1 第一讲第一讲 20142014 年年少年组世锦赛个人赛少年组世锦赛个人赛培训培训 三角与几何专题三角与几何专题 主讲人主讲人：辽宁省数学集训队教练员辽宁省数学集训队教练员李明李明 一、什么是数学？一、什么是数学？1.恩格斯：数学是研究客观世界数量关系与空间形式的一门科学.2.伽利略：大自然这本天书是用数学语言写成的.3.量化模式：定性定量，动能，势能.二、为什么要学数学？二、为什么要学数学？1.1.数学有趣（数学游戏）数学有趣（数学游戏）数独、幻方、魔方、一笔画、纸牌魔术等2.2.数学优美（公式图形）数学优美（公式图形）（1）平方数倒数和公式：22221111?123n（2）勾股定理（弦图）（3）空间勾股定理 （4）余弦定理 （5）莫雷三角形（1909 年）2 3.3.数学有料（数学史名人名题）数学有料（数学史名人名题）（1）名人：数学史三杰：阿基米德（古希腊）、牛顿（英国）、高斯（德国）.民国数学五院士：姜姜立夫，苏苏步青，华华罗庚，陈陈省身，许许宝騄（2）名题：哥德巴赫猜想：任一大于 2 的偶数都可写成两个质数之和.费马大定理：222cab333cab3nnncabn 立方数倒数和问题：33331111?123n【注】王青建数学史简编2004 年。
4.4.数学有用（数学建模）数学有用（数学建模）（1）中国数学会会刊之一数学的实践与认识 马克思：马克思：一门科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步（2）数学推动科技，科技改变生活数学物理化学生物“高技术本质上是数学技术”：CT 技术、Google、密码学、台风预报等三、从解题到研究三、从解题到研究 1.多题一解【勾股定理，韦达定理等】学习通法；2.一题多解【勾股证明（面积法、相似法）、高斯求和】寻找巧法;解题竞赛：解题竞赛：华罗庚杯/希望杯/世锦赛；小学奥数/初、高中数学联赛/中国数学奥林匹克竞赛（CMO）、国际数学奥林匹克竞赛（IMO）/大学数学竞赛 3.Research and discover【洞察、归纳、推广】论文竞赛：论文竞赛：“走美杯”、“丘奖赛”、“大学生建模竞赛”初一：512=2601，522=2704，532=2809，542=，552=，562=.初二：相似证勾股.3 初三：奇数出发勾股数.四、四、20132013 年年个人赛个人赛获奖分数线获奖分数线 15 分铜牌（30%），22 分银牌（20%），27 分金牌（10%）五、个人赛三五、个人赛三大知识模块大知识模块【40 分=2 分题12 道+4 分题4 道】1.代数：因式分解、函数与方程（组）【3 道】2.数论与不定方程【3 道】3.三角与几何【5+1 道】六、六、三角函数三角函数专题专题 1.1.钝角三角函数值钝角三角函数值 sin120 .cos135 .tan150 .2.2.半角三角函数值半角三角函数值 sin15 .cos15 .tan15 .cot15 .tan22.5 .例例 1 1【2012 个人赛第 9 题】4 例例 2 2【2013 个人赛第 3 题】例例 3 3【2013 个人赛第 9 题】5 3.3.余弦定理余弦定理：已知ABC两边,a b及夹角，则第三条边222coscabab.推论（平行四边形法则）：推论（平行四边形法则）：平行四边形对角线平方和等于四边平方和.中线长公式中线长公式 例例 4 4【2011 接力赛第三轮 A 题】例例 5 5【2012 个人赛第 13 题】6 七七、平面、平面几何几何专题专题 1.1.三角形面积11sin()()()22Sahabprp papbpc（其中2abcp）引例引例 (1)三边长 5,6,7，求S ；(2)三边长 13,14,15，求S .例例 6 6【2012 个人赛第 2 题】例例 7 7 已知,a b均为正数，且222222,4,4ababab是三角形三边长.求S .2.2.四边形面积411111sinsinsin()=sin=22222SabbcacmnSmn菱 3.3.圆内接四边面积S=()()()()papb pcpd（其中2abcdp）引例引例 已知圆内接四边形四条边长分别为 1,2,3,4，则S=.4.4.托勒密定理：托勒密定理：mnacbd 例例 8 8 四边形内接于O,且一条边恰好通过圆心O,其余三边长依次为 7,15,15，求外接圆半径R.7 例例 9 9 P是等边三角形ABC外接圆圆弧BC上的一点，且 PB=1，PC=2，求PA 的长度.5.梯形面积（1）已知梯形四条边长,a b c d,求面积？如：（2）已知梯形上下底,a b和两对角线长,m n,求面积？（3）已知梯形两三角形面积，求面积？例例 1010 （五羊杯初中数学竞赛题）求梯形面积.8 6.6.旋转求积 例例 1111【2011 个人赛第 12 题】例例 1212 如图，等腰直角ABC的直角边长为a，ADBD且3ADBD，则BCD的面积是_.7.7.几何极值 8 8.三角形边长关系 例例 1 13 3 已知三条线段长度分别是2245,23,431nnnn（n是自然数）.若以这三条线段为边，能构成一个三角形，则n可以有_种不同取值？例例 1515 【2012 个人赛第 15 题】。