设设 f(x)在区间在区间a,b上连续，则对于任意的上连续，则对于任意的x()，积分，积分 存在，存在，axb()dxaf xx axb()dxaf xx注意：积分上限注意：积分上限x与被积表达式与被积表达式f(x)dx中的积分变量中的积分变量x是是两个不同的概念，在求积时两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中或说积分过程中)上限上限x是是固定不变的，而积分变量固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间变化的是在下限与上限之间变化的()d.xaf tt2-9 2-9 变上限定积分变上限定积分，因此常记为，因此常记为是上限是上限x的函数的函数.()d()().baf xxf cba定理定理(积分中值定理积分中值定理)若函数若函数 f(x)在闭区间在闭区间 a,b 上上 连续，则在连续，则在 a,b 内至少存在一个点内至少存在一个点c，使得，使得证证则最小值.m和上有最大值上连续，它在在因为M,)(babaxf.,)(baxMxfm,)(bababaMdxdxxfmdx),()()(abMdxxfabmba.)(Mabdxxfmba使得理，存在再由连续函数的介值定,bac,)()(abdxxfcfba ()d()().baf xxf cba即即前页前页结束结束后页后页几何意义：几何意义：在在 上至少存在一点上至少存在一点 ,使得曲边梯形的面积等于同使得曲边梯形的面积等于同一底边而高为一底边而高为 的矩形的的矩形的面积面积.,a b()f ab 前页前页结束结束后页后页oxbay)(xfy 说明说明:.都成立或baba 可把)(d)(cfabxxfba.,)(上的平均值在理解为baxf故它是有限个数的平均值概念的推广.c 积分中值定理对abxxfbad)(因nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn00 ,()()d (),()(),xafa bF xf ttaxba ba bF xf xxa b设 在上连续，则其变上限积分的积分 是上的连续函数,且在内可导，且 ,.定理定理20d()()d(),.dxaFxf ttf xxa bx即 证证,(,),00baxxxbax及由积分中值定理，有)()(F000 xFx xaax0f(t)dtf(t)dtxx0f(t)dtxaf(t)dt0 xaf(t)dt)(0 xxcf,0前页前页结束结束后页后页).000 xcxxx时（其中当由此推出)(lim000 xFxx).(00 xF.)(00处右连续在以上证明了xxF上的任意一点，是由于),0bax.),)F0中每一点都右连续在（也即证明了bax),(00baxxxbax及同理可证)(lim000 xFxx),(00 xF.,)F0中每一点都左连续在（即bax上右连续的结论，在),ba)F0 x（再结合刚才所得.,)F0上连续在（于是证明了bax存在一点则由积分中值定理可知及设),(),(x0baxba之间，且有与在0 xxc前页前页结束结束后页后页)()(F000 xFx xx0f(t)dt)(0 xxcf由此推出由此推出),()()(0000cfxxxFxF时的连续性可知于是由函数时当000,xxfxcxx),()(0 xfcf因而因而).()()(lim000000 xfxxxFxFxx).(|)(000 xfdxxdFxx即得到换成上任意一点，故将上式为因xxbax00),().()(0 xfdxxdF即证毕证毕.由上述结论可知：尽管不定积分与定积分概念的引入由上述结论可知：尽管不定积分与定积分概念的引入完全不同，但彼此有着密切的联系，因此我们可以完全不同，但彼此有着密切的联系，因此我们可以通通过求原函数来计算定积分过求原函数来计算定积分.(),()()d(),.xaf xa b xf ttf xa b如果函数在区间 上连续，则是在上的一个原函数定理定理2也称作也称作原函数存在定理原函数存在定理前页前页结束结束后页后页dttexFxt1205sin)(例例 1 设？求)(xF解解,12 xy令则则dttexFxt1205sin)(dtteygyt05sin)(由由12xy和和复合而成的复合函数复合而成的复合函数.yyGxF)()(25sinyey).12(5sin212xex,)(baCxf若)()(xbbxdttfdttf则则).()(xfdttfdxdxb前页前页结束结束后页后页例例 2 设设dttxFxx21)().(xF求解解dttxFxx21)(dttx01dttx021)(xF)1(0dttx)1(02dttxx 1)(122xxx 1.122xx前页前页结束结束后页后页说明说明:1)定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.2)变限积分求导:bxttfxd)(dd)(xf)(d)(ddxattfx)()(xxf同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.)()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx前页前页结束结束后页后页 若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！。