第二节 速度 加速度知识导航1．平均速度在一段时间t内，质点的位移为Ar,那么，位移Ar与时间At的比值叫做平均速度平均速度可以粗 略描述一段时间内物体运动的快慢和运动方向Arv 二平均 At 2．即时速度Ar我们把At趋近于零时，平均速度丁所趋近的极限值，叫做运动质点在t时刻的即时速度（也称为瞬At时速度）即Arv = limAtAt T 0即时速度可以精确、如实地描述质点在任一时刻的邻近时间内变速直线运动的快慢，平均速度、即时 速度都是矢量，具有大小和方向描述质点的运动，有时也采用一个叫做“速率”的物理量速率是标量，等于运动质点所经过的路程 与经过该路程所用时间的比值，而不考虑质点运动的方向所以平均速率可定义为sv ——t一般情况下平均速率与平均速度的大小是不相等的例如，在某一时间内，原点沿闭合曲线环行一周， 虽然质点的位移等于零，平均速度也为零，而质点的平均速率是不等于零的而即时速率就是即时速度的 大小，而不考虑方向3．加速度 在变速运动中，速度改变的快慢一般是不同，为了研究速度随时间而改变的特征，物理学中引入了加 Av速度的概念，它等于速度对时间的变化率，即a = -At从上式求得的实际上是质点运动的平均加速度，依平均速度和瞬时速度知识可得即时加速度为Ava = limAtAtT0例题分析例题1.已知某质点的运动学方程为x= （ t耳4） m，试求第1秒到第2秒这段时间内的平均速度及即 时速度、加速度。
解析：平均速度为Ax x — x (t 2 + 4) — (t 2 + 4)v — — 1 — 2 —At t — t t — t2 1 2 1—8_5 — 3m / s2 — 1方向沿x轴的正方向 即时速度为v — lim 心—lim(t+At )2 + 4—(t 2 + 4)At AtAt T 0 At T 02tAt + At 2—lim — 2tm / sAtAtT0因此，1秒末和2秒末的速度分别为2m/s、4m /s 加速度为=2m / s 2a = lim Av = lim 2(t+At) — 2tAt Atvt —0 At —> 0点评：该题主要是练习如何运用数学中的极限来求瞬时速度和瞬时加速度，从而加深物理量对时间的 变化率的理解如位移对时间的变化率就是瞬时速度，速度对是时间的变化率就是加速度等例题2.蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心l=1 m的A点处时，速度是v = 2cm / s，试问蚂蚁从A点爬到距巢中心l=2 m的B点所需的时间为多少？12解法一：蚂蚁爬行作变速运动，为了求解，可将AB间距拆分成很小的n等份，则在任一等份内蚂蚁 的运动可看成是匀速运动，但在各等份中运动的速度并不相等，将蚂蚁经过各等份所需时间加起来即是所 求的时间。
v=k/x=lv /x11g Ax• • • 4 4 ° A v； v/图 1-2-1将蚁巢中心定为坐标原点O, OA连线即为x轴正向，则坐标x处蚂蚁的速度可表示为1 1 x即 =厂•—v l v11将A、B连线分成n等份，如图1-2-1所示,每份长Ax = （l 一/）/n，对应的速度为V］、v/、v, v /、v2，当n很大时，每小段运动可看成匀2 1 1 1 2 n-1 2速运动，由A到B所需的总时间为Ax Ax Ax AxT = + + + +v v ' v ' v '1 1 2 n 一11 1 1 A x=Ax( + + + + )v v ' v ' v '11+ —v v'1 1 2 n 一11 一1 ( 1 1 )T 1( + )2 v v'1 n-1—二J则上式可变为l — l v + v l2 — l2T 二二 1 • -4 2 二二 4 二2 v v 2l v1 2 11解法二：蚂蚊爬完每一段路程Ax所用的时间At为:At少二1 -Ax可见，如果作1 - x图像时,v v v图 1-2-211其中阴影区的面积恰为At又因为-0 x，所以做出的—-x图像是一条 vv过原点的直线，如图1-2-2所示。
从图中不难看出，当n fg时，梯形abed 的面积即为蚂蚁从A到B的时间，11(+ )(l -1 )v v 2 1T = 1 22=75sl2 -l22lv11点评：比较两种解法，显然解法二比解法一简便清晰得多，可见图像法解题在物理问题中十分有用 另外还需注意两种解法中都用到了分割求和的处理手法，这种方法在解决一些物理问题时是非常有效的 以后会经常遇到，学生们一定要熟练掌握历届赛题回访赛题：(第一届全国中学生力学竞赛预赛试题)地下电车站的自动扶梯在 1 分钟内可以把一个静止的 站在梯上的人送上地面如果自动扶梯不动，这个人沿扶梯走上地面需要3 分钟，那么这个人沿着动的自 动扶梯走上地面需要 分钟解析：设扶梯的长度是S,自动扶梯的速度大小为V =s，t，人相对扶梯的速度大小为V二s,；t，人1 1 2 2s s s在动的自动扶梯上走动时相对地面的速度大小为v =v +v，即一 =一+ ，得3 1 2 t t t312t t 3t = = mm3 t +t 412导航练习—1．一位电脑动画爱好者设计了一个“猫捉老鼠”的动画游戏如图 1-2-3 所示在一个边长为a的大立方体木箱的一个顶角A上，老鼠从猫的爪间逃出， 选择了一条最短的路线，沿着木箱的棱边奔向洞口，洞口处在方木箱的另一顶角 B处，若老鼠在奔跑中保持速度大小v不变，并不重复跑过任一条棱边及不再回 到A点。
聪明的猫也选择了一条最短的路线奔向洞口（设猫和老鼠同时从A点 出发），则猫奔跑的速度为多大时，猫恰好在洞口再次捉住老鼠？（答案：V0 = 丁 V）2. 在听磁带录音机的录音时发觉：带轴上带卷的半径经过时间［=20min减小一半问此后半径又减小一半需要多少时间？（答案： 5min）3. 磁带录音机的空带轴以恒定角速度转动，重新绕上磁带，绕好后带卷的末半径r为初半径r的3末初倍绕带的时间为t要在相同的带轴上重新绕上带长相同、厚度为原磁带一半的薄磁带，问需要多少时 间？（答案：U5 - 1）t）黑色的一把每厘米有5 个齿将其重4. 有两把齿距不同的梳子，其中白色的一把每厘米有4 个齿 叠起来，如图 1-2-4所示，再透过其齿间的缝隙去看亮光，则可以 看到亮段和暗段交替出现如果把其中的一把梳子以 1cm/s 的速 度移动，问亮的部位将以多大的速度移动？（答案：5cm/s或4cm/s）5. 3个芭蕾舞演员同时从边长为l的正三角形三顶点出发， 以相同的速率始终保持A朝着B，B朝着C，C朝着A运动问2U 3 )经过多少时间3人相聚？每个演员跑了多少路程？（答案：2lj3v ；图 1-2-46. 一只蟑螂和两只甲虫在一水平大桌面上爬行，每只甲虫的速度都能达到v二1cm/s。
开始时这些虫 子恰位于一个等边三角形的三个顶点上问蟑螂应具有什么样的速度，才能在两只甲虫任意移动的情况之 下仍能保持三者分别位于一等边三角形的三个顶点上？（答案：vo < 2cm/s ）。