结果构成的区域长度是5－(－5)＝10，则P(A)＝.【答案】　7．圆上的任意两点间的距离大于圆的内接正三角形边长的概率是________．【解析】　如图所示，从点A出发的弦中，当弦的另一个端点落在劣弧上的时候，满足已知条件，当弦的另一个端点在劣弧或劣弧上的时候不能满足已知条件，又因为△ABC是正三角形，所以弦长大于正三角形边长的概率是.【答案】　8．在[－6,9]内任取一个实数m，设f(x)＝－x2＋mx＋m－，则函数f(x)的图像与x轴有公共点的概率等于________．【解析】　若函数f(x)＝－x2＋mx＋m－的图像与x轴有公共点，则Δ＝m2＋4≥0，又m∈[－6,9]，得m∈[－6，－5]或m∈[1,9]，故所求的概率为P＝＝.【答案】　三、解答题9．如图3­3­4所示，在边长为25 cm的正方形中有两个腰长均为23 cm的等腰直角三角形，现有粒子均匀散落在正方形中，粒子落在中间阴影区域的概率是多少？图3­3­4【解】　因为粒子落在正方形内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．设A＝{粒子落在中间阴影区域}，则依题意得正方形面积为25×25＝625(cm2)，两个等腰直角三角形的面积为2××23×23＝529(cm2)，阴影区域的面积为625－529＝96(cm2)，所以粒子落在中间阴影区域的概率为P(A)＝.10．已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－y). (1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；(2)若x，y∈[1,6]，求满足a·b＞0的概率．【解】　(1)设(x，y)表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．用A表示事件“a·b＝－1”，即x－2y＝－1，则A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个．∴P(A)＝＝.(2)用B表示事件“a·b＞0”，即x－2y＞0.试验的全部结果所构成的区域为{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}，构成事件B的区域为{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6，x－2y＞0}，如图所示．所以所求的概率为P(B)＝＝.[能力提升]1.如图3­3­5，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是(　　)图3­3­5A．1－　　　 B．－C. D.【解析】　设扇形的半径为2，则其面积为＝π，记由两段小圆弧围成的阴影面积为S1，另外三段圆弧围成的阴影面积为S2，则S1＝2×＝－1，S2＝×22－2××12＋－1＝－1，故阴影部分总面积为2×＝π－2，因此任取一点，此点取自阴影部分的概率为＝1－.【答案】　A2．在一球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为(　　)A. B．C. D.【解析】　由题意可知棱长为1的内接正方体的体积为V1＝1.又球的直径是正方体的体对角线，故球的半径R＝，球的体积V2＝πR3＝.则此点落在正方体内部的概率为＝＝.【答案】　D3.如图3­3­6，是一残缺的轻质圆形转盘，其中残缺的每小部分与完整的每小部分的角度比是3∶2，面积比是3∶4.某商家用其来与顾客进行互动游戏，中间自由转动的指针若指向残缺部分，商家赢；指针若指向完整部分，顾客赢．则顾客赢的概率为________．图3­3­6【解析】　指针在转盘上转动，只与所转过的角度有关系，且指针自由转动，指向哪一部分是随机的，因此该问题属于角度型几何概型．因其角度比为3∶2，故商家赢的概率为＝，顾客赢的概率为＝.【答案】　4．已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a，b)是区域内的一点，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．【解】　(1)因为函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图像的对称轴为直线x＝，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a＞0且≤1，即2b≤a.若a＝1，则b＝－1；若a＝2，则b＝－1或1；若a＝3，则b＝－1或1.所以事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5.又∵a，b所取的所有可能结果为3×5＝15，所以所求事件的概率为＝.(2)由(1)知当且仅当2b≤a且a＞0时，函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知事件的全部结果所构成的区域为{(a，b)|a＋b－8≤0，且a＞0，b＞0}，构成所求事件的区域为可行域中对应的三角形部分．由得交点坐标为，所以所求事件的概率为P＝＝.。