第9章 平面弯杆弯 曲 变 形与刚度计算 9.1 挠曲线 挠度和转角 9.2 挠曲线近似微分方程 9.3 积分法求梁的变形 9.4 叠加法求梁的变形 9.5 梁的刚度条件与合理刚度设计 9.6 用变形比较法解简单超静定梁1、梁的变形特点PxCC1w(x)q qw(x)挠度：梁截面形心在垂直于梁的初始轴线方向的位移转角：梁截面相对于变形前的位置转过的角度挠曲线()ww xdxdytan 9.1 挠曲线 挠度和转角平面假设小变形（小挠度）挠曲线：梁弯曲后，梁轴线所成的曲线挠曲线方程2，意义工业厂房钢筋混凝土吊梁600500LLf 普通机车主轴3.00q符号给定：正值的挠度向下，负值的向上；正值的 转角为顺时针转相，负值的位逆时针转向3，影响变形的因素不计由小变形条件，x%3,10的的影响只有时MQhL4，计算变形的方法积分法、叠加法、能量法、1 1、挠曲线近似微分方程、挠曲线近似微分方程zzEIxM)(1xo()()zzMxw xEI 挠曲线近似微分方程小变形小变形3221()()(1)w xw xw 2()1()zzMxww xEI M 022()0d w xdxM 022()0d w xdx 9.2 挠曲线近似微分方程()w x()()EIw xM x zzEIxM)(1*思考：）（若、xMM 2常量若、M11、挠曲线方程（弹性曲线）挠曲线方程（弹性曲线）()()EIw xM x 1()()dEIw xM xxC 12()()d)dEIw xM xxxC xC 9.3 积分法求梁的变形2、边界条件、连续条件PDwxLPABCwxLa0,0 xw,0 xL w12,xaww0,0 xw110,0 xwq*注意问题()()EIw xM x什么时候需要分段积分？如何确定极值？PL1L2ABC例例9.1 9.1 求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
弯矩方程()()M xP xL 微分方程的积分边界条件、连续条件PLxw()()()EIw xM xP Lx 211()2EIwP LxC 3121()6EIwP LxC xC321(0)06EIwPLC211(0)02EIwPLC2112CPL 3216CPL 弹性曲线方程 最大挠度及最大转角2()(3)6Pw xLxEIx2max()2PLLEI3max()3PLww LEIxPLwLq0BA例例9.2 9.2 均布荷载下的简支梁，均布荷载下的简支梁，EIEI已知，已知，求挠度及两端截面的转角maxw解：1 确定反力2 求出弯矩方程2AqlF 2BqlF 2122qlM xxqxxw3 微分方程的积分4 边界条件、连续条件 21()22qlEIw xM xqxx 14311(0)00()0102412EIwDEIw lqlqllC lD2124qlD 321431116412412qlEIwqxxCqlEIwqxxC xD5 梁的转角方程和挠曲线方程332343164241241224qlqlEIqxxqlqlEIwqxxxq6 梁的最大挠度：根据对称性4332max215|24212 2242384llqllqllqlEIwEIwqEI7 梁两端的转角303332|241|642424AxBx lqlEIEIqlqlqlEIEIqll 例例9.3 9.3 集中力下的简支梁，集中力下的简支梁，EIEI已知，已知，求挠曲线方程和转角方程，最大挠度及最大转角。
FalAB解：1 确定反力2 求出弯矩方程 120,AyFbMxF xxxalFbMxxF xalxa lD3 微分方程的积分 1122()()FbEIw xMxxlFbEIw xMxxF xal BFaFlBFbFl21122222122FbEIwxClFbEIwxF xaCl 积分一次：3111332226166FbEIwxC xDlFbEIwxF xalC xD 再积分一次：4 边界条件、连续条件12121212()()()()EIw aEIw aCCEIw aEIw aD D1133222(0)001()0660EIwDFbEIw llF lalC lD边界条件连续条件积分成数为12221206DDFbCClbl222122222261226FbFbEIwxlbllFbEIwxF xalFblbl 322133222661666FbFbEIwxlbxllFbEIwxF xalFblbxl 5 梁的转角方程和挠曲线方程6 最大转角0max2max|6|6616AxBx lBFabEIEIlblFabEIEIlalifabthenFablalEIifabthenFlEIq 6 最大挠度222122222max13max002633()9 348FbFbwhenwxlblla lblbxifabthenxaFbww xlbEIlifabthenxaFlwEI ACEI 例、试用积分法求图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求截面的转角和截面的挠度。
设常量xCDAB/2l/2l/2lw解：1 确定反力2 求出弯矩方程 21210,22133,822 2lMxqxxlllMxqlxx 3 微分方程的积分 211221()0,22133(),822 2lEIw xMxqxxlllEIw xMxqlxx 31122210,62133,1622 2lEIwqxCxlllEIwqlxCx 4111322210,242133,4822 2lEIwqxC xDxlllEIwqlxC xDx8BqlF 4 边界条件、连续条件122123()()()0222()()22lllwwwllEIwEIw4114222233123411342210242210482302116216111,1638411,4832llqCDlqlCDlCDlqCqlCCqlDqlCqlDql 33123243413342110,61621313,162482 211110,2416384213113,48248322 2lEIwqxqlxlllEIwqlxqlxlEIwqxql xqlxlllEIwqlxql xqlx 5 梁的转角方程和挠曲线方程 33133342442110061611613114824832113148821128AACEIEIwlqlEIlEIylqllql lqlqlyylqlEI 在小变形条件下，材料服从虎克定律成线性关系、与外力、内力、)()(0MPqMQ几个载荷共同作用的变形=各个载荷单独作用的变形之和叠加原理 9.4 叠加法求梁的变形LBAmaxwxwlBA1CwxwqBA2Cwxwql+=1Cq2Cq例例9.4 9.4 简支梁的简支梁的EIEI已知，已知，用叠加法求梁跨中截面的位移和支座B的转角。
43115,38424CBqlqlwEIEIq 载荷分解如图 均布载荷单独作用时集中力偶单独作用时4322,163CBqlqlwEIEIq 叠加41231219384724CCCBBBqlwwwEIqlEIq 1Cwwq+=例简支梁的例简支梁的EIEI已知，已知，用叠加法求梁跨中截面的位移和两端截面的转角44133115/25384768/22448CABqlqlwEIEIqlqlEIEI 载荷分解如图 对称均布载荷单独作用时集中力偶单独作用时233220/2/224384CABwqlqlEIEIABC/2l/2lx/2qABx2Cww1CqABx/2q/2q 叠加41233312333125768348384128748384128CCCBAABBBqlwwwEIqlqlqlEIEIEIqlqlqlEIEIEI 例例 用用叠加原理求A点转角和C点挠度载荷分解如图 查简单载荷变形表=+PABqAB qPABCaaEIPaPA42qEIqaqA33q4524qCqLwEI 36PCPawEI AAAPP=+BBBCaa叠加qAPAAq EIPaPA42qEIqaqA33qEIqLyqC2454EIPayPC63)43(122qaPEIa435246CqaPawEIEI PqabABCLqLPLa,43,BBwq求：PABC()BPw)(PBqAqBCqc()Bqw)(qBqCwPABC()BPw)(PBqAqBCycqc()Bqw)(qBq()BCCqbwwqEIbEIqaqa6834EIqL2563514CBq)(EIqa63EIqL256273EIPqLB2)(3q3()3BPEIPLw EIEIqLqLB22563327qEIqL2561553442563351BEIEIqLqLw EIqL76813094AqBCcwqc()Bqw)(qBqPABC()BPw)(PBq逐段刚性法：逐段刚性法：研究前一段梁时，暂将后面的各研究前一段梁时，暂将后面的各段梁视为刚体，前一段梁末端截面的段梁视为刚体，前一段梁末端截面的位移为后一段梁提供一个刚体位移；位移为后一段梁提供一个刚体位移；在研究后一段梁时，将已变形的前一在研究后一段梁时，将已变形的前一段梁的挠曲线刚性化，再将各段梁的段梁的挠曲线刚性化，再将各段梁的变形叠加在前一段梁的所提供的刚性变形叠加在前一段梁的所提供的刚性位移上，从而得到后一段梁的总位移位移上，从而得到后一段梁的总位移9.6 用逐段刚性法求解体悬臂梁自由端的挠度和转角Cw0Bw1bw0Bw0Bq1BqBq把变形后的AC刚性化把未变形CB刚性化F/2lFFABCFABCABC a c b22323/2/2/232 2216/2/2/253 22 296CCF lFllFlEIEIEIF lFllqlwEIEIEIq求AC的变形时，CB刚化 AC变形引起CB的变形20303167248BCBCCFlEIlqlwwEIq求CB的变形，把变形后的AC刚化，此时CB可看成以C为固定端的悬臂梁221331/228/2324BBF lFlEIEIF lqlwEIEIq1bw0Bw0Bq1BqBq把变形后的AC刚性化FBC c B截面的位移等于AC段变形引起CB的刚性位移和CB自身弯曲引起的位移2220133301351681673482416BBBBBBFlFlFlEIEIEIqlqlqlwwwEIEIEIq9.7 用逐段刚性法求解简支外伸梁的挠度CDAB/2l/2la1F2FCDAB1F2F1Fa0Bq1Cw1FCB2Cw a c b把未变形BC刚性化把变形后的AB刚性化21212/2/22/236316BF llllFalEIlEIFalF lEIEIq 求AB的变形时，把BC刚化 AB变形引起BC的变形22121316CBFa lF alwaEIEIq 求BC的变形，把变形后的AB刚化，此时BC可看成以B为固定端的悬臂梁1FCB2Cw c把变形后的AB刚性化3123CFawEI C截面的位移等于AB段变形引起BC的刚性位移和BC自身弯曲引起的位移2231211222213163163CCCFa lF alFawwwEIEIEIF alFalaEIEI 442563351BEIEIqLqLw EIqL76813094抗弯刚度EI,1抗拉（压）刚度EA抗扭刚度IpG，刚度校核2maxmaxwllw 9.5 梁的刚度条件与合理刚度设计 9.5.1 梁的刚度条件、校核刚度 max*三种计算maxwwll、设计截面尺寸、设计载荷PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例例 空心圆杆，d=40mm、D=80mm，E=210GPa，工程规定C点的w/L,B点的q=弧度,校核此杆的刚度。
212163BPLP LaEIEIq2321221633CPL aPaPa LwEIEIEI)(6444dDI124410)4080(6414.3 48m10188 001.010423.04max校核刚度212163BPLP LaEIEIq40.4400200()0.423 10()210 1880163 弧度23261225.19 10 m1633CPL aPaPa LwEIEIEI maxwwll 65max5.19 10 m10 mwwaaqABCmaGPaE1,200选择工字钢115/,100,;1000wqKN mMPalBwqBAwABBawwq4724EIqa121000AAwlalww由：1000122474aEIqa101093420048157000487000EqaIz)(10944810 m工查表，选：16NOcmIz41130cmWz4141强度校核WMzmaxmaxWqaz22101063141215MPa2.53aaqABCqa22qa22qaqa 9.5.2 梁的合理刚度设计梁跨度的选取 制作约束和加载方式的合理安排梁截面的合理选取 梁材料的合理选取建立静定基 用反力代替多余约束的结构=EIq0LABq0LFBABLq0MABA1、处理方法变形协调方程物理方程平衡方程静定基 9.6 用变形比较法解简单超静定梁变形协调方程+q0LFBAB=FBABq0AB物理方程补充方程38BqLF()()0BBBBwwqwF4()8BqLwqEI3()3BBBF LwEIF 43083BBqLF LwEIEI约束力确定后，3 便成为静定结构，所以其 它支座的约束反力可以方便求出35,888AxAyAqLqLqLFFm求图示CD杆的轴力FN，已知梁ABC的抗弯刚度为EI，杆CD的抗拉、抗压刚度为EACDABNFCDABCCABlNFNF1Cw2Cw设CD的轴力为FN 协调方程12CClww 3122242322CNCNqllwEIFllwlEIF llEI 233232242322/484886NNNF lqllFlllEAEIEIqlIlqlFIAlA 物理关系代入协调方程一长为 L 的悬臂梁 CD，在其端点 D 处经一滚柱由下面另一悬臂梁 AB实行弹性加固，已知梁CD的抗弯刚度为EI，梁 AB的抗弯刚度为2EI，现在梁AB的B端作用一垂直于AB梁、大小为P的力，求C 处的约束反力。
Plxw236PxwlxEIBL2LACDP附表：附表：yBLACDPF 1wFADP2wFF 2wPCyFCxFCM解：1.解除D处的弹性约束，则变形协调条件为23123223236353 26 21236 26PLFLwLLEIEIPLPLwPLLEIEIPLFLwFLLEIEI4研究CD 杆0000560056xCxyCyAyCCCFFFFFPFFMMFLPLMFL 122wwPwF2.物理关系3335312656FLPLFLEIEIEIPF3.代入变形协调条件。