中学毕业冲刺中考数学试卷两套汇编七附答案解析中考数学一模试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是（ ）A．点A与点D B．点A与点C C．点B与点D D．点B与点C2．2015年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年大会在北京隆重举行．在此次活动中，共有11个徒步方队，27个装备方队12 000名官兵通过天安门广场接受党和人民的检阅．将数字12 000用科学记数法表示为（ ）A．12×103 B．1.2×104 C．1.2×105 D．0.12×1053．右图是某几何体的三视图，这个几何体是（ ）A．圆柱 B．三棱柱 C．球 D．圆锥4．有5张形状、大小、质地等均完全相同的卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、正方形、菱形、圆，背面也完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌上，从中随机抽出一张，抽出的卡片正面图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是（ ）A． B． C． D．5．某市乘出租车需付车费y（元）与行车里程x（千米）之间函数关系的图象如图所示，那么该市乘出租车超过3千米后，每千米的费用是（ ）A．0.71元 B．2.3元 C．1.75元 D．1.4元6．如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B，C在直线n上，AB=BC，∠1=70°，CD⊥AB于D，那么∠2等于（ ）A．20° B．30° C．32° D．25°7．右图是某市10月1日至7日一周内“日平均气温变化统计图”．在这组数据中，众数和中位数分别是（ ）A．13，13 B．14，14 C．13，14 D．14，138．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC=60°，那么OD的长是（ ）A．2 B． C．1 D．9．如图，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆．已知A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为130米，400米，1000米．由点 A测得点B的仰角为30°，由点B测得点C的仰角为45°，那么AB和BC的总长度是（ ）A．1200 B．800 C．540 D．80010．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A（4，0），C（0，3）．直线y=由原点开始向上平移，所得的直线y=与矩形两边分别交于M、N两点，设△OMN面积为S，那么能表示S与b函数关系的图象大致是（ ）A． B． C． D． 二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．计算： = ．12．分解因式：am2﹣9a= ．13．《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，王文素著，完成于明嘉靖三年，全书12本42卷，近50万字，代表了我国明代数学的最高水平．《算学宝鉴》中记载的用导数解高次方程的方法堪与牛顿媲美，且早于牛顿140年．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔共几何？”译文：一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽的和是多少步？如果设矩形田地的长为x步，可列方程为 ．14．在平面直角坐标系xOy中，A（1，2），B（3，2），连接AB．写出一个函数y=（k≠0），使它的图象与线段AB有公共点，那么这个函数的表达式为 ．15．某地中国移动“全球通”与“神州行”收费标准如下表：品牌月租费本地话费（元/分钟）长途话费（元/分钟）全球通13元0.350.15神州行0元0.600.30如果小明每月拨打本地时间是长途时间的2倍，且每月总通话时间在65～70分钟之间，那么他选择 较为省钱（填“全球通”或“神州行”）．16．阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：小明解答如图所示：老师说：“小明作法正确．”请回答：（1）小明的作图依据是 ；（2）他所画的痕迹弧MN是以点 为圆心， 为半径的弧． 三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：（）﹣2+|1﹣|﹣（2﹣π）0+2cos45°．18．已知x﹣3y=0，求•（x﹣y）的值．19．解不等式，并把它的解集表示在数轴上，再写出它的最小整数解．20．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．21．“上海迪士尼乐园”将于2016年6月16日开门迎客，小明准备利用暑假从距上海2160千米的某地去“上海迪士尼乐园”参观游览，下图是他在火车站咨询得到的信息：根据上述信息，求小明乘坐城际直达动车到上海所需的时间．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与一次函数y=kx﹣k的图象的一个交点为A（﹣1，n）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）若P是x轴上一点，且满足∠APO=45°，直接写出点P的坐标．23．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E做EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）如果AB=4，AD=7，求tan∠ADP的值．24．如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE为⊙O的切线．（1）求证：DE⊥BC；（2）如果DE=2，tanC=，求⊙O的直径．25．阅读下列材料： 2015年秋冬之际，北京持续多天的雾霾让环保成为人们关注的焦点，为了身心健康，人们纷纷来京郊旅游．门头沟地处北京西南部，山青水秀，风景如画，静谧清幽．爨底下、潭柘寺、珍珠湖、百花山、灵山、妙峰山、龙门涧等众多景点受到广大旅游爱好者的青睐． 据统计，2015年门头沟游客接待总量为22.1万人次．其中潭柘寺的玉兰花和戒台寺的祈福受到了游客的热捧，两地游客接待量分别达3.8万人次、2.175万人次；爨底下和百花山因其文化底蕴深厚和满园春色也成为游客的重要目的地，游客接待量分别为2.6万人次和1.76万人次；妙峰山樱桃园的游客密集度较高，达1.8万人次． 2014年门头沟游客接待总量约为20万人次．其中，潭柘寺游客接待量比2013年增加了25%；百花山游客接待量为2.62万人次，比2013年增加了0.4万人次；妙峰山樱桃园的大樱桃采摘更是受到广大游客的喜爱，接待量为2.2万人次． 2013年，潭柘寺、双龙峡、妙峰山樱桃园游客接待量分别为3.2万人次、1.3万人次和1.49万人次．根据以上材料回答下列问题：（1）2014年，潭柘寺的游客接待量为 万人次；（2）选择统计表或统计图，将2013﹣2015年潭柘寺、百花山和妙峰山樱桃园的游客接待量表示出来；（3）根据以上信息，预估2016年门头沟游客接待总量约为 万人次，你的预估理由是 ．26．阅读材料，回答问题：（1）中国古代数学著作图1《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”．上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，那么a，b，c三者之间的数量关系是： ．（2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：证明：∵S△ABC=，S正方形ABCD=c2，S正方形MNPQ= ．又∵ = ，∴（a+b）2=，整理得a2+2ab+b2=2ab+c2，∴ ．（3）如图3，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB=4，BC=8，求BE的长．27．已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）求证：该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m为正整数，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与y轴交于点C，点B关于y轴的对称点为D，设此抛物线在﹣3≤x≤﹣之间的部分为图象G，如果图象G向右平移n（n＞0）个单位长度后与直线CD有公共点，求n的取值范围．28．在正方形ABCD中，连接BD．（1）如图1，AE⊥BD于E．直接写出∠BAE的度数．（2）如图1，在（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′E′，AB′与BD交于M，AE′的延长线与BD交于N．①依题意补全图1；②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．（3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）29．如图1，P为∠MON平分线OC上一点，以P为顶点的∠APB两边分别与射线OM和ON交于A、B两点，如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的关联角．（1）如图2，P为∠MON平分线OC上一点，过P作PB⊥ON于B，AP⊥OC于P，那么∠APB ∠MON的关联角（填“是”或“不是”）．（2）①如图3，如果∠MON=60°，OP=2，∠APB是∠MON的关联角，连接AB，求△AOB的面积和∠APB的度数；②如果∠MON=α°（0°＜α°＜90°），OP=m，∠APB是∠MON的关联角，直接用含有α和m的代数式表示△AOB的面积．（3）如图4，点C是函数y=（x＞0）图象上一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，直接写出∠AOB的关联角∠APB的顶点P的坐标． 参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是（ ）A．点A与点D B．点A与点C C．点B与点D D．点B与点C【考点】相反数；数轴．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【解答】解：2与﹣2互为相反数，故选：A． 2．2015年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年大会在北京隆重举行．在此次活动中，共有11个徒步方队，27个装备方队12 000名官兵通过天安门广场接受党和人民的检阅．将数字12 000用科学记数法表示为（ ）A．12×103 B．1.2×104 C．1.2×105 D．0.12×105【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将12 000用科学记数法表示为1.2×104．故选B 3．右图是某几何体的三视图，这个几何体是（ ）A．圆柱 B．三棱柱 C．球 D．圆锥【考点】由三视图判断几何体．【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱，故选B． 4．有5张形状、大小、质地等均完全相同的卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、正方形、菱形、圆，背面也完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌上，从中随机抽出一张，抽出的卡片正面图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是（ ）A． B． C． D．【考点】概率公式；轴对称图形；中心对称图形．【分析】由等边三角形、平行四边形、正方形、菱形、圆中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有正方形、菱形、圆，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵等边三角形、平行四边形、正方形、菱形、圆中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有正方形、菱形、圆，∴从中随机抽出一张，抽出的卡片正面图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是：．故选C． 5．某市乘出租车需付车费y（元）与行车里程x（千米）之间函数关系的图象如图所示，那么该市乘出租车超过3千米后，每千米的费用是（ ）A．0.71元 B．2.3元 C．1.75元 D．1.4元【考点】函数的图象．【分析】观察图象发现从3公里到8公里共行驶了5公里，费用增加了7元，从而确定每千米的费用．【解答】解：观察图象发现从3公里到8公里共行驶了8﹣3=5公里，费用增加了14﹣7=7元，故出租车超过3千米后，每千米的费用是7÷5=1.4元，故选D． 6．如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B，C在直线n上，AB=BC，∠1=70°，CD⊥AB于D，那么∠2等于（ ）A．20° B．30° C．32° D．25°【考点】平行线的性质．【分析】先由平行线的性质得出∠ACB=∠1=70°，根据等角对等边得出∠BAC=∠ACB=70°，由垂直的定义得到∠ADC=90°，那么∠2=90°﹣∠DAC=20°．【解答】解：∵m∥n，∴∠ACB=∠1=70°，∵AB=BC，∴∠BAC=∠ACB=70°，∵CD⊥AB于D，∴∠ADC=90°，∴∠2=90°﹣∠DAC=90°﹣70°=20°．故选A． 7．右图是某市10月1日至7日一周内“日平均气温变化统计图”．在这组数据中，众数和中位数分别是（ ）A．13，13 B．14，14 C．13，14 D．14，13【考点】众数；中位数．【分析】根据众数与中位数的定义，找出出现次数最多的数，把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数即可．【解答】解：温度为14℃的有2天，最多，故众数为14℃；7天温度排序为：10，11，12，13，14，14，15，位于中间位置的数是13，故中位数为13℃，故选A． 8．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC=60°，那么OD的长是（ ）A．2 B． C．1 D．【考点】垂径定理．【分析】由于∠BAC=60°，根据圆周角定理可求∠BOC=120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠BOD=60°，在Rt△BOD中，利用特殊三角函数值易求OD．【解答】解：∵OD⊥弦BC，∴∠BOD=90°，∵∠BOD=∠A=60°，∴OD=OB=1，故选C． 9．如图，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆．已知A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为130米，400米，1000米．由点 A测得点B的仰角为30°，由点B测得点C的仰角为45°，那么AB和BC的总长度是（ ）A．1200 B．800 C．540 D．800【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】先根据题意得到BD，CB2的长，在Rt△ABD中，由三角函数可得AB的长度，在Rt△BCB2中，由三角函数可得BC的长度，再相加即可得到答案．【解答】解：BD=400﹣130=270（米），CB2=1000﹣400=600（米），在Rt△ABD中，AB==540（米），在Rt△BCB2中，BC==600米，AB+BC=540+600故选：C． 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A（4，0），C（0，3）．直线y=由原点开始向上平移，所得的直线y=与矩形两边分别交于M、N两点，设△OMN面积为S，那么能表示S与b函数关系的图象大致是（ ）A． B． C． D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意可以表示出各段的函数解析式，从而可以得到各段的函数图象，进而得到哪个选项是正确的．【解答】解：当点N从点O移动到点A时，如右图一所示，∵y=与矩形两边分别交于M、N两点，∴点M的坐标是（0，b），点N的坐标是（2b，0），△OMN面积为S，∴S与b函数关系式是：（0≤b≤2）；当点2≤b≤3时，如图二所示，此时点N到OC的距离不变，∴S=，当点b≥3时，如图三所示，S=S矩形OABC﹣S△OAN3﹣S△OCM3﹣S△M3BN3==．故选B． 二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．计算： = 2 ．【考点】算术平方根．【分析】根据算术平方根的性质进行化简，即=|a|．【解答】解： ==2．故答案为2． 12．分解因式：am2﹣9a= a（m+3）（m﹣3） ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：am2﹣9a=a（m2﹣9）=a（m+3）（m﹣3）．故答案为：a（m+3）（m﹣3）． 13．《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，王文素著，完成于明嘉靖三年，全书12本42卷，近50万字，代表了我国明代数学的最高水平．《算学宝鉴》中记载的用导数解高次方程的方法堪与牛顿媲美，且早于牛顿140年．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔共几何？”译文：一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽的和是多少步？如果设矩形田地的长为x步，可列方程为 x（x﹣12）=864 ．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】如果设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步，根据面积为864，即可得出方程．【解答】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步．根据矩形面积=长×宽，得：x（x﹣12）=864．故答案为：x（x﹣12）=864． 14．在平面直角坐标系xOy中，A（1，2），B（3，2），连接AB．写出一个函数y=（k≠0），使它的图象与线段AB有公共点，那么这个函数的表达式为 y= ．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】把线段AB上的任意一点的坐标代入y=可求出k，从而得到满足条件的反比例函数解析式．【解答】解：把A（1，2）代入y=得k=1×2，所以经过点A的反比例函数解析式为y=．故答案为y=． 15．某地中国移动“全球通”与“神州行”收费标准如下表：品牌月租费本地话费（元/分钟）长途话费（元/分钟）全球通13元0.350.15神州行0元0.600.30如果小明每月拨打本地时间是长途时间的2倍，且每月总通话时间在65～70分钟之间，那么他选择 全球通 较为省钱（填“全球通”或“神州行”）．【考点】有理数的混合运算．【分析】设小明打长途的时间为x分钟，则打本地的时间为2x分钟，根据表格中计费规则分别表示出全球通和神州行所需的总费用，再分类讨论求得x的范围，结合“每月总通话时间在65～70分钟之间“可得答案．【解答】解：设小明打长途的时间为x分钟，则打本地的时间为2x分钟，∴选择“全球通”所需总费用为13+0.15x+0.35×2x=0.85x+13，选择“神州行”所需总费用为0.3x+0.6×2x=1.5x，当0.85x+13＞1.5x，即0＜x＜20时，选择神州行较为省钱；当0.85x+13=1.5x，即x=20时，都一样省钱；当0.85x+13＜1.5x，即x＞20时，选择全球通较为省钱；∵每月总通话时间在65～70分钟之间，∴选择全球通较为省钱，故答案为：全球通． 16．阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：小明解答如图所示：老师说：“小明作法正确．”请回答：（1）小明的作图依据是 SSS ；（2）他所画的痕迹弧MN是以点 E 为圆心， CD 为半径的弧．【考点】作图—基本作图．【分析】根据作一个角等于已知角的作法解答即可．【解答】解：（1）小明的作图依据是SSS定理．故答案为：SSS；（2）他所画的痕迹弧MN是以点E为圆心，CD为半径的弧．故答案为：E，CD． 三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：（）﹣2+|1﹣|﹣（2﹣π）0+2cos45°．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用零指数幂法则计算，第四项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=9+﹣1﹣1+2×=2+7． 18．已知x﹣3y=0，求•（x﹣y）的值．【考点】分式的化简求值．【分析】首先将分式的分母分解因式，然后再约分、化简，最后将x、y的关系式代入化简后的式子中进行计算即可．【解答】解： ==；当x﹣3y=0时，x=3y；原式=． 19．解不等式，并把它的解集表示在数轴上，再写出它的最小整数解．【考点】一元一次不等式的整数解；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．【分析】首先分母，然后去括号，移项、合并同类项、系数化成1即可求得x的范围，然后确定最小整数解即可．【解答】解：去分母，得3（x+1）≤4x﹣6，去括号，得3x+3≤4x﹣6，移项，得3x﹣4x≤﹣6﹣3，合并同类项，得﹣x≤﹣9，系数化为1得x≥9．，最小的整数解是9． 20．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）． 21．“上海迪士尼乐园”将于2016年6月16日开门迎客，小明准备利用暑假从距上海2160千米的某地去“上海迪士尼乐园”参观游览，下图是他在火车站咨询得到的信息：根据上述信息，求小明乘坐城际直达动车到上海所需的时间．【考点】分式方程的应用．【分析】直接根据题意表示出两车的速度，进而得出等式求出答案．【解答】解：设小明乘坐城际直达动车到上海所需要x小时，根据题意可得：=×1.6，解得：x=10，经检验得：x=10是原方程的根，答：小明乘坐城际直达动车到上海所需要10小时． 22．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与一次函数y=kx﹣k的图象的一个交点为A（﹣1，n）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）若P是x轴上一点，且满足∠APO=45°，直接写出点P的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将A坐标代入反比例解析式中求出n的值，确定出A的坐标，再讲A坐标代入y=kx﹣k中求出k的值，即可确定出一次函数解析式；（2）如图所示，由题意当三角形AEF与三角形AEG为等腰直角三角形时，满足题意，此时P与F、G重合，求出坐标即可．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，n）在反比例函数y=﹣的图象上，∴n=2，∴点A的坐标为（﹣1，2），∵点A在一次函数y=kx﹣k的图象上，∴2=﹣k﹣k，∴k=﹣1，∴一次函数的解析式为y=﹣x+1；（2）如图所示，当P与F重合时，AE=EF=2，此时P（1，0）；当P与G重合时，AE=EG=2，此时P（﹣3，0）． 23．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E做EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）如果AB=4，AD=7，求tan∠ADP的值．【考点】正方形的判定与性质；矩形的性质．【分析】（1）由矩形的性质得出∠FAB=∠ABE=90°，AF∥BE，证出四边形ABEF是矩形，再证明AB=BE，即可得出四边形ABEF是正方形；（2）由正方形的性质得出BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°，得出AB∥PH，求出DH=AD﹣AH=5，在Rt△PHD中，由三角函数即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCDABCD是矩形，∴∠FAB=∠ABE=90°，AF∥BE，∵EF⊥AD，∴∠FAB=∠ABE=∠AFE=90°，∴四边形ABEF是矩形，∵AE平分∠BAD，AF∥BE，∴∠FAE=∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴四边形ABEF是正方形；（2）解：过点P作PH⊥AD于H，如图所示：∵四边形ABEF是正方形，∴BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°，∴AB∥PH，∵AB=4，∴AH=PH=2，∵AD=7，∴DH=AD﹣AH=7﹣2=5，在Rt△PHD中，∠PHD=90°．∴tan∠ADP==． 24．如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE为⊙O的切线．（1）求证：DE⊥BC；（2）如果DE=2，tanC=，求⊙O的直径．【考点】切线的性质．【分析】（1）证明：连结OD，如图，先证明OD为△ABC的中位线得到OD∥BC，再根据切线的性质得到DE⊥OD，然后根据平行线的性质可判断DE⊥BC；（2）连结BD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB=90°，再利用等角的余角相等得到∠C=∠BDE，接着根据正切的定义在Rt△CDE中计算出CE=2DE=4，在Rt△BDE中计算出BE=DE=1，则BC=5，然后利用OD为△ABC的中位线可求出OD，从而得到圆的直径．【解答】（1）证明：连结OD，如图，∵D为AC的中点，O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥BC，∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥OD，∴DE⊥BC；（2）解：连结BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠BDE+∠CDE=90°，而∠CDE+∠C=90°，∴∠C=∠BDE，在Rt△CDE中，∵tanC==，∴CE=2DE=4，在Rt△BDE中，∵tan∠BDE==，∴BE=DE=1，∴BC=BE+CE=5，∵OD为△ABC的中位线，∴OD=BC，∴AB=BC=5，即⊙O的直径为5． 25．阅读下列材料： 2015年秋冬之际，北京持续多天的雾霾让环保成为人们关注的焦点，为了身心健康，人们纷纷来京郊旅游．门头沟地处北京西南部，山青水秀，风景如画，静谧清幽．爨底下、潭柘寺、珍珠湖、百花山、灵山、妙峰山、龙门涧等众多景点受到广大旅游爱好者的青睐． 据统计，2015年门头沟游客接待总量为22.1万人次．其中潭柘寺的玉兰花和戒台寺的祈福受到了游客的热捧，两地游客接待量分别达3.8万人次、2.175万人次；爨底下和百花山因其文化底蕴深厚和满园春色也成为游客的重要目的地，游客接待量分别为2.6万人次和1.76万人次；妙峰山樱桃园的游客密集度较高，达1.8万人次． 2014年门头沟游客接待总量约为20万人次．其中，潭柘寺游客接待量比2013年增加了25%；百花山游客接待量为2.62万人次，比2013年增加了0.4万人次；妙峰山樱桃园的大樱桃采摘更是受到广大游客的喜爱，接待量为2.2万人次． 2013年，潭柘寺、双龙峡、妙峰山樱桃园游客接待量分别为3.2万人次、1.3万人次和1.49万人次．根据以上材料回答下列问题：（1）2014年，潭柘寺的游客接待量为 4 万人次；（2）选择统计表或统计图，将2013﹣2015年潭柘寺、百花山和妙峰山樱桃园的游客接待量表示出来；（3）根据以上信息，预估2016年门头沟游客接待总量约为 24.4205 万人次，你的预估理由是 2015年游客接待总量增长百分率为10.5%，估计2016年游客接待总量增长百分率也大约为10.5% ．【考点】统计图的选择；用样本估计总体．【分析】（1）根据：潭柘寺游客接待量比2013年增加了25%，且2013年潭柘寺游客接待量为3.2万人次，计算可得；（2）根据题意分别梳理出潭柘寺、百花山和妙峰山樱桃园在2013﹣2015年的游客接待量，列表可得；（3）计算出2014年到2015年门头沟游客接待总量增长百分率，据此估计2016年到2015年门头沟游客接待总量有相近的增长百分率，计算即可．【解答】解：（1）2014年，潭柘寺的游客接待量为3.2×（1+25%）=4（万人次），故答案为：4；（2）（3）∵2014年到2015年门头沟游客接待总量增长百分率为：×100%=10.5%，∴据此估计2016年到2015年门头沟游客接待总量增长百分率大约为10.5%，则2016年门头沟游客接待总量为22.1×（1+10.5%）=24.4205（万人次），故答案为：24.4205，2015年游客接待总量增长百分率为10.5%，估计2016年游客接待总量增长百分率也大约为10.5%． 26．阅读材料，回答问题：（1）中国古代数学著作图1《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”．上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，那么a，b，c三者之间的数量关系是： a2+b2=c2 ．（2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：证明：∵S△ABC=，S正方形ABCD=c2，S正方形MNPQ= （a+b）2 ．又∵ 正方形MNPQ的面积 = 四个全等直角三角形的面积+正方形AEDB的面积 ，∴（a+b）2=，整理得a2+2ab+b2=2ab+c2，∴ a2+b2=c2 ．（3）如图3，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB=4，BC=8，求BE的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据勾股定理解答即可；（2）根据题意、结合图形，根据完全平方公式进行计算即可；（3）根据翻折变换的特点、根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，由勾股定理得，a2+b2=c2，故答案为：a2+b2=c2；（2）∵S△ABC=，S正方形ABCD=c2，S正方形MNPQ=（a+b）2；又∵正方形的面积=四个全等直角三角形的面积的面积+正方形AEDB的面积，∴（a+b）2=，整理得，a2+2ab+b2=2ab+c2，∴a2+b2=c2，故答案为：（a+b）2；正方形的面积；四个全等直角三角形的面积的面积+正方形AEDB的面积；a2+b2=c2；（3）设BE=x，则EC=8﹣x，由折叠的性质可知，AE=EC=8﹣x，在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2，则（8﹣x）2=42+x2，解得，x=3，则BE的长为3． 27．已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）求证：该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m为正整数，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与y轴交于点C，点B关于y轴的对称点为D，设此抛物线在﹣3≤x≤﹣之间的部分为图象G，如果图象G向右平移n（n＞0）个单位长度后与直线CD有公共点，求n的取值范围．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．【分析】（1）先求出根的判别式△，判断△的取值范围，即可得证；（2）根据求根公式表示出两根，由题意，求出m的值，可得抛物线的解析式；（3）点求出点A，B，C，D的坐标，根据待定系数法求出直线CD的解析式，设平移后，点A，E的对应点分别为A′（﹣3+n，0），E′（﹣+n，），根据点在直线上，求出取值范围即可．【解答】（1）证明：由根的判别式，可得：△=（3m+1）2﹣4×m×3=（3m﹣1）2，∵（3m﹣1）2≥0，∴△≥0，∴原方程有两个实数根；（2）解：令y=0，那么mx2+（3m+1）x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=﹣，∵抛物线与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数，∴m=1，∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3；（3）如图，∵当x=0时，y=3，∴C（0，3），∵当y=0时，x1=﹣3，x2=﹣1，又∵点A在点B的左侧，∴A（﹣3，0），B（﹣1，0），∵点D与点B关于y轴对称，∴D（1，0），设直线CD的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线CD的表达式为：y=﹣3x+3，又∵当x=﹣时，y=，∴点E（﹣，），∴平移后，点A，E的对应点分别为A′（﹣3+n，0），E′（﹣+n，），当直线y=﹣3x+3经过点A′（﹣3+n，0）时，得：﹣3（﹣3+n）+3=0，解得：n=4，当直线y=﹣3x+3经过点E′（﹣+n，），时，得：﹣3（﹣+n）+3=，解得：n=，∴n的取值范围是≤n≤4． 28．在正方形ABCD中，连接BD．（1）如图1，AE⊥BD于E．直接写出∠BAE的度数．（2）如图1，在（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′E′，AB′与BD交于M，AE′的延长线与BD交于N．①依题意补全图1；②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．（3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）【考点】四边形综合题．【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质即可；（2）依题意画出如图1所示的图形，根据性质和正方形的性质，判断线段的关系，再利用勾股定理得到FB2+BM2=FM2，再判断出FM=MN即可；（3）利用△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，判断出EF=EG，再利用（2）证明即可．【解答】解：（1）∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABD=∠ADB=45°，∵AE⊥BD，∴∠ABE=∠BAE=45°，（2）①依题意补全图形，如图1所示，②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2=MN2，将△AND绕点D顺时针旋转90°，得到△AFB，∴∠ADB=∠FBA，∠BAF=∠DAN，DN=BF，AF=AN，∵在正方形ABCD中，AE⊥BD，∴∠ADB=∠ABD=45°，∴∠FBM=∠FBA+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90°，在Rt△BFM中，根据勾股定理得，FB2+BM2=FM2，∵旋转△ANE得到AB1E1，∴∠E1AB1=45°，∴∠BAB1+∠DAN=90°﹣45°=45°，∵∠BAF=DAN，∴∠BAB1+∠BAF=45°，∴∠FAM=45°，∴∠FAM=∠E1AB1，∵AM=AM，AF=AN，∴△AFM≌△ANM，∴FM=MN，∵FB2+BM2=FM2，∴DN2+BM2=MN2，（3）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴DF=GB，∵正方形ABCD的周长为4AB，△CEF周长为EF+EC+CF，∵△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，∴4AB=2（EF+EC+CF），∴2AB=EF+EC+CF∵EC=AB﹣BE，CF=AB﹣DF，∴2AB=EF+AB﹣BE+AB﹣DF，∴EF=DF+BE，∵DF=GB，∴EF=GB+BE=GE，由旋转得到AD=AG=AB，∵AM=AM，∴△AEG≌△AEF，∠EAG=∠EAF=45°，和（2）的②一样，得到DN2+BM2=MN2． 29．如图1，P为∠MON平分线OC上一点，以P为顶点的∠APB两边分别与射线OM和ON交于A、B两点，如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的关联角．（1）如图2，P为∠MON平分线OC上一点，过P作PB⊥ON于B，AP⊥OC于P，那么∠APB 是 ∠MON的关联角（填“是”或“不是”）．（2）①如图3，如果∠MON=60°，OP=2，∠APB是∠MON的关联角，连接AB，求△AOB的面积和∠APB的度数；②如果∠MON=α°（0°＜α°＜90°），OP=m，∠APB是∠MON的关联角，直接用含有α和m的代数式表示△AOB的面积．（3）如图4，点C是函数y=（x＞0）图象上一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，直接写出∠AOB的关联角∠APB的顶点P的坐标．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）先判断出△OBP∽△OPA，即可；（2）先根据关联角求出OA×OB=4，再利用三角形的面积公式，以及相似，得到∠OAP=∠OPB，即可；（3）根据条件分情况讨论，点B在y轴正半轴和负半轴，在负半轴时，经过计算，不存在，②在正半轴时，由BC=2AC判断出点C是线段AB的一个三等分点，即可．【解答】解：（1）∵P为∠MON平分线OC上一点，∴∠BOP=∠AOP，∵PB⊥ON于B，AP⊥OC于P，∴∠OBP=∠OPA，∴△OBP∽△OPA，∴，∴OP2=OA×OB，∴∠APB是∠MON的关联角．故答案为是．（2）①如图，过点A作AH⊥OB，∵∠APB是∠MON的关联角，OP=2，∴OA×OB=OP2=4，在Rt△AOH中，∠AOH=90°，∴sin∠AOH=，∴AH=OAsin∠AOH，∴S△AOB=OB×AH=OB×OA×sin60°=×OP2×=，∵OP2=OA×OB，∴，∵点P为∠MON的平分线上一点，∴∠AOP=∠BOP=∠MON=30°，∴△AOP∽△POB，∴∠OAP=∠OPB，∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°﹣30°=150°，②由①有，S△AOB=OB×OA×∠MON=m2×sinα；（3）∵过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，∴只有点A在x轴正半轴，①当点B在y轴负半轴时，点A只能在x轴正半轴．即：点P只能在第四象限，设A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＜0）∴OA=m，OB=﹣n，∵BC=2CA，∴点A是BC中点，∴点C（2m，﹣n），∵点C在双曲线y=上，∴2m×（﹣n）=2，∴mn=﹣1（不符合题意，舍），∵∠AOB的关联角∠APB∴OP2=OA×0B=|m||n|=1，∴OP=1，∵点P在∠AOB的平分线上，设P（a，﹣a）（a＞0），∴OP2=2a2，∴2a2=1，∴a=或a=﹣（舍），∴点P（，﹣）②当点B在y轴正半轴，由于BC=2CA，所以，点A只能在x轴正半轴上，设A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＞0）∴点C（，），∴=2，∴mn=9，∵∠AOB的关联角∠APB∴OP2=OA×0B=mn=9，∴OP=3，∵点P在∠AOB的平分线上，即：点P在第一象限，设P（a，a），（a＞0）∴OP2=2a2，∴2a2=9，∴a=或a=﹣（舍）即：点P（，），综上所述，（，﹣）或（，）． 中考数学模试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．据北京市商务委表示，除夕至初五，21家节能减排补贴商品定点销售企业销售额超过28000000元．将28000000用科学记数法表示应为（ ）A．0.28×108 B．2.8×108 C．2.8×107 D．28×1062．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中绝对值小于2的数对应的点是（ ）A．点A B．点B C．点C D．点D3．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．4．某校师生植树节积极参加以组为单位的植树活动，七个小组植树情况如下：第一组第二组第三组第四组第五组第六组第七组数量（棵）5654657则本组数据的众数与中位数分别为（ ）A．5，4 B．6，5 C．7，6 D．5，55．脸谱是中国戏曲演员脸上的绘画，用于舞台演出时的化妆造型，助增所扮演人物的性格和特征．在下列八张脸谱图片中，随机抽取一张为的概率是（ ）A． B． C． D．6．如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB=90°，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）A．140° B．130° C．120° D．110°7．在娱乐节目“墙来了！”中，参赛选手背靠水池，迎面冲来一堵泡沫墙，墙上有人物造型的空洞．选手需要按墙上的造型摆出相同的姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一块几何体恰好能以右图中两个不同形状的“姿势”分别穿过这两个空洞，则该几何体为（ ）A． B． C． D．8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=135°，则∠AOC的度数为（ ）A．45° B．90° C．100° D．135°9．王先生清明节期间驾车游玩，每次加油都把油箱加满．如表记录了该车相邻两次加油时的相关数据：加油时间油箱加油量（升）加油时的累计里程（公里）2016年3月31日30870062016年4月3日4887606注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．根据数据，王先生计算出这段时间内该车行驶一百公里的平均耗油量大约是（ ）A．7升 B．8升 C．9升 D．10升10．为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点E为矩形ABCD边AD的中点，在矩形ABCD的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P从点B出发，沿着B﹣E﹣D的路线匀速行进，到达点D．设运动员P的运动时间为t，到监测点的距离为y．现有y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是（ ）A．监测点A B．监测点B C．监测点C D．监测点D 二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：am2﹣4an2= ．12．在如图的方格纸中有一个菱形ABCD（A、B、C、D四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为 ．13．反比例函数y=的图象上有两个点A（﹣2，y1），B（1，y2），则y1 y2（用“＞”，“＜”或“=”连接）．14．如图，AD=AE，请你添加一个条件 ，使得△ADC≌△AEB．15．某市2012～2016年春节期间烟花爆竹销售量统计如图所示，根据统计图中提供的信息，预估2017年该市春节期间烟花爆竹销售量约为 万箱，你的预估理由是 ．16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：小轩的主要作法如下：老师说：“小轩的作法正确．”请回答：⊙P与BC相切的依据是 ． 三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：|1﹣|+（π﹣3.14）0﹣2sin60°+（）﹣2．18．已知m﹣n=，求（）÷的值．19．求不等式组的整数解．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB于点D，交AC于点E．求证：∠AED=∠DCB．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为负整数，求此时方程的根．22．某校组织“衫衫来了，爱心义卖”活动，购进了黑白两种纯色的文化衫共200件，进行DIY手绘设计后出售，所获利润全部捐给“太阳村”．每种文化衫的成本和售价如下表：白色文化衫黑色文化衫成本（元） 6 8售价（元） 20 25假设文化衫全部售出，共获利3040元，求购进两种文化衫各多少件？23．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，过点B作AC的平行线交∠CAB的平分线于点D，过点D作AB的平行线交AC于点E，交BC于点F，连接BE，交AD于点G．（1）求证：四边形ABDE是菱形；（2）若BD=14，cos∠GBH=，求GH的长．24．阅读下面材料：春节是中国最重要的传统佳节，而为期40天的春运被称为“人类规模最大的周期性迁徙”．2016年春运40天，全国铁路客运量3.25亿人次，同比增长10.2%；全国公路客运量24.95亿人次，同比增长3%；水路客运量4260万人次，同比下降0.6%；民航客运量5140万人次，同比增长4.7%．今年春运在正月初七达到最高峰，铁路春运再创单日旅客发送人数新高，达到1034.4万人次．2015年春运40天，全国铁路客运量2.95亿人次，同比增幅10.4%．全国公路客运量24.22亿人次，水路客运量4284万人次，民航客运量4914万人次．2014年春运40天，全国公路客运量32.6亿人次；民航客运量4407万人次；全国铁路客运量2.66亿人次，增长约12%．其中，2月6日全国铁路客运量达到835.7万人次，比去年春运最高峰日多发送93.1万人次．根据以上材料解答下列。