三角函数诱导公式 常用的诱导公式有以下几组：公式一：设 α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（ 2kπ＋α）＝ sin αcos （2kπ＋ α）＝ cos αtan（ 2kπ＋α）＝ tan αcot（ 2kπ＋α）＝ cot α公式二：设 α为任意角， π +α的三角函数值与 α的三角函数值之间的关系：sin（ π＋ α）＝－ sin αcos （π＋α）＝－ cos αtan（ π＋α）＝ tan αcot（ π＋α）＝ cot α公式三：任意角 α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－ α）＝－ sin αcos （－ α）＝ cos αtan（－ α）＝－ tan αcot（－ α）＝－ cot α公式四：利用公式二和公式三可以得到 π-α与 α的三角函数值之间的关系：sin（ π－ α）＝ sin αcos （π－α）＝－ cos αtan（ π－α）＝－ tan αcot（ π－α）＝－ cot α公式五：利用公式一和公式三可以得到 2π-α与 α的三角函数值之间的关系：sin（ 2π－ α）＝－ sin αcos （2π－α）＝ cos αtan（ 2π－ α）＝－ tan αcot（ 2π－ α）＝－ cot α公式六：π /2 ±α与 α的三角函数值之间的关系：sin（ π /2＋α）＝ cos αcos （π /2＋α）＝－ sin αtan（ π /2＋α）＝－ cot αcot（ π /2＋α）＝－ tan αsin（ π /2－α）＝ cos αcos （π /2－α）＝ sin αtan（ π /2－α）＝ cot αcot（ π /2－α）＝tan α诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于 k·π /2 ±α∈Z)(k的个三角函数值，①当 k 是偶数时，得到 α的同名函数值，即函数名不改变；②当 k 是奇数时，得到 α相应的余函数值，即sin → cos;cos → sin;tan → cot,cot → tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把 α看成锐角时原函数值的符号。
符号看象限）例如：sin(2 π－ α)＝sin(4 ·π－/2α)，k＝4 为偶数，所以取 sin α当 α是锐角时， 2π－ α∈(270 °，360°)， sin(2 π－α)＜0，符号为 “－”所以 sin(2 π－ α)＝－ sin α上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限公式右边的符号为把 α视为锐角时，角 k· 360°（+αk∈Z），-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀 “一全正；二正弦；三为切；四余弦 ”．这十二字口诀的意思就是说：第一象限任何一个角的四种三角函数值都是 “＋”；第二象限只有正弦是 “＋”，其余全部是 “－”；第三象限只有正切是 “＋”，其余全部是 “－”；第四象限只有余弦是 “＋”，其余全部是 “－”．上述记忆口诀 , 一全正 , 二正弦 , 三正切 , 四余弦1.诱导公式sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)sin(2 π-a)=cos(a)cos(2 π-a)=sin(a)sin(2 π +a)=cos(a)cos(2 π +a)=-sin(a)sin( π-a)=sin(a)cos( π-a)=-cos(a)sin( π+a)=-sin(a)cos( π +a)=-cos(a)tgA=tanA=sinAcosA2.两角和与差的三角函数sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos( α )sin(b)cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b)3.和差化积公式sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2)sin(a)-sin(b)=2cos(a+b2)sin(a -b2)cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2)cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2)4.积化和差公式 (上面公式反过来就得到了 )sin(a)sin(b)=-12 ?[cos(a+b)-cos(a-b)]cos(a)cos(b)=12 ?[cos(a+b)+cos(a-b)]sin(a)cos(b)=12 ?[sin(a+b)+sin(a-b)]5.二倍角公式sin(2a)=2sin(a)cos(a)cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)6.半角公式sin2(a2)=1-cos(a)2cos2(a2)=1+cos(a)2tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a)7.万能公式sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2)cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2)tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2)8.其它公式 (推导出来的 )a?sin(a)+b ?cos(a)=a2+b2sin(a+c)a?sin(a)-b ?cos(a)=a2+b2cos(a-c)1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))21-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))2csc(a)=1sin(a)其中其中tan(c)=batan(c)=absec(a)=1cos(a)常用的诱导公式有以下几组：公式一：设 α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（ 2kπ＋α）＝ sin αcos （2kπ＋ α）＝ cos αtan（ 2kπ＋α）＝ tan αcot（ 2kπ＋α）＝ cot α公式二：设 α为任意角， π +α的三角函数值与 α的三角函数值之间的关系：sin（ π＋ α）＝－ sin αcos （π＋α）＝－ cos αtan（ π＋α）＝ tan αcot（ π＋α）＝ cot α公式三：任意角 α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－ α）＝－ sin αcos （－ α）＝ cos αtan（－ α）＝－ tan αcot（－ α）＝－ cot α公式四：利用公式二和公式三可以得到 π-α与 α的三角函数值之间的关系：sin（ π－ α）＝ sin αcos （π－α）＝－ cos αtan（ π－α）＝－ tan αcot（ π－α）＝－ cot α公式五：利用公式一和公式三可以得到 2π-α与 α的三角函数值之间的关系：sin（ 2π－ α）＝－ sin αcos （2π－α）＝ cos αtan（ 2π－ α）＝－ tan αcot（ 2π－ α）＝－ cot α公式六：π /2 ±α与 α的三角函数值之间的关系：sin（ π /2＋α）＝ cos αcos （π /2＋α）＝－ sin α tan（ π /2＋α）＝－ cot α cot（ π /2＋α）＝－ tan α sin（ π /2－α）＝ cos α cos （π /2－α）＝ sin α tan（ π /2－α）＝ cot α cot（ π /2－α）＝tan α诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于 k·π /2 ±α∈Z)(k的个三角函数值，①当 k 是偶数时，得到 α的同名函数值，即函数名不改变；②当 k 是奇数时，得到 α相应的余函数值，即sin → cos;cos → sin;tan → cot,cot → tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把 α看成锐角时原函数值的符号。
符号看象限）例如：sin(2 π－ α)＝sin(4 ·π－/2α)，k＝4 为偶数，所以取 sin α当 α是锐角时， 2π－ α∈(270 °，360°)， sin(2 π－α)＜0，符号为 “－”所以 sin(2 π－ α)＝－ sin α上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限公式右边的符号为把 α视为锐角时，角 k· 360°（+αk∈Z），-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀 “一全正；二正弦；三为切；四余弦 ”．这十二字口诀的意思就是说：第一象限任何一个角的四种三角函数值都是 “＋”；第二象限只有正弦是 “＋”，其余全部是 “－”；第三象限只有正切是 “＋”，其余全部是 “－”；第四象限只有余弦是 “＋”，其余全部是 “－”．上述记忆口诀 ,一全正 ,二正弦 ,三正切 ,四余弦其他三角函数知识：同角三角函数基本关系⒈同角三角函数的基本关系式倒数关系 :tan α · cot＝1αsin α · csc＝1αcos α · sec＝α1商的关系：sin α /cos＝αtan α＝sec α /csc αcos α /sin ＝αcot α＝csc α /sec α平方关系：sin^2( α)＋cos^2( α)＝11＋ tan^2( α)＝sec^2( α)1＋ cot^2( α)＝csc^2( α)同角三角函数关系六角形记忆法六角形记忆法：（参看图片或参考资料）构造以 "上弦、中切、下割；左正、右余、中间 1"的正六边形为模型。
1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）由此，可得商数关系式3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方两角和差公式⒉两角和与差的三角函数公式sin（ α＋ β）＝ sin α cos＋βcos α sin βsin（ α－ β）＝ sin α cos－βcos α sin βcos （α＋β）＝ cos α cos β－sin α sin βcos （α－β）＝ cos α cos β＋sin α sin βtan α＋tan βtan（ α＋ β）＝ ——————1－ tan α · tan βtan α－tan βtan（ α－ β）＝ ——————1＋ tan α · tan β倍角公式⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）sin2 α＝2sin α cos αcos2 α＝cos^2( α)－sin^2( α)＝2cos^2( α)－1＝1－2sin^2( α)2tan αtan2 α＝—————1－ tan^2( α)半角公式⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）1－ cos αsin^2( α /2)＝—————21＋ cos αcos^2( α /2)＝—————21－ cos αtan^2( α /2)＝ —————1＋ cos α万能公式⒌万能公式2tan( α /2)sin α＝——————1＋ tan^2( α /2)1－ tan^2( α /2)cos α＝ ——————1＋ tan^2( α /2)2tan( α /2)tan α＝——————1－ tan^2( α /2)万能公式推导附推导：sin2 α =2sin α cos α =2sin α cos α /(cos^2( α )+sin^2(， α ))......*（因为 cos^2( α )+sin^2( α）)=1再把 *分式上下同除 cos^2( α)，可得 sin2 α＝ 2tan α /(1＋tan^2( α ))然后用 α /2代替 α即可。
同理可推导余弦的万能公式正切的万能公式可通过正弦比余弦得到三倍角公式⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 α＝3sin α－4sin^3( α)cos3 α＝4cos^3( α)－3cos α3tan α－tan^3( α)tan3 α＝——————1－ 3tan^2( α)三倍角公式推导附推导：tan3α＝sin3 α /cos3 α＝ (sin2 α cos＋αcos2 α sin α )/(cos2 α-cossin2αα sin α)＝ (2sin α cos^2( ＋α)cos^2( α )sin－αsin^3( α ))/(cos^3( －cosα)α sin^2( －α) 2sin^2( α )cos α)上下同除以 cos^3( α)，得：tan3 α＝(3tan α－tan^3( α ))/(1-3tan^2( α )) sin3 α＝sin(2 α＋α)＝sin2 α cos＋αcos2 α sin α＝ 2sin α cos^2( ＋α)(1－2sin^2( α ))sin α＝ 2sin α－2sin^3( α)＋sin α－ 2sin^2( α)＝ 3sin α－4sin^3( α)cos3 α＝cos(2 α＋ α)＝cos2 α cos α－sin2 α sin α＝ (2cos^2( α)－1)cos α－ 2cos α sin^2( α)＝ 2cos^3( α)－cos α＋(2cos α－2cos^3( α ))＝ 4cos^3( α)－3cos α即sin3 α＝3sin α－4sin^3( α)cos3 α＝4cos^3( α)－3cos α三倍角公式联想记忆记忆方法：谐音、联想正弦三倍角： 3 元 减 4 元 3 角（欠债了 (被减成负数 )，所以要 “挣钱 ”(音似 “正弦 ”)）余弦三倍角： 4 元 3 角 减 3 元（减完之后还有 “余”）☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示， 余弦的三倍角都用余弦表示。
和差化积公式⒎三角函数的和差化积公式α＋ β －αβsin α＋sin β＝2sin —---- cos· —---2 2α＋ β －αβsin α－sin β＝2cos —---- sin·—----2 2α＋ β －αβcos α＋ cos β＝2cos —----- cos·—-----2 2α＋ β －αβcos α－ cos β＝－2sin —----- sin·—-----2 2积化和差公式⒏三角函数的积化和差公式sin α · cos＝0β.5[sin （α＋β）＋ sin（ α－ β） ] cos α · sin＝0β.5[sin （α＋β）－ sin（ α－ β） ] cos α · cos＝β0.5[cos （α＋β）＋ cos （ α－ β） ] sin α · sin＝－β 0.5[cos （α＋β）－ cos （α－β）]和差化积公式推导附推导：首先 ,我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以 ,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2同理 ,若把两式相减 ,就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2 同样的 ,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以 ,把两式相加 ,我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到 ,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2同理 ,两式相减我们就得到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2 这样 ,我们就得到了积化和差的四个公式 :sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2好,有了积化和差的四个公式以后 ,我们只需一个变形 ,就可以得到和差化积的四个公式 .我们把上述四个公式中的 a+b 设为 x,a-b 设为 y,那么 a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式 : sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)。