2023年全国大学生数学专业及高等数学竞赛试题及解答

2023年全国大学生数学专业及高等数学竞赛试题及解答 - 2023年全国大学生数学专业竞赛试题及解答 〔1〕计算积分 -?0e-x?e-xdx,-0,-0. 2x22解 方法一 直接利用分部积分法得 -?e-x20?ex2-x2dx--0221(e-x?e-x)(?)?dx x--?0221(?2?xe-x?2?xe-x)(?)dx x--?2(--0(2?e-x?2?e-x)dx22 ?2--2)-(-?)； 方法二 不妨设0--，由于而积分-?2e-x2?ex2-x2--e?yxdy， 20-e?yxdx关于y在[?,?]上一致收敛，故可交换积分次序 ?0e-x?e-xdx?2x22-?0dx?e-?yx2dy--dy-?0e?yx2dx --1y-0?22dy-(-?)； 2方法三 将-0固定，记I(?)-收敛． e-x?e-xdx,　-0， 可证I(?)在(0,-)上2x设-[?,-),　-0， 因为e-x?e-x，而?所以由Weierstrass判别法知道 22＋?０e-xdx收敛， 2?＋?０e-xdx对-[?,-)一致收敛．所以可以2交换微分运算和积分运算的次序， 即 I?(?)--0?e-x?e-xdx-x222--0(?e-x)dx-21-2． 由?的任意性，上式在(0,-)上成立． 所以 I(?)--?C，由于I(?)?0,C-?, 所以1 I(?)-(-?)， 即 (2)假设关于x的方程kx?数k. 解：设f?x-kx--0e-x?e-xdx-(-?)． 2x221?1，?k?0?在区间?0,-?内有唯一的实数解，求常2x12?，那么有， ?1fx?k-?23xx11--3322--当x-0,-?时，f-x-0；当x--,-?时，f-x-0. -k--k---13由此f?x?在x-?2-处到达最小值， ?k?1又f?x-kx?2?1在?0,-?内有唯一的零点， x131-?2?3?k?2?2?3-必有f-?0，k---1?0， -k-?k-2-?3?1?2127-k?23--?1，k2-1， ?4?4--23所以k?233. 〔3〕设函数f?x?在区间a,b上连续，由积分中值公式，有-?f?t?dt-x?a?f-?，?a-?x?b?，假设导数f-a?存在且非零， ax?求lim?x?a-ax?a. 解：-f?t-f?a-dt-x?a-f--f?a-， xa2 x-a1 -ft?f?a-dt， 2?a-?x?af--f?a-x?a-?a由条件，可知 lim?x?a-a1?， f--f?a?f-?a?x?a?f?t-f?a-dtf?x-f?a?1?lim?lim?f-a?， a?x?x?a?2x?a?2?x?a?2?故有lim?x?a-a1?. x?a2二、设函数f?x?在x?0附近可微，f?0-0，f-0-a, 定义数列xn?f-1-2-n-2?f?2--?n-n?f?2?. ?n?证明：?xn?有极限并求其值. 证明：由导数的定义， 对于任意-0,存在-0，当0?|x|-时，有于是?a-?x?f?x-?a-?x，?0?x-? f?x-a-. xk1从而，当n-时，有2-?， nn?1?a-?kk?k-f?a-，其中k?1,2,?,n. -?2?22nn?n?对于上式求和，得到 nkka-?x?a--?2n-?2， k?1nk?1nn即?a-?n?1n?1， ?xn-a-?2n2n令n-，有 3 11a-?limx?limx?a---, nnn-n-22a由-0的任意性，得到 limxn?. n-2 设f?x?在-1,1?上有定义，在x?0处可导，且f?0-0. ?k?f-0?证明：lim?f?2-. n-2?n?k?1n 三、设函数f在[0,-)上一致连续，且对任何， x?[0,1]，有limf(x?n)?0n-证明： limf(x)?0x-?。

试举例说明，仅有证明 证法一 f在[0,-)上的连续性推不出上述结论 由f在[0,-)上一致连续，对-?0， -?0， 当y1,y2?[0,-) 且|y1?y2|-时， 便有|f(y1)?f(y2)|-2； k等分，设其分点为1-取定充分大的正整数k，使得k 4 现把区间[0,1]x?iik,i?0,1,?,k，每个小区间的长度小于? 对于任意x?1，x?[x]?[0,1)； 从而必有xi,i?{0,1,?,k}，使得|x?[x]?xi|-； 由条件对每个xi，有limf(xi?n)?0； n-于是存在N，当n?N时，|f(xi?n)|-2，对i?0,1,?,k都成立； 故当x?N?1时，便有 |f(x)|?|f(xi?[x])|?|f(x)?f(xi?[x])|-2-2-， 即得limf(x)?0，结论得证 x-?证法二 设fn(x)?f(x?n),由题设条件知 {fn(x)}在[0,1]上等度一致连续,对每一x?[0,1],有limfn(x)?0; n-利用Osgood定理得, {fn(x)}在[0,1]上一致收敛于0, 对-?0,存在N，当n?N时, 有|f(x?n)|?|fn(x)|-,x?[0,1], 从而当x?N?1时,有|f(x)|-, 即得limf(x)?0，结论得证。

x-?设f在[0,-)上的连续，且对任何x?[0,1]， 有limf(x?n)?0，但推不出n-limf(x)?0 x-?例如函数 f(x)?xsin?x1?x2sin2?x满足在[0,-)上的连续，且对任何x?[0,1]，limf(x?n)?0， n- 5 有第 6 页 共 6 页。