.63例题的任意闭曲线围绕010000znnizzdzcn:C,2)(CdzzfDCzf0)()(则上解析，为边界的有界闭区域在以简单闭曲线柯西定理:预备知识一引例001 zzcdzecz的去心邻域内围绕为其中计算积分,曲线的任意一条正向简单闭数为：的去心邻域内的罗朗级在解：01 zeznnzzne)1(!101dzzzdzzndzecncncz!2111)1(!1201 i25.2 留数的一般理论5.2.1 留数的定义及计算留数定义二.曲线的任意一条正向简单闭内围绕去心邻域为，其中计算积分（一般情形）00zzcdzzfc)(邻域内处处解析，则在）若（01zzf)(去心邻域内解析），则不解析，在在的一个孤立奇点为）若（0002zzzfz()(一般不等于零cdzzf)(内的罗朗级数为：的去心邻域在 000zzzzf:)(0)(cdzzf（柯西定理）1010)()()(zzczzczfmmnnzzczzcc)()(00101210)(10micmdzzzccmm（例3.6的结论）00)(0ndzzzccnn（柯西定理）12)(icdzzfc cdzzfi)(21),(Res01zzfc 负幂项去心邻域上罗朗级数中在0zzf)(的系数。
101 )(zzc,)(Res11112 zz计算：例解：内罗朗级数为：的去心邻域在 101zzzzzz1111122 )()()1(1)1(1)1(12zzz11,)1(1Res2zz定义5.3的孤立奇点，称为内解析，在设)()(zfzRzzzf000 的留数，在孤立奇点为0zzf)(),(Res0zzf记作RrzzC 0:其中，022111111111nnnzzzz)()()()()(01,)1(1Res2zz345)1(1)1(1)1(1zzz11 z1111111111111322 zzzzzz)()()()(内的罗朗级数在11112 zzz)()(错误解法为：的去心邻域内罗朗级数在解：03 zzez23203!33!233)3(!1zzzznzzennz!230,Res23zze处留数；在计算：例023 zzezfz)(留数计算有何简便方法？三、留数的计算方法110101 czzczzf项的系数式，去心邻域上的罗朗展开在定义)()(:.的可去奇点时是特别：)(zfz000),(Reszzf项）罗朗展开式中不含负幂(的项找出来就可以了所以只要把包含其余系数可以不必理会只需求出系数在计算罗朗展开式时，作为计算留数的方法，注：101 )(.zzc531)(sin)(zzzf 例：为孤立奇点0 z数为的去心邻域上的罗朗级0 z00 ),(Reszf5335313111)!()(sin)(zzzzzzf项不存在1 z1010 mmmmzzczzczf)()()(证 )()(010101zzcczzc )()(010zzcczzzfmmm 10100101mmmzzczzczzc)()()()(mmmzzzfdzd011 于是 21001mzzcmc)()!()(lim)!(mmmzzzzzfdzdmc0111011 极点处留数的计算.2)(lim)!1(1),(Res01100mmmzzzzzfdzdmzzf阶极点，的是如果mzfz)(0则规则I的一阶极点时，则是若特别：)()zfz01)(lim),(Res000zzzfzzfzz 则都解析，且在及若,)(,)(,)()()(,)()()()00020000 zQzQzPzzQzPzQzPzf)()(),(Res000zQzPzzf 的一阶极点，而为)(zfz0)()(,)()(Res)()()(0000zQzPzzQzPzQzPzfz 的一阶极点，则为设证明：阶零点的是的一阶零点，是00)()(zPzQz的一阶极点。
是)(zfz0)(lim),(Res000zzzfzzfzz 00000zzzQzQzPzzzQzPzzzz )()()(lim)()()(lim)()(00zQzP 规则II规则III处的留数求下列函数在孤立奇点例5zzfcos1)()1 的一阶零点是zkzkcos2 解,)(,的一阶极点为zfkkzk102 为偶数为奇数kkzzzfkzzk111|)(cos),(Res)(lim),(Reskzzkzzzfzzfk )(coslimcoslimzzzzkkzzkzz1 为偶数为奇数kkzkzz111|sin（洛比塔法则）或为孤立奇点,102 kkzk2212)()()zzezfiz解zzfzfz )(lim),(Res00为孤立奇点izz ,0的一阶零点为)(102 zzz的二阶零点为221)(zziz处不为零在izeiz ,0的二阶极点是的一阶极点，是)()(zfizzfz 02201)(lim zeizz1)()(lim!),(Res211izzfdzdizfiz )(lim2izzedzdiziz e43 类似地，)()(lim!),(Res211izzfdzdizfiz e41 留数定理）定理(.55.),(Res2)(1 nkkCzzfidzzf 1z4z3z2zDC处处解析，外内除有限个孤立奇点在区域若函数,)(nzzzDzf21区域，是复平面上一个有界闭设D上也解析，则的边界且它在CDnz证明：nnccczzz,2121构造小的圆周分别围绕所围成的区域上解析，在由nccC,czf,)(21根据定理3.2 nkcCkdzzfdzzf0)()(.),(Res nkkzzfi12的积分，封闭曲线此定理的作用是把求沿注C中的各孤立奇点转化为求被积函数在 C.处的留数2162 zCdzzzez为正向圆周：计算积分例,)(C解为二阶极点，为被积函数的一阶极点10 zzzzzezfzz2010)(lim),(Res 1)1()1(lim)!12(1 1),(Res221 zzezdzdzfzzlim1zedzdzz 21)1(limzzezz 0 1),(Res0),(Res2)1(2zfzfidzzzeCz ii2012 )(内。
都在且Czz10 ,根据留数定理 dzzzeCz21)(另一解法另一解法)210CCzz,1构造两个小的圆周围绕 dzzzedzzzedzzzeCzCzCz 21222)1()1()1(dzzzeCz 12)1(dzzzeCz 22)1(02|)1(2 zzzei 1|)(!12 zzzei i 2.果与第三章的结果相同注：留数定理的计算结一般情况成立么？思考题 Cdzzf)(的内部且在阶极点的为Cmzfz,)(0 留数定理高阶导数公式mzzzgzf)()()(0 2171 zCdzzzez为正向圆周：计算积分例,C解:的孤立奇点为被积函数)(,zfzz01 ,且都在 C 的内部),(Re),(ReC10211zfszfsidzzzez 的本性奇点，为)(zfz0）不存在且不为（)(limzfz0zzezzzzezf11111 )(上的罗朗级数的去心邻域在 zzzf00)()(!()(nnnnznzz1100 )(!()(nnnnznz11001 )!)(323213112111zzzzzz11 cz 的系数 !413121210 nn!210 znnnz)!(2 e201 eczfs),(Re的一阶极点是zzezfzz 111)(阶零点）的的一阶零点，是，是0111zzezz)()(lim)(lim),(Rezzzzezzfzfs11111 e ),(Re),(ReC10211zfszfsidzzzez i4 四、无穷远点)()(R)(zfdzzfizzfC为内解析，称在设 21点的留数，记为在 Cdzzfizf)(21),(Res RrzzRC 内的圆周为圆环域其中，的闭曲线的正方向。
的反方向正好是包含注：C(对于C上任意一点P沿此方向在C上前进时,始终在点P的左方.)内的罗朗展开式在 zRzf)(zcczczf1011)(121 cdzzfiC)(Cdzzfizf)(21),(Res 1 c(利用柯西定理及例3.6)例子:112 ,Rezesz点处的留数在扩充复平面上各个奇求函数21zezfz )(解:,)(,zzzf0奇点在扩充复平面上的孤立解析）的去心邻域在 zRzf)(的一阶极点是)(zfz0 的二阶零点）的一阶零点，是是（210zezz)(110122 zzezeszz)(lim,Re0z内的罗朗展开式在 zRzf)(201znzzfnn !)(zz!31211，那么外处处解析个孤立奇点在扩充复平面内除有限如果函数定理,)(.nzzzzf2165.)(的留数的总和必等于零点在所有各奇点（包括 zf01 ),(Re),(Re),(Rezfszzfszzfsn证明:，圆周在扩充复平面内，构造RzC:根据留数定理得内包含在使,Czzzn21),(Re),(Re)(nCzzfszzfsidzzf 12),(Re),(Re)(nCzzfszzfsdzzfi 121),(Re)(zfsdzzfiC21结论成立.注:通过定理给出了计算留数的一种方法.无穷远点处留数的计算652.定理),(),(Res1knkzzfesRzf ,)(Res),(Res.01132zzfzf 证)()()(,wwfzfzw 11则令)()(11 czzRzf项的系数变号内的罗朗展开式中在1.定义的有限的孤立奇点为)(zfzk解析在Rww10 )(1101wccwcw)(zcczczf1011)(上的罗朗级数在 zRzf)(上的罗朗级数在Rww10 )(31201121wcwcwcww)(,)(Re0121wwsc ,)(Re0112wwfs,)(Re0112zzfs(更换变量记号)解析在 zRzf)(数面上各孤立奇点处的留求下列函数在扩充复平例8解114 zzzf)()()(1)(1(1)(4izizzzzzzzf 都是一阶极点，izz ,1141)1(),1(Res zzzzzf1341 zz41 为孤立奇点 z)(lim),1(Res1z114 zzzzf（或者，41)1(1),(Res141 zzzzzf41)1(),(Res4 izizzzizf 0,1)1(Res),(Res2zzfzf 0,1Res4zz 0 为可去奇点）（0 z)()()()311210 zzizzf解阶极点，是10iz .,是一阶极点31 z为孤立奇点 z)()()(lim),(Res13111101 zzzizzfz10)1(21i )1()(1lim3),(Res103 zizzfz10)1(21i 00,1)1(Res),(Res2 zzfzf),)()()(为可去奇点031111110102 zzzzizzzf),(Resizf 1),(Reszf 3),(Reszf),(Res zf10)1(21i 0)1(2110 i根据定理5.6求下列积分例9dzzzizz)()()(3111102 解:被积函数的孤立奇点:,3,1,iiI 2 1),(Reszf),(Resizf 10)1(ii 内在积分曲线但，只有21 zziz,根据留数定理解0,1)1(Res),(Res2zzfzf )()221033 zzdzz 0,21Res1011zz 0.0),(Res2)2(1033 zfizzdzz。
以及的点使分母为被积函数的孤立奇点：kz0 nkzzzfizzdz1103322k),(Res)(根据定理5.6使分母为0的孤立奇点都在积分曲线内部),(Re zfsi2。