第四章 连续体的振动 实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因而又称，因而又称连续系统连续系统或或分布参数系统分布参数系统由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此连连续体是具有无限多自由度的系统续体是具有无限多自由度的系统连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组二阶常微分方程组，它是，它是偏微偏微分方程在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，连连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类似的本章只讨论理想弹性体的振动理想弹塑性体满足以下假设条件各向同性；均质分布；服从虎克定律4.1 弦的振动T(,)q x t讨论两端受到张力拉紧的弦，弦上还受到横向干扰力的作用(,)q x tyxdxxdmAds第四章 连续体的振动qdx22yAdxtdxxdxTT设弦的密度为 （质量/单位体积）假设小变形，弦力不随挠度变化。
则弦上的任意一点的位移y应为位置x与时间t的函数，即(,)yy x t22()()dmAdsAdxdyAdx(,)(,)y x tx ttgxy,x xdx沿方向作用在微小区间的外力之和为(,)(,)(,)(,)(,)(,)x tTx tdxTx tq x t dxxx tTdxq x t dxx根据牛顿第二定律，弦的单元微段ds沿y方向的运动微分方程为：22(,)(,)(,)y x tx tAdxTdxq x t dxtx(,)(,)y x tx tx代入得：2222(,)(,)(,)y x ty x tATq x ttx22222(,)(,)1(,)y x ty x tcq x ttxATcA设代入得：C为波沿长度方向的传播速度(,)()()()sin()ny x tY xH tY xt如无干扰力作用时，22222(,)(,)y x ty x tctx称为波动方程 弹性体系统作某阶主振动时，其各点也应当作同样的频率及相位运动，各点也应当同时通过静平衡位置和到达最大偏离位置，即系统具有一定的与时间无关的振型()Y x为振型函数2222222(,)()sin()(,)()sin()nnny x tY xtty x td Y xtxdx 得2222()()sin()sin()nnnd Y xY xtctdx()sincosnnY xAxBxcc(,)(sincos)sin()nnny x tAxBxtcc2222()()0nd Y xY xdxc故,nA B 4个待定常数，可由弦的边界条件及振动的两个初始条件来确定。
l(0,)0yt(,)0y l t 由于两端固定，故有0(0)sin()nBt0(sincoscos)sin()nnnAlBltccjcjjTllA()sinsinjjjjjYxAxAxcl(,)sinsin()jjjjjyx tAxl 0sin0nBAlc得0A sin0nlc 则(1,2)nljjc得1(,)sinsin()jjjjjy x tAxtl22222(,)(,)1(,)y x ty x tcq x ttxAl(,)q x t受迫振动 对于长为的两端固定，受分布力作用下的弦的受迫振动，其运动微分方程为：()sinjjY xAxl振型函数 1jA 令()sinjY xxl则有(,)sin()()jjy x tx Htl设其解为 1(,)sin()()jjjy x tx Htl代入方程222211()1sin()()sin()()(,)jjjjd Htjjjxcx Htq x tldtllAsin()mxl0lx到 对 进行积分，将上式两边同乘以并从2mcml02()(,)sinlmmQtq x txdxAll0()sin()sin()20()lljmjmxx dxlljm得：222()()()mmmmd HtHtQtdt整理后得到：01()cossin()sin()lmmmmmmmmHtCtDtQtd1,2m 其通解为：讨论等截面细直杆的纵向振动讨论等截面细直杆的纵向振动 杆长杆长 l假定振动过程中各横截面仍保持为平面假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面积截面积 S材料密度材料密度弹性模量弹性模量 E忽略由纵向振动引起的横向变形忽略由纵向振动引起的横向变形),(txplx0),(txp单位长度杆上分布的纵向作用力单位长度杆上分布的纵向作用力 杆参数：杆参数：4.2 杆的纵向振动杆的纵向振动),(txu杆上距原点杆上距原点 x 处截面在时刻处截面在时刻 t 的纵向位移的纵向位移微段分析微段分析),(txplx0 xdxdxtxp),(dxudxxuu22xuSdxdxxFFF微段应变：微段应变：xudxudxxuu)(横截面上的内力：横截面上的内力：xuESESF由达朗贝尔原理：由达朗贝尔原理：dxtxpFdxxFFtuSdx),()(224.2 杆的纵向振动杆的纵向振动),(txu杆上距原点杆上距原点 x 处截面在时刻处截面在时刻 t 的纵向位移的纵向位移),(txplx0 xdx横截面上的内力：横截面上的内力：xuESESF由达朗贝尔原理：由达朗贝尔原理：dxtxpFdxxFFtuSdx),()(22),()(22txpxuESxtuS代入，得：代入，得：杆的纵向强迫振动方程杆的纵向强迫振动方程 对于等直杆，对于等直杆，ES 为常数为常数),(1222022txpSxuatu/0Ea 弹性纵波沿杆的纵向传播速度弹性纵波沿杆的纵向传播速度 有：有：4.2 杆的纵向振动杆的纵向振动 固有频率和模态函数固有频率和模态函数以等直杆的纵向振动为对象以等直杆的纵向振动为对象 方程：方程：),(1222022txpSxuatu纵向自由振动方程：纵向自由振动方程：222022xuatu/0Ea假设杆的各点作同步运动，即设假设杆的各点作同步运动，即设：)()(),(tqxtxuq(t)表示运动规律的时间函数表示运动规律的时间函数)(x杆上距原点杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅处的截面的纵向振动振幅 代入，得：代入，得：)()()()(20 xxatqtq ),(txplx04.2 杆的纵向振动杆的纵向振动)()()()(20 xxatqtq 记：记：2 0)()()(0)()(202xaxtqtq)sin()(tatq0201cossin)(axcaxcx通解：通解：（确定杆纵向振动的形态，称为（确定杆纵向振动的形态，称为模态模态）,21cc由杆的边界条件确定由杆的边界条件确定 与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数，表，表示各坐标振幅的相对比值示各坐标振幅的相对比值 由频率方程确定的固有频率由频率方程确定的固有频率 有无穷多个有无穷多个 i（下面讲述）（下面讲述）4.2 杆的纵向振动杆的纵向振动第第 i 阶主振动：阶主振动：)sin()(tatq0201cossin)(axcaxcx222022xuatu)()(),(tqxtxui)(xi一一对应一一对应)2,1(),sin()(),()(itxatxuiiiii系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：1)sin(),(iiiiitatxu4.2 杆的纵向振动杆的纵向振动几种常见边界条件下的固有频率和模态函数几种常见边界条件下的固有频率和模态函数（1）两端固定）两端固定边界条件：边界条件：0)()0(),0(tqtu0)()(),(tqltlu不能恒为零不能恒为零)(tq0)0(0)(l故：故：0201cossin)(axcaxcx代入模态函数代入模态函数 02c得：得：0sin0al（杆的纵向振动频率方程（杆的纵向振动频率方程）无穷多个固有频率：无穷多个固有频率：),2,1,0(,0ilaii由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去 特征：两端位移为零特征：两端位移为零模态函数模态函数：lxicxiisin)(),2,1,0(ilx04.2 杆的纵向振动杆的纵向振动（2）两端自由）两端自由特征：自由端的轴向力为零特征：自由端的轴向力为零 边界条件边界条件：0),0(xtuES0),(xtluES)()(),(tqxtxu 0)0(得：得：0)(llxicxiicos)(零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移0201cossin)(axcaxcx频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同),2,1,0(i固有频率：固有频率：),2,1,0(,0ilaii模态函数：模态函数：01c得出：得出：0cos0allx04.2 杆的纵向振动杆的纵向振动（3）一端固定，一端自由）一端固定，一端自由特征：固定端位移为零特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零自由端轴向力为零 边界条件边界条件：0),(xtluES)()(),(tqxtxu 得：得：0)0(0)(l0cos0al02c0201cossin)(axcaxcx固有频率：固有频率：0),0(tu模态函数：模态函数：,.2,1,)212(ilaii,.2,1),212sin()(ixlicxiilx0连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动或：或：,.5,3,1,2ilaii,.5,3,1),2sin()(ixlicxii左端自由，右端固定左端自由，右端固定特征：固定端位移为零特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零自由端轴向力为零 边界条件边界条件：0),0(xtuES)()(),(tqxtxu 得：得：0)(l0)0(0cos0al01c0201cossin)(axcaxcx固有频率：固有频率：0),(tlu模态函数：模态函数：lx0,.5,3,1,2ilaii,.5,3,1),2sin()(ixlicxii4.2 杆的纵向振动杆的纵向振动边界条件边界条件0)(l0)0(0cos0al模态函数模态函数lx0,.5,3,1,2ilaii,.5,3,1),2sin()(ixlicxiilx00)0(0)(l0cos0al频率方程频率方程固有频率固有频率,.5,3,1,2ilaii,.5,3,1),2sin()(ixlicxii4.2 杆的纵向振动杆的纵向振动例：例：一均质杆，左端固定一均质杆，左端固定，右端与一弹簧连接，右端与一弹簧连接。
推导系统的频率方程推导系统的频率方程lx0k4.2 杆的纵向振动杆的纵向振动解：解：边界条件：边界条件：lx0k0),0(tu),(),(tlxuEStlku(,)()()u x tx q t1200()sincosxxxccaa0)0(),()(tlxESlk得出：得出：02c000cossinalaESalk常数klESalaltg00/)/(频率方程频率方程振型函数：振型函数：xacxii0sin)(4.2 杆的纵向振动杆的纵向振动例：例：一均质杆，左端固定一均质杆，左端固定，右端与一集中质量，右端与一集中质量M固结推导系统的频率方程推导系统的频率方程Mlx0边界条件：边界条件：0),0(tu),(),(22tlxuEStltuM自己推导！自己推导！4.2 杆的纵向振动杆的纵向振动主振型的正交性主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性 杆可以是变截面或匀截面的杆可以是变截面或匀截面的 即质量密度即质量密度及截面积及截面积 S 等都可以是等都可以是 x 的函数的函数 杆的动力方程杆的动力方程：),()(22txpxuESxtuS 自由振动：自由振动：)(22xuESxtuS 主振动主振动：)sin()(),(taxtxuSES2)(代入，得代入，得：4.2 杆的纵向振动杆的纵向振动SES2)(杆的简单边界杆的简单边界：固定端固定端0)(xx=0 或或 l 0)(xES自由端自由端x=0 或或 l 设：设：)(xii)(xjj代入：代入：iiiSES2)(jjjSES2)()(xj乘乘 并沿杆长对并沿杆长对 x 积分：积分：lljiiijdxSdxES002)(利用分部积分：利用分部积分：dxESESdxESjlliliiij 000)()(00杆的任一端上总有杆的任一端上总有或者或者成立成立 ljliijdxESdxES00)(得：得：ljiiljidxSdxES0204.2 杆的纵向振动杆的纵向振动)(xi乘乘 并沿杆长对并沿杆长对 x 积分：积分：iiiSES2)(jjjSES2)(同理同理)(xj乘乘 并沿杆长对并沿杆长对 x 积分：积分：lljiiijdxSdxES002)(lljijjidxSdxES002)(ljijljidxSdxES020相减：相减：ljiiljidxSdxES0200)(022ljijidxSjiji 时时则必有：则必有：杆的主振型关于质量的正交性杆的主振型关于质量的正交性 00ljidxS)(ji 进而：进而：lijljidxESdxES000)()(ji 杆的主振型关于刚度的正交性杆的主振型关于刚度的正交性 4.2 杆的纵向振动杆的纵向振动0)(022ljijidxS关于质量的正交性关于质量的正交性 00ljidxS)(ji )(ji 关于刚度的正交性关于刚度的正交性 当当ji 时时 恒成立恒成立令：令：pilimdxS 02第第 i 阶模态主质量阶模态主质量 piliilikdxESdxES 020)()(第第 i 阶模态主刚度阶模态主刚度 pipiimk/2 lijljidxESdxES000)(第第 i 阶固有频率：阶固有频率：主振型归一化：主振型归一化：102 pilimdxS正则振型正则振型 2ipik 则第则第 i 阶主刚度：阶主刚度：ijljidxS0ijijlidxES20 ijiljidxES20)(合写为：合写为：jijiij014.2 杆的纵向振动杆的纵向振动杆的纵向强迫振动杆的纵向强迫振动 采用振型叠加法进行求解采用振型叠加法进行求解),()(22txpxuESxtuS 强迫振动方程：强迫振动方程：初始条件：初始条件：)()0,(1xfxu)(|20 xftut假定假定 ，i)2,1 i（i已经得出已经得出令：令：)()(),(1tqxtxuiii)(tqi正则坐标正则坐标 代入方程：代入方程：),()(11txpqESqSiiiii 两边乘两边乘j并沿杆长对并沿杆长对 x 积分积分：ljilijiljiiidxtxpdxESqdxSq01001),()(利用正交性条件：利用正交性条件：)(2tQjjjj ljjdxtxptQ0),()(第第 j 个正则坐标的广义力个正则坐标的广义力 4.2 杆的纵向振动杆的纵向振动),()(22txpxuESxtuS )()0,(1xfxu)(|20 xftut)()(),(1tqxtxuiii)(2tQjjjj ljjdxtxptQ0),()(模态初始条件的求解模态初始条件的求解 12011)0()()()0()()()0,(iiitiiiqxxftuqxxfxu乘乘)(xSj并沿杆长对并沿杆长对 x 积分，由正交性条件，知有：积分，由正交性条件，知有：ljjljjdxxxSfqdxxxSfq0201)()()0()()()0(ljjjjjjjjjdttQtqtqtq0)(sin)(1sin)0(cos)0()(得：得：)(tqj求得求得 后后可得可得),(txu4.2 杆的纵向振动杆的纵向振动),()(22txpxuESxtuS )()0,(1xfxu)(|20 xftut)()(),(1tqxtxuiii)(2tQjjjj dxtxptQjlj),()(0如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力 可表达成分布力形式：可表达成分布力形式：)()(),(xtPtxp正则坐标的广义力：正则坐标的广义力：)()()()()()(0jljjtPdxxxtPtQ 前述外部激励为分布力前述外部激励为分布力lx0)(tP4.2 杆的纵向振动杆的纵向振动例：等直杆例：等直杆自由端作用有：自由端作用有：tPtPsin)(0 为常数为常数0P求：杆的纵向稳态响应求：杆的纵向稳态响应 lx0)(tP4.2 杆的纵向振动杆的纵向振动解：解：一端固定，一端自由一端固定，一端自由 边界条件：边界条件：固有频率：固有频率：),5,3,1(20 ilaii),5,3,1(2sin)(ilxicxii模态函数：模态函数：代入归一化条件：代入归一化条件：102 dxSli12)2sin(220 ilicSldxlxicSSlci2),5,3,1(sin2sin)(0 itiPctQii)()()(iitPtQ 模态广义力：模态广义力：第第 i 个正则方程个正则方程：tiPctqtqiiiisin2sin)()(02 正则坐标的稳态响应正则坐标的稳态响应：tiPctqiiisin2sin1)(022 杆的稳态强迫振动杆的稳态强迫振动：)()(),(5,3,1tqxtxuiii 当外部力频率等于杆的任一阶固有频率时都会发生共振现象当外部力频率等于杆的任一阶固有频率时都会发生共振现象 lx0)(tPlxiisltPii2sin2sin1sin23,1220 例：例：有一根有一根 x=0 端为自由、端为自由、x=l 端处为固定的杆，固定端承受端处为固定的杆，固定端承受支撑运动支撑运动tdtugsin)(d为振动的幅值为振动的幅值试求杆的稳态响应。
试求杆的稳态响应lx0)(tug4.2 杆的纵向振动杆的纵向振动解：解：lx0tdtugsin)(方程建立方程建立dxudxxuuug)(22xuSdxdxxFFF微段分析微段分析应变：应变：xuudxudxxuuugg)()(内力：内力：xuuESESFg)(达朗贝尔原理：达朗贝尔原理：FdxxFFtuSdx)(22),(txu杆上距原点杆上距原点 x 处截面在处截面在时刻时刻 t 的纵向位移的纵向位移2222)(xuuEStuSglx0tdtugsin)(令：令：代入方程：代入方程：2222)(xuuEStuSgguuu*guuu*即：即：guSESuuS *tSdsin2设解为：设解为：1*)()(iiitqxu)(xi为归一化的正则模态为归一化的正则模态,.5,3,1,2cos2)(ixlilxi代入方程，得：代入方程，得：tSdESSiiiiisin)(2,.5,3,1 4.2 杆的纵向振动杆的纵向振动lx0tdtugsin)(2222)(xuuEStuSgguuu*1*)()(iiitqxu,.5,3,1,2cos2)(ixlilxitSdESSiiiiisin)(2,.5,3,1 )(xj用用乘上式，并沿杆长积分：乘上式，并沿杆长积分：ljiljiiljiidxtSddxESqdxSq0210 0sin)(利用正交性：利用正交性：tdilliiiisin)1(2222/)1(2 4.2 杆的纵向振动杆的纵向振动连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动lx0tdtugsin)(2222)(xuuEStuSgguuu*1*)()(iiitqxu,.5,3,1,2cos2)(ixlilxitdilliiiisin)1(2222/)1(2 模态稳态解：模态稳态解：tdillqiiiisin)1(222/)1(222)/(11iitlxidiEluiiisin2cos)1(16,.5,3,132/)1(322*lx0tdtugsin)(2222)(xuuEStuSgguuu*2)/(11iitlxidiEluiiisin2cos)1(16,.5,3,132/)1(322*tdlxiiEluuuiiigsin2cos)1(161 ,.5,3,12/)1(3322*4.2 杆的纵向振动杆的纵向振动小结小结1.建立动力学方程建立动力学方程2.根据边界条件求解固有频率和模态根据边界条件求解固有频率和模态3.变量分离变量分离4.代入动力学方程，并利用正交性条件代入动力学方程，并利用正交性条件得到模态空间方程得到模态空间方程5.物理空间初始条件转到模态空间物理空间初始条件转到模态空间6.模态空间方程求解模态空间方程求解7.返回物理空间，得解返回物理空间，得解)()(),(1tqxtxuiii)(2tQjjjj )(,xii)0(),0(jj)(tqj)()(),(1tqxtxuiii物理空间问题物理空间问题模态空间问题模态空间问题)()(),(1tqxtxuiii4.2 杆的纵向振动杆的纵向振动作业：p228:4-1;4-54.3圆轴的扭转振动 取圆轴的轴心线作为取圆轴的轴心线作为x 轴，图轴，图示轴任一轴任一 x截面处的转角表示为截面处的转角表示为(x,t)。
设轴长为设轴长为l ，单位体积的质量为单位体积的质量为，圆截面对其中心的极惯性矩为圆截面对其中心的极惯性矩为Jp，材料的剪切弹性模量为材料的剪切弹性模量为 G 轴的扭转应变为轴的扭转应变为 ，作用于微元，作用于微元dx 两截面上的扭矩分别为两截面上的扭矩分别为 ，及，及 假设轴的横截面在扭转振动中仍保持为平面作整体转动假设轴的横截面在扭转振动中仍保持为平面作整体转动xpGJx22()pGJdxxx4.3圆轴的扭转振动(,)(,)px tM x tGJxMMMdxMdxxxpGJx杆的扭转振动，抗扭刚度 截面处的扭转角(,)x t由材料力学知识dx微元段扭矩的增量为 22(,)(,)ppx tMx tJ dxdxGJdxtxxx2PAJr dA极惯性矩：圆截面极惯性矩：4J32Pd2221(2PPPIr dmdx r dAdxJImR圆截面):密度的转动惯量）2222(,)(,)ppx tx tJGJtx得：Gc设22222(,)(,)x tx tctx 则有：c:表示剪切波在杆内的传播速度(,)(sincos)sin()nnnx tAxBxtcc(,)(sincos)sin()jjjjjjjx tAxBxtcc1,2j 它的解为式中四个待定常数,nA B及 由系统的边界条件和初始条件确定。
一般解为：1(,)(sincos)sin()jjjjjjjx tAxBxcc(,)(sincos)sin()nnnx tAxBxtcc解：(0,)0t(,)(,)|px lx tM l tGIx 边界条件：对于圆盘的运动微分方程：22(,)(,)|pxlpxlx tx tIGJtx 例-3：上端固定，下端装有转动惯量为 的圆盘，圆轴的极惯性矩为JP，其剪切弹性模量为G，试分析其扭转振动的频率方程PIJPIPJJ(,)sinsin()nnx tAxtc2sinsin()cossin()|nnnpnnpnx lIxtGJ Axtccc 2sincosnnnpnpllIGJccc由于边界条件得：B=0简化得：tanpnnpJ lllccI得：频率方程代入得：tan,pnPlJlcI的物理意义为轴的转动惯量与圆盘转动惯量之比的物理意义为轴的转动惯量与圆盘转动惯量之比设其中(a）。