第六节 Green 公式 Gauss 公式 推广 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高斯公式 通量与散度 第十章 一、高斯 ( Gauss ) 公式 定理 1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上 有连续的一阶偏导数 , yxRxzQzyP dddddd zyxzR ddd yxR dd 下面先证 : 函数 P, Q, R 在 面 所围成 , 的方向取外侧 , 则有 (Gauss 公式 ) 高斯 目录 上页 下页 返回 结束 2 3 1 z y x yxD ) ,( yxR yxyxR dd) ,( ,),(: 11 yxzz 证明 : 设 ,321 zzRyxz yxz d),( ),(2 1 yxD ),(2 yxz ),(1 yxz yxR dd yxD 2 zyxzR ddd yx dd 1 3 yxR dd 为 XY型区域 , ),(: 22 yxzz 则 yxyxR dd) ,( yxD yxD ),(2 yxz yxyxR dd) ,( ),(1 yxz 定理 1 目录 上页 下页 返回 结束 所以 zyxzR ddd yxR dd 若 不是 XY型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY型区域 , 故上式仍成立 . 正反两侧面积分正负抵消 , 在辅助面 类似可证 zyxyQ ddd yxRxzQzyP dddddd zyxzRyQxP ddd xzQ dd zyxxP ddd zyP dd 三式相加 , 即得所证 Gauss 公式： 定理 1 目录 上页 下页 返回 结束 例 1. 用 Gauss 公式计算 其中 为柱面 闭域 的整个边界曲面的外侧 . 解 : 这里 利用 Gauss 公式 , 得 原式 = zyxzy ddd)( zrrzr ddd)s i n( (用柱坐标 ) zzrrr d)s i n(dd 301020 29 x 3 o z 1 y ,)( xzyP ,0Q yxR 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考 : 若 改为内侧 , 结果有何变化 ? 若 为圆柱侧面 (取外侧 ) , 如何计算 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 2. 利用 Gauss 公式计算积分 其中 为锥面 222 zyx h o z y x解 : 作辅助面 ,:1 hz ,:),( 222 hyxDyx yx 取上侧 1(I 1 Szyx d)c o sc o sc o s)( 222 0,21 上在 介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧 . 1,记 h1 所围区域为 , 则 zyxzyx ddd)(2 yxhyxD dd2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyxzyxI ddd)(2 利用重心公式 , 注意 0 yx zyxz ddd2 4h yxh yxD dd2 4 2 1 h hz02 2z zd 4h h o z y x h1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 3. .dddddd)( 2223 yxzxxzyzxzyxzxI 设 为曲面 21,2 22 zyxz 取上侧 , 求 解 : 作取下侧的辅助面 1:1 z 1:),( 22 yxDyx yx I 11 zyx ddd yxx dd)( 2 xyD)1( 20 d10dr 20 2 dc o s 12 13 1 z o x y 2 1 1用柱坐标 用极坐标 机动 目录 上页 下页 返回 结束 c o sc o sc o s z v y v x v 在闭区域 上具有一阶和 二阶连续偏导数 , 证明格林 ( Green )第一公式 Sd 例 4. 设函数 u zyx ddd u zyx dddxu yu yv zu zv 其中 是整个 边界面的外侧 . uP xv uQ yv uR zv 分析 : zyx z R y Q x P ddd yxRxzQzyP dddddd x v 高斯公式 2 2 2 2 2 2 z v y v x v 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证 :令 uP ,xv uQ ,yv uR ,zv 由高斯公式得 2 2 2 2 2 2 z v y v x v c o sc o sc o s z v y v x v u Sd 移项即得所证公式 .(见 P171) y v z v x v 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 1. 连通区域的类型 设有空间区域 G , 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为 空间二维单连通域 ; 若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面 , 则称 G 为 空间一维单连通域 . 例如 , 球面所围区域 环面所围区域 立方体中挖去一个小球所成的区域 不是二维单连通区 域 . 既是一维也是二维单连通区域 ; 是二维但不是一维单连通区域 ; 是一维但 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 闭曲面积分为零的充要条件 定理 2. ),(),(),( zyxRzyxQzyxP设 在空间二维单 连通域 G内具有连续一阶偏导数 , 为 G内任一闭曲面 , 则 0dddddd yxRxzQzyP GzyxzRyQxP ),(,0 证 : “充分性” . 根据高斯公式可知是的充分条件 . 的充要条件是 : “必要性” . 用反证法 . 使假设存在 ,0 GM 0 0 MzRyQxP 已知成立 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因 P, Q, R 在 G内具有连续一阶偏导数 , 则存在邻域 ,)( 0 GM ,)( 0 上使在 M 0 zRyQxP 的边界为设 )( 0M 则由高斯公式得 yxRxzQzyP dddddd zyxzRyQxPM ddd)( 0 0 与矛盾 , 故假设不真 . 因此条件是必要的 . 取外侧 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、通量与散度 引例 . 设稳定流动的不可压缩流体的密度为 1, 速度场为 kzyxRjzyxQizyxPzyxv ),(),(),(),( 理意义可知 , 设 为场中任一有向曲面 , yxRxzQzyP dddddd 单位时间通过曲面 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系 , 流量还可表示为 SRQP dc o sc o sc o s Snv d 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 为方 向向外的闭曲面 , yxRxzQzyP dddddd 当 0 时 , 说明流 入 的流体质量少于 当 0 时 , 说明流 入 的流体质量多于流 出 的 , 则单位时间通过 的流量为 当 = 0 时 , 说明流入与流出 的流体质量相等 . n流 出 的 , 表明 内有泉 ; 表明 内有洞 ; 根据高斯公式 , 流量也可表为 n 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为 , 设 是 包含点 M 且 为了揭示场内任意点 M 处的特性 , 在 式两边同除以 的体积 V, 并令 以 任意方式缩小至点 M 则有 VM lim MzRyQxP 此式反应了流速场在点 M 的特点 : 其值为正 ,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出 , 吸入 , 或没有任何变化 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义 : 设有向量场 kzyxRjzyxQizyxPzyxA ),(),(),(),( 其中 P, Q, R 具有连续一阶偏导数 , 是 场内的一片有向 则称 曲面 , 其单位法向量 n, SnA d 为向量场 A 通过 有向曲面 的 通量 (流量 ) . 在场中点 M(x, y, z) 处 称为向量场 A 在点 M 的 散度 . 记作 Adiv z R y Q x P 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0div A 表明该点处有正源 , 0div A 表明该点处有负源 , 0div A 表明该点处无源 , 散度绝对值的大小反映了源的强度 . 0div A若向量场 A 处处有 , 则称 A 为 无源场 . 例如 , 匀速场 ),(),( 为常数其中 zyxzyx vvvvvvv 0div v 故它是无源场 . P16 目录 上页 下页 返回 结束 说明 : 由引例可知 , 散度是通量对体积的变化率 , 且 *例 5. 置于原点 , 电量为 q 的点电荷产生的场强为 r r qE 3 .d iv E求 解 : 3ryy 3rzz 35 22 r xrq 5 22 3 r yr 5 22 3 r zr 0 3rxx ),(3 zyx r q )0( r 计算结果与仅原点有点电荷的事实相符 . )0( r 机动 目录 上页 下页 返回 结束 qEd i v 内容小结 1. 高斯公式及其应用 公式 : yxRxzQzyP dddddd zyxzRyQxP ddd 应用 : (1) 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧 ) (2) 推出闭曲面积分为零的充要条件 : 0dddddd yxRxzQzyP 0 zRyQxP 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 通量与散度 设向量场 P, Q, R, 在域 G内有一阶 连续 偏导数 , 则 向量场通过有向曲面 的通量为 G 内任意点处的散度为 ),( RPA SnA d z R y Q x PA d i v 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 所围立体 , 判断下列演算是否正确 ? (1) yx r zxz r yzy r x dddddd 3 3 3 3 3 3 vR d3 24 R (2) yxrzxzryzyrx dddddd 3 3 3 3 3 3 v r z zr y yr x x d3 3 3 3 3 3 31R yxzxzyzyx dddddd 333 31R vzyx d)(3 222 为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P174 1 (2), (4), (5); 2(2) ; 3; 4 第七节 目录 上页 下页 返回 结束 00 c o s rn 00 rn 备用题 设 是一光滑闭曲面 , 所围立体 的体 是 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径 试证 证 : 设 的单位外法向量为 则 c o sc o sc o s rzryrx Sr dc o s31 vd331 V 的夹角 , 积为 V, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 。