1．若向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝________．[解析] 由于＝(2，3)，＝(4，7)，那么＝＋＝(2，3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．[答案] (－2，－4)2．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(七))已知向量a＝(2，1)，b＝(3，－1)，若a＋2kb与3a－b平行，则k＝________.[解析] 因为a＝(2，1)，b＝(3，－1)，所以a＋2kb＝(2，1)＋2k(3，－1)＝(2＋6k，1－2k)，3a－b＝3(2，1)－(3，－1)＝(3，4)，又a＋2kb与3a－b平行，所以4(2＋6k)－3(1－2k)＝0，解得k＝－.[答案] －3．在▱ABCD中，AC为一条对角线，＝(2，4)，＝(1，3)，则向量的坐标为________．[解析] 因为＋＝，所以＝－＝(－1，－1)，所以＝－＝－＝(－3，－5)．[答案] (－3，－5)4．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则＝________．[解析] ＝－＝(－3，2)，所以＝2＝(－6，4)．＝＋＝(－2，7)，所以＝3＝(－6，21)．[答案] (－6，21)5．在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为_______．[解析] 因为B，P，N三点共线，所以∥，设＝λ，即－＝λ(－)，＝＋，①又＝，所以＝2，所以＝m＋＝m＋，②结合①②，由平面向量的基本定理可得得m＝.[答案] 6．已知非零向量e1，e2，a，b满足a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2.给出以下结论：①若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝－2；②若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝2；③存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线；④不存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线．其中正确结论的个数是________个．[解析] 若a与b共线，即a＝λb，即2e1－e2＝λke1＋λe2，而e1与e2不共线，所以解得k＝－2.故①正确，②不正确．若a与b不共线，且e1与e2共线，则e2＝λe1，有因为e1，e2，a，b为非零向量，所以λ≠2且λ≠－k，所以a＝b，即a＝b，这时a与b共线，所以不存在实数k满足题意，故③不正确，④正确．综上，正确的结论为①④.[答案] 27．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝________.[解析] 设向量c＝(x，y)，因为向量4a，3b－2a，c首尾相接能构成三角形，所以4a＋3b－2a＋c＝0，且4a与c不共线．即且4y≠－12x，解得x＝4，y＝－6，即c＝(4，－6)．[答案] (4，－6)8．已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，||＝2||，则向量的坐标是________． [解析] 由点C是线段AB上一点，||＝2||，得＝－2.设点B为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，即解得所以向量的坐标是(4，7)．[答案] (4，7)9．已知点A(2，3)、B(5，4)、C(7，10)，若＝＋λ(λ∈R)，则当λ的取值满足________时，点P在第三象限．[解析] 因为＋λ＝(5，4)－(2，3)＋λ[(7，10)－(2，3)]＝(3＋5λ，1＋7λ)．所以＝(3＋5λ，1＋7λ)．设P点的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y－3)，所以所以又因为点P在第三象限，所以即解得λ＜－1，即当λ＜－1时，点P在第三象限．[答案] λ＜－110．给出以下四个命题：①四边形ABCD是菱形的充要条件是＝，且||＝||；②点G是△ABC的重心，则＋＋＝0；③若＝3e1，＝－5e1，且||＝||，则四边形ABCD是等腰梯形；④若||＝8，||＝5，则3≤||≤13.其中所有正确命题的序号为________．[解析] 对于①，当＝时，则四边形ABCD为平行四边形，又||＝||，故该平行四边形为菱形，反之，当四边形ABCD为菱形时，则＝，且||＝||，故正确；对于②，若G为△ABC的重心，则＋＋＝0，故不正确；对于③，由条件知＝－，所以∥且||>||，又||＝||，故四边形ABCD为等腰梯形，正确；对于④，当，共线同向时，||＝3，当，共线反向时，||＝8＋5＝13，当，不共线时3<||<13，故正确．综上，正确命题为①③④.[答案] ①③④11．(2018·徐州调研)已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．求：(1)|a＋3b|；(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？[解] (1)因为a＝(1，0)，b＝(2，1)，所以a＋3b＝(7，3)，故|a＋3b|＝＝.(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7，3)，因为ka－b与a＋3b平行，所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－.此时ka－b＝(k－2，－1)＝，a＋3b＝(7，3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．12．已知向量a＝(－3，2)，b＝(2，1)，c＝(3，－1)，t∈R，(1)求|a＋tb|的最小值及相应的t值；(2)若a－tb与c共线，求实数t.[解] (1)由题知a＋tb＝(－3＋2t，2＋t)，所以|a＋tb|＝＝＝≥ ＝，当且仅当t＝时取等号，即|a＋tb|的最小值为，此时t＝.(2)因为a－tb＝(－3，2)－t(2，1)＝(－3－2t，2－t)，且a－tb与c共线，c＝(3，－1), 所以(－3－2t)×(－1)－(2－t)×3＝0，解得t＝.1．在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M、N分别为CD、BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．[解析] 由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，则＋＋＝0，得＋＋＝0，得＋＝0.又与不共线，所以解得，所以λ＋μ＝. [答案] 2．(2018·福建省六校联考)已知向量a，b，满足|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)，则向量a与b的夹角是________．[解析] 由题知|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)，所以a·b＝0，所以a⊥b，所以向量a与b的夹角是.[答案] 3.在△ABC中，过中线AD的中点E任作一条直线分别交边AB、AC于M、N两点，设＝x，＝y(xy≠0)，则4x＋y的最小值是________．[解析] 因为D是BC的中点，E是AD的中点，所以＝＝(＋)．又＝，＝，所以＝＋.因为M、E、N三点共线，所以＋＝1，所以4x＋y＝(4x＋y)＝≥＝.[答案] 4．在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量绕点O逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是________．[解析] 因为点O(0，0)，P(6，8)，所以＝(6，8)，设＝(10cos θ，10sin θ)，则cos θ＝，sin θ＝，因为向量绕点O逆时针方向旋转后得向量，设Q(x，y)，则x＝10cos＝10＝－7，y＝10sin＝10＝－，所以Q点的坐标为(－7，－)．[答案] (－7，－)5.(2017·浏阳模拟)如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．(1)设＝λ，将用λ，，表示；(2)设＝x，＝y，证明：＋是定值．[解] (1)＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.(2)证明：一方面，由(1)，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；①另一方面，因为G是△OAB的重心，所以＝＝×(＋)＝＋.②而，不共线，所以由①②，得解得所以＋＝3(定值)．6．设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．[解] (1)由|a|2＝(sinx)2＋sin2x＝4sin2x，|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈，从而sin x＝，所以x＝.(2)f(x)＝a·b＝sin xcos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，当x＝∈时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.。
