数列求和的基本方法和技巧(配以相应的练习)之巴公井开创作时间:二O二一年七月二十九日一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法,等比数列的求和方法 是错位相减法,三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法.一、利用经常使用求和公式求和利用下列经常使用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式： Snn(a F a ) n(n - 1)= i n = na + d2 i 22、等比数列求和公式：sna (q = 1)=< a (1 - qn) a - a q z 八 = —— (q 丰 1) 1-qS 二工k2 二-n(n + l)(2n +1) n6k=1［例1］已知X = 1，求 X + X2 + X3 F F Xn F 的前n项和.2解：由等比数列求和公式得3、S = X k = —n(n +1) n2k=14、S = X + X2 + x3 H F xnn利用经常使用公式)1（1 一丄）2n—x（1 一 xn） — 2 2 n — 1 — 1l—x 1—12n （n + 32） Sn+1［例2］设Sn = l+2+3+・・・+n,nWN*，求f⑺—―S— 的最年夜值.解：由等差数列求和公式得s — 2 .(.+1),S — (n + 1)(n + 2) (利用经常使用公式) n2•I f （n）—鼎矿n+1n2 + 34n + 641“ 64n + 34 + -n11< -2）2 + 50 50n，即 n—8 时,f （n）——max 50二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这 种方法主要用于求数列｛an・bn｝的前n项和，其中｛ an ｝、｛ bn ｝ 分别是等差数列和等比数列.[ 例 3]S — 1 + 3 x + 5 x2 + 7 x3 + ••• + （2n — 1） xn t n解：由题可知，｛(2n-1)xn—1｝的通项是等差数列｛2n—1｝的通项与.②(设等比数列｛ xn一 1 ｝的通项之积xS — 1x + 3 x 2 + 5 x 3 + 7 x 4 + + （2n 一 1） xnn制错位）①－②得 （1 一 x）S — 1 + 2x + 2x2 + 2x3 + 2x4 + ••• + 2xn一1 一 （2n 一 1）xnn（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：1 — X n—1(1 — x) S = 1 + 2 x ・ 一 (2n — 1) xnn 1 — x(2n — 1) xn+1 — (2n +1) xn + (1 + x) • • S =n(1 — x)2［例4］求数列…岂.••前n项的和.2‘22‘23’ ‘2 n'解：由题可知，｛丝｝的通项是等差数列｛2n｝的通项与等比数列 2n｛丄｝的通项之积2 n设 S =2 + 4 + A+•••+竺 n 2 22 23 2 n1 2 4 6 2nS = + + + • • • +2 n 22 23 24(设制错位)2 n+1练习题1①—②得(1—2) s・•・S = 4 —出n 2 n—1=2+? + A+? + •••+?—互(错位相减)2 22 23 242 n 2 n+1已知叫二鬥毗心，求数列｛an｝的前n项和Sn.谜底：» =金r-W-W-…沪=mr-z1 3 5 2/z -1练习题’严''的前n项和为.谜底:二、逆序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以获得n个(a + a )-1 n［例5］求证： Co + 3C1 + 5C 2 + + (2n + 1)Cn = (n +1)2 nn n n n证 明： 设S 二 C0 + 3C1 + 5C2 +••• + (2n + 1)C” •• ①n n n n n把①式右边倒转过来得S 二(2n + 1)Cn + (2n- 1)Cn-1 +••• + 3C1 + Co (反序)n n n n n又由Cm二Cn-m可得n nS 二(2n + 1)Co + (2n — 1)C 1 + …+ 3Cn-1 + Cn … ②n n n n n①+②得 2S = (2n + 2)(C0 + C1 + + Cn-1 + Cn) = 2(n +1) - 2n (反序n n n n n相加)• • S 二(n +1) - 2 nny (兀)= —题1已知函数 八罷(1) 证明：/⑴十了(1・)二1；(2) 求11Q丿11Q丿 11Q丿llQ丿的值.解:(1)先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边二右边(2)利用第(1)小题已经证明的结论可知，两式相加得:2S = 9x1 110丿110丿丿 所以—㊁.四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列,若将这类数列 适当拆开，可分为几个等差、等比或罕见的数列，然后分别求和，再 将其合并即可.［例7］求数列的前n项和：1 +1,1 + 4,丄+ 7,…，丄+ 3n-2，…a a 2 an-1解：设 S = (1 +1) + (- + 4) + (丄 + 7) + ••• + (」+ 3n - 2)n a a 2 an-i将其每一项拆开再重新组合得S = (1 + - + 丄 + ••• +丄)+ (1 + 4 + 7 + ••• + 3n - 2) n a a 2 a n -1当 a= 1 时，S = n + (3n —1)n = (3n + 1)nn 2 2分组)(分组求和)an(3n - 1)n= a 一 a1-n (3n 一 1) na — 1 2［例8］求数列｛n(n+l)(2n+l)｝的前n项和.解：设a 二 k(k + l)(2k +1)二 2k 3 + 3k 2 + kk•: S 二工k(k + 1)(2k +1)=工 (2k3+3k2 +k) nk =1 k=1将其每一项拆开再重新组合得Sn= 2工k3 + 3工k2 +工k (分组)k =1 k =1 k =1=2(13 + 23 +••• + n 3) + 3(12 + 22 +••• + n 2) + (1 + 2 + ••• + n)=n 2(n +1)2 + n(n + 1)(2n +1) + n(n +1)(分组求和) 2 2 2-——n(n + 1)2(n + 2)2五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 . 裂项法的实 质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些 项,最终到达求和的目的. 通项分解(裂项)如：l) a = f(n+1)- f(n)n2)=tan(n +1)。
tan n cos ncos(n +1)3)1 1 1a = =— n n(n +1) n n +14)(2n)2(2n — l)(2n +1)二 1 + 丄(-^_2 2n — 112n +15)1 1 1 1=—[ —n(n—1)(n+ 2) 2 n(n+1) (n +1)(n+ 2)(6)n+22(n +1)— nn(n +1)2nn(n +1)2n(n +1)2n(n +1)2n7)(An + B)(An + C) C — B An + B An + C8)1<'n + \jn +1=、jn +1 — \n[例9]求数列1 一, 1 ，…，—1 ，…的前n项和.解：设a1 + 弋2 2 + y 3 -yjn + 弋n +1, ，- =Jn +1 —4n (裂项)vn + ■< n +1裂项求和)1 ;—+ — + •• • + — , -1 + \： 2 .2 + 3 n + \ n +1=(迈—近)+ G/3 -迈)+ ••• + ^n + 1 -話)［例10］在数列｛an｝中,=丄+丄+•••+丄，又bn n +1 n +1n+1,求a - an n +1数列｛bn｝的前n项的和.解：2n+ +••• +n+1 n +1 n +1•・ b =— nn=8(丄-n n +1)(裂项)・•・数列｛bn｝的前n项和1 —丄)](裂项求和)n n +1=8(1 - -1-) = £n +1 n+12009年广东文)20.(本小题满分14分)已知点(1,1)是函数f (x) - ax(a > 0,且a主1)的图象上一点，等3比数列｛a ｝的前n项和为f (-)— c,数列｛b ｝ (b > 0)的首项为C,且前n - - -项和S 满足S — S = .■— + f — (n> 2).(1)求数列｛a ｝和｛b ｝的通项公式；--⑵若数列｛治前n项和为t-，问t- >霧的最小正整数n是几n n +1多?0.【解析】(1)f (1)= a 二1- ,「.f (x) = ^3a - f (1)-c = - c，a =1 3 2a - [ f(3)-c [ f(2)-c:f(2 )-c ]-[ f(1)-c :2,——，92— 27又数列｛a ｝成等比数列na2,a = —2-1a3481~22327又公比q-穿，所以a” 312 (1 )n-113丿又 b > 0，吕 > 0,:.再-^S~- H - * - ' --1数列(町｝构成一个首相为1公差为1的等差数列，詁S-1+(--1)x1S - - 2 -当->2， b -S -S --2-(--1)2-2--1- - - -1:b - 2--1(-g N*)；-(2) T -丄 + 丄 + — n bb bb bb1 2 2 3 3 41111 1— + + + +bb 1x 3 3 x 5 5 x 7 (2- -1) x(2n +1)n n +11匚1)1r 11 ]1r 11 ]1r 11 ]1匚 1 )n+ 一+ 一+・・・+ —1 — — 92(3丿2:35丿2:57丿2j 2n — 12n +1 丿2j 2n +1 丿2n +1由T =亠> 1000得n > 1000,满足T > 1000的最小正整数为112. n 2n +1 2009 9 n 20091 1 1练习题1.芮+而I" O-2^0 + 1)=羽十1 .Ill 1 十 ——+ 十…十 练习题2. =If 1 1 1 1 ]——+ —— — 谜底：2,2 3用+ 2程+ 3丿求数列通项公式的经常使用方法(1) 求差(商)法[练习]数列｛a ｝满足S + S = 5a , a = 4，求an n n+1 3 n+1 1 n注意到a二S -S ,代入得Sn+i二4 ；又S二4，•: ｛S ｝是等比数 n+1 n+1 n S 1 nn列, S 二 4nnn > 2 时,a = S — S = = 3*4n-1n n n—1(2) 叠乘法如：数列｛a ｝中，a二3,知二丄，求an 1 a n +1 nna 1 2n— — •—a 2 3n—1n — 1 • a 1 3n — a — 3, • • a — •n a n 1 n n1(3) 等差型递推公式由a — a — f (n), a — a，求a，用迭加法n n —1 1 0 na 一 a = f (2)2 1n > 2 时，^一a2 = f ⑶俩边相加得a -a = f (2) + f (3) + ……+ f (n)…… …… n 1a 一 a = f (n)n n 一1・•・ a = a + f ⑵ + f (3) + ……+ f (n)n0n-1［练习］数列｛a ｝中，a = 1, a = 3n—1 + a (n > 2)，求 an已知数列｛ ｝满足a = 1,n 1 2a = an+1解：由条件知：a - a = =n+1 n n2 + n n(n +1) n n +1分别令n = 1,2,3,……,(n-1)，代入上式得(n — 1)个等式累加之，即 所以a 一a = 1 —1n 1 n1， 1 1 3 1a = a = +1 一 一=— 一 一1 2 n 2 n 2 n(4) 等比型递推公式a = ca + d ( c、 d为常数，c丰0, c丰1，d丰0)n n 一1可转化为等比数列，设a + x = c (a + xn n 一1 n n 一1令(c - 1)x = d，・x =丄，・I a +—口是首项为a + —, c为公比的等 c — 1 ［ » c — 1J 1 c — 1比数列・dd )•d )d• • a + =a+ • cn—1，…a =a+ cn—1 n c — 1I 1c -1丿nI 1c -1丿c — 15)倒数法如： a = 1,a1 n +12a ，求 n aa + 2 nn由已知得：1 a +2 1 1 ，a 2 a 2 an+1 n n11a a 2n+1 n・J丄!为等差数列，丄二1，公差为1 ,・••丄二1 + (n — 1)-1二1 (n +1),I a I a 2 a 2 2n 1 n•2• • a = n n +1时间:二O二一年七月二十九日。