线性回归方法的一种实际应用摘要：按常规方法对一定养护时间内地聚合物的抗压强度进行测试，耗费时间长，投入成 本高，不能满足设计和经济的要求为科学反映真实内在规律性，达到数据准确可靠且操 作快捷方便的目的，提出对待一组常规的抗压强度的测量数据应用一元线性回归数据处理 方法，通过最小二乘法原理来处理养护时间与抗压强度两个变量之间的关系，最后得出数 学模型该方法在工程领域有着一定的应用前景关键词：一元线性回归；最小二乘法原理；数学模型0 引 言近年来，地聚合物作为一种新型胶凝材料在工程中得到了广泛应用地聚合物是一种 在低于150°C甚至常温条件下养护通过缩聚反应得到的一种新型无钙基无机铝硅胶凝材料 与传统硅酸盐水泥相比，地聚合物具有高强度、高韧性、耐腐蚀、耐火、固封重金属等优 异性能，在建筑材料、固封核废料、废弃物处理和航空航天材料等领域具有巨大的应用前 景［1,2］然而，在掺比确定的情况下，养护 28 天之前的地聚合物的抗压强度与养护时间之 间存在一定的关系，而定时测量的方式存在过程繁琐，持续时间长的缺点因此，为减少 不必要的时间浪费，可通过相关技术对地聚合物的强度进行预测 1一元线性回归的应用一元线性回归分析是研究两个变量之间的线性相关关系，这种相关关系不是确定的函 数关系，即给出自变量的值不能确定因变量的值。
一元线性回归模型在实际生活中有很多 应用，如某种新商品的销售收入与广告费用之间的密切关系，两者之间的变化趋势可以通 过一元线性回归进行模拟，达到通过广告费用预测销售收入的效果［2］用数学上的回归分析数理统计方法，对一系列测量数据进行处理，可以得出比较符合 事物内部规律的数学表达式，能够比较科学客观地解决各变量之间的内在关系 ［3］在制备 出20x20x20mm尺寸的偏高岭土基地聚合物试块后，实验人员将试块放入温度为60C，相 对湿度＞90%的养护箱中进行养护，对养护1至10天的样品进行抗压强度测试，记录数值 测试时，取三个试块的平均值作为最终试块的抗压强度2测量数据的采集将地聚合物置于压力机中心并使位置对中，然后用500N/S的加载速度缓缓作用于地聚 合物上，直到试件破坏，记录破坏时的极限荷载为了减小实验误差，每种样品均测试三 个平行试样的强度，以平均值作为最终的强度结果经过测试，前10d偏高岭土基地聚合 物固化体的强度如表 1 所示表 1 一组特定养护时间内的抗压强度数据养护时间(d)12345678910抗压强度(Mpa)23.5225.6229.2033.4536.6240.4242.2445.3848.3853.483建立一元线性回归方程的数学模型及数据处理从表 1的数据中可以直观地发现，偏高岭土地聚合物样品的抗压强度和养护时间之间 基本成线性关系，因此，按照一元线性回归方程的数据计算方法，另一元线性方程的表达 式为y=bx+a (1)为了对上式中相应的参数进行求解，计算所需数据x2、y2、xyi，计算结果以表2的 i i i ia 二 y - bxlxylxx根据最小二乘法的原理，系数b中的:形式表达。
序号xyx2y2xyi1123.52i1i553.190423.522225.624656.384451.243329.209852.640087.604433.45161118.9025133.805536.62251341.0244183.106640.42361633.7764242.527742.24491784.2176295.688845.38642059.3444363.049948.38812340.6244435.42101053.481002860.1104534.80工55378.3138515200.21492350.72由上表可得 x =55/10=5.5, y =378.31/10=37.831；式(1)中两个系数a和b分别为lxX=昱 x2 —10x2 =385-10x5.52=82.5xx ii=1l =近 xy —10 xy =2350.72-10x5.5x37.831=270.051xy i ilyy=兰 y2 — 10》2=15200.2149-10x37.8312=888.36939yy ii =1l因此系数 b =亠=270.051/82.5=3.278 909 091lxxa = y — bx =37.831-3.278 909 091x5.5=19.797即所求的一元线性回归方程为y = 19.797+3.278 909 091 x将上式精确到千分位，则为y =19.797+3.279x4一元线性回归方程式的可靠性检验 该一元线性回归方程的可靠性，依据参考文献［2］，可以通过以下三种方法进行显著性 检验。
1) F检验法：(取选定的显著性水平a =0.05，即置信概率为95%)Ho： b=0, H1： b^O( n — 2) S 2F检验法中H0的拒绝域为、「' R >F (1, n — 2),其中S2和S2分别表示该数据 0 S 2 1-a R EE的回归平方和与残差平方和,且有：S2 =b2lxx=3.2792x82.5=887.026 882 5S2 =lyy—b2lxx=888.36939-887.026 882 5=1.3425075E yy — xx(n — 2)S 2因此： R =8x887.026 882 5/1.3425075=5285.792〉F (1, n — 2) = F (1,8)=5.32S 2 1-a 0.95E成立则拒绝H说明偏高岭土基地聚合物的养护时间与抗压强度之间的线性关系显著2) t检验法：(取选定的显著性水平Q =0.05，即置信概率为95%)b J(n — 2)1若采用t检验法，则H0的拒绝域为 竺>t (n — 2)0 s 1-a2而 竺=3.279x\：8x82.5/辺.3425075 =72.703450731 (n — 2) t (8)=2.306S _ , a = 0.9751-E2成立。
因此拒绝H0,说明偏高岭土基地聚合物的养护时间与抗压强度之间的线性关系显著3)相关系数(r)检验法：(取选定的显著性水平a =0.05，即置信概率为95%)若采用相关系数检验法，则H0的拒绝域为r >r (n — 2)因为0 a\r\ = =270.051^/888.36939x82.5 =0.998>r (n — 2)=r (8)=0.632成立，因此拒l l a 0.05yy xx绝H0,说明偏高岭土基地聚合物的养护时间与抗压强度之间的线性关系显著5回归方程式的预测与控制根据计算出的一元线性回归方程式y = 19.797+3.279x，可以快速方便地预测偏高岭土基地聚合物养护时间所对应的抗压强度，并能估计养护时间所对应抗压强度的区间例如当养护时间为15d时，抗压强度的预测值为y = 19.797+3.279 x =19.797+3.279x15=68.982Mpa.此时，置信度为95%的预测区间为-（x0），y +（xo）），其中5（x）=c（x）t （n — 2），又因为s（x ）=o o 1 a o1-2.1 （X 一 x）21 + + o n lXX1 （15 - 5.5）21+忆+—825丄 工3425075 = 0.4097（n 一 2） 8=1.4812， t （n一2）= t （8） = 2.036， a1 a 0.9751 25（x ） = a（x）t （n一2）= 0.4097 x 1.4812x2.036=1.2355 o 0 - a1 2=（67.7465， 70.2175）即有 95%的把握估计当偏高（ y -5（ x ） , y + 5（ x ））从而得到 0 0岭土基地聚合物养护时间为15d时，对应的抗压强度的范围在67.7465Mpa到70.2175Mpa之间。
综上所述，偏高岭土基地聚合物的养护时间与其拉抗压强度的关系呈线性相关，并在28d以内，养护时间对抗压强度有着显著的影响，但在28d以后，由于地聚合物样品各方 面的性能均已稳定，养护时间对抗压强度的影响逐渐减小，需重新选取回归方程对强度进 行预测6 结束语以上运用一元线性回归的分析方法，构建了简单的分析模型，求出模型参数，并对分 析结果的显著性进行了假设检验，从而了解到偏高岭土基地聚合物的养护时间与其拉抗压 强度的关系呈线性相关可以得出养护时间x对抗压强度y有着显著的影响，在一定的范 围内呈线性关系运用数理统计检验方法可以有效归纳出两个因子之间的关系，能够大大 缩短验证时间，节约成本，可顺利解决两个参数之间的关系问题，为生产实践提供重要的 参数依据参考文献。