2022年高三校际联合检测（二模）数学（理）试题 含答案xx．05 本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共5页满分150分考试时间120分钟考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上 2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号 3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 参考公式：(S是柱体的底面积，h是柱体的高)；(R是球的半径)如果事件A在一次试验中发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为第I卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)若复数z满足(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数的模为(A)0 (B)1 (C) (D)2(2) 若集合，集合，则“x∈A”是“x∈B”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(3)设随机变量服从正态分布(A) (B) (C) (D) (4) 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为10，则判断框中应填入的条件是(A) (B) (C) (D) (5)把函数图象向左平移个单位后所得图象与y轴距离最近的对称轴方程为(A) (B) (C) (D) (6)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A） (B) (C) (D) (7) 函数 (其中e为自然对数的底数)的大致图象为(8) 三内角A，B，C的对边分别为，则的值为(A) (B) (C) (D) (9)已知直线与圆交于不同的两点A，B，O为坐标原点，且有，则k的取值范围是(A) (B) (C) (D) (10) 如图，已知双曲线的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，若,则双曲线C的离心率为(A) (B) (C) (D) 第II卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．(11)将某班参加社会实践的48名学生编号为：l，2，3，…，48，采用系统抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是____________．(12)不等式的解集为_________．(13) 设不等式组表示的平面区域为M，若直线上存在区域M内的点，则实数k的取值范围是___________．(14) 已知函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是__________.(15)设集合，则集合A中满足条件：“”的元素个数为__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．(16)(本小题满分12分)已知函数的一个零点是．(I)求函数的最小正周期；(II)令，求此时的最大值和最小值．(17)(本小题满分12分)如图，已知平面OBC与直线PA均垂直于已知函数所在的平面，且．(I)求证：平面QBC；(II)若平面QBC，求二面角的余弦值．(18)(本小题满分12分)某公司做了用户对其产品满意度的问卷调查，随机抽取了20名用户(其中有7名男性用户和13名女性用户)的评分，得到如图所示茎叶图．对不低于75的评分，认为用户对产品满意，否则，认为不满意．已知对产品满意用户中男性有4名．(I)以此“满意”的频率作为概率，求在3人中恰有2人满意的概率；(II)从以上男性用户中随机抽取2人，女性用户中随机抽取1人，其中满意的人数为，求的分布列与数学期望．(19)(本小题满分12分)设是函数图象上任意两点，M为线段AB的中点，已知点M的横坐标为．若，且．(I)求；(II)已知其中为数列的前n项和，若对一切n∈N*都成立，试求实数的取值范围．(20)(本小题满分13分)已知函数.(I)设函数，求函数的单调递增区间；(II)当时，设函数；①若恒成立，求实数a的取值范围；②证明：(为自然对数的底数)．(21)(本小题满分14分)已知椭圆左右两个焦点分别为为椭圆上一点，过且与x轴垂直的直线与椭圆Cl相交所得弦长为3．抛物线C2的顶点是椭圆C1的中心，焦点与椭圆C1的右焦点重合．(I)求椭圆C1和抛物线C2的方程：(II)过抛物线C2上一点P(异于原点O)作抛物线切线l交椭圆C1于A，B两点．求面积的最大值；(III)过椭圆C1右焦点F2的直线与椭圆相交于C，D两点，过R且平行于CD的直线交椭圆于另一点Q，问是否存在直线，使得四边形RQDC的对角线互相平分?若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．xx年高三模拟考试理科数学参考答案 xx.05一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.CBDAB, BCBAB（1）解析：答案C,=，.（2）解析：答案B,集合，集合，则⊊，即“”是“”的必要不充分条件，(3)解析：答案D.据正态曲线可以有.（4） 解析：答案A.=1，，第一次，第二次，第三次，第四次，第五次，所以≥－3.（5）解析：答案B.函数所对应的图象向左平移后，即，对称轴方程为，.（6）答案B．解析：几何体是由直径为2的半球，和底面直径为2高为2的半圆柱（被轴截面一分为二）构成，所以体积．（7）答案C．解析：函数是偶函数，在是减函数，故可排除B、D、A选项．（8）答案B．解析：，．（9）答案A．解析：由已知得圆心到直线的距离小于半径，即，由得，----①如图，又由，得，因,所以,故，----② 综①②得.（10）答案B．解析：因为且，所以为等边三角形.设则，渐近线方程为则点到的距离.........①在中，，可得........②由①②结合，可得.故选B.第Ⅱ卷（共100分）二、 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. （11）答案．（12）答案［-,］，（13）答案．(14)答案.(15)答案18．（11）答案．解析：系统抽样也叫等距抽样，因共人，抽取样本容量为，所以抽样距为，所以这个样本编号由小到大是以为公差的等差数列，故样本中另一名学生的编号为.（12）答案［-,］.解析：时，，得；时，，得；时，，得；答案［-,］.（13）答案．解析：据题意画出平面区域，如图.直线过点,要使得直线上存在区域内的点，只需要即.（14）答案.解：由已知得…………………………①，所以又因为为奇函数，偶函数，故……………………②①②联立解得.代入不等式得：在上恒成立.令，则.则原不等式可化为恒成立显然当时，右式取得最大值为，.（15）答案18． 解析：对于2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5分以下几种情况：①|m1|+|m2|+|m3|=2，即此时集合A的元素含有一个2，或﹣2，两个0，2或﹣2从三个位置选一个有3种选法，剩下的位置都填0，这种情况有3×2=6种；②|m1|+|m2|+|m3|=4，即此时集合A含有两个2，或﹣2，一个0；或者一个2，一个﹣2，一个0；当是两个2或﹣2，一个0时，从三个位置任选一个填0，剩下的两个位置都填2或﹣2，这种情况有3×2=6种；当是一个2，一个﹣2，一个0时，对这三个数全排列即得到3×2×1=6种；∴集合A 中满足条件“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素个数为6+6+6=18．三、解答题：本大题共6小题，共75分. （16）解：（Ⅰ）， ………………………………3分由已知，即，解得． ………………………………4分所以． 所以函数的最小正周期． ………………………………7分（Ⅱ），，所以在上是增函数， ………………………………10分当时，；当时，．………………………………12分(17) (Ⅰ)证明：过点作于点，平面与平面交线为，平面平面， 平面，又平面，，又平面， 平面，平面 ………………5分（Ⅱ）解法一： 平面，，又，，，，． 点 是的中点，连接，则，平面平面，平面，，，又四边形是矩形．. 分别以，，为轴建立空间直角坐标系．不妨设，则，，，设平面的法向量为 ， 则, ，可求平面的一个法向量.又平面的法向量为，，因为二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为 ……………………………12分解法二： 平面，，又，，，，． 点 是的中点，连接，则，平面平面，平面，，，又四边形是矩形．设.过作于点 取的中点 连接取的中点连接 为二面角的平面角.连接 则又 所以二面角的余弦值为……………………………12分(18)解：（Ⅰ）由频率估计“满意”的概率为， ∴在3人中恰有2人满意的概率为；【或】.………5分（Ⅱ）的可能取值为0、1、2、3， ， ，， ，………………10分0123P的分布列为 数学期望 …………………………12分（19）解：（Ⅰ）∵是AB的中点．设点的坐标为（x，y）， 由得, 且，又且， 两式相加，得 ＝ ，∴． ……………………………6分（Ⅱ）当时，由，得.当时， = ＝（ 由，得,∴ ∵，当且仅当时等号成立，∴因此.综上λ的取值范围是. ……………………………12分(20)解：（I），.， 令，当时，解得；当时，解得， 所以时函数的单调递增区间是； 时函数的单调递增区间是. ...................4分（II）⑴因为，，由题意得， 因为，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增； .由得，则实数的取值范围是（分离参数法亦可）.......9分⑵由⑴知时，在上恒成立，当时等号成立，，令，累加可得 ,, 即. ...... ...................13分(21)解析：(Ⅰ)由已知得，∵轴，∴,由椭圆的定义得：，又，第21题图 O∵，∴，∴，，，∴所求椭圆，抛物线.……………………………4分(Ⅱ)设，显然切线的斜率存在，设切线的方程为，即.由，消去得，由，得.从而切线的方程为.由，得，令，得.知，==原点到切线的距离为，所以=.令，，.则有=，令，因为，所以在区间（4,16）上为增函数，得.从而，当时，=由，得，有，故当时，面积有最大值. ……………………………10分（Ⅲ）解法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立.设得，，，直线的方程为.与椭圆方程联立，设，若四边形的对角线互相平分，则四边形是平行四边形，与的中点重合，所以即，所以所以=，得.解法二：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立.设得，，，=，直线的方程为.与椭圆方程联立，设，，=，若四边形的对角线互相平分，则四边形是平行四边形，所以=，=，解得. ……………………………14分。
