专题 41 根据正方形的性质与判定求角度 一、单选题1．如图，在正方体的两个面上画了两条对角线 AB 、 AC ，则 ÐBAC 等于（ ）A．135° B．90° C．75° D．60°2．如图，点 E 为正方形ABCD内一点， AD =ED ，ÐAED =70°，连结 EC ，那么 ÐAEC 的度数是( )A．105°B．130°C．135°D．140°3．如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、CD 上的点，且 CE=CF ，点 P、Q 分别是 AF、EF 的中点， 连接 PD、PQ、DQ，则、PQD 的形状是（ ）A．等腰三角形C．等腰非直角三角形B．直角三角形D．等腰直角三角形4．如图，在正方形 ABCD 中，以对角线 BD 为边作菱形 BDFE，连接 BF，则、AFB＝（ ）A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定5．（2013 台州）如图，四边形 ABCD、AEFG 均为正方形，其中 E 在 BC 上，且 B、E 两点不重合，并连接 BG．根据图中标示的角判断下列、1、、2、、3、、4 的大小关系正确的是（ ）A．、1＜、2B．、1＞、2C．、3＜、4D．、3＞、46．如图，在菱形 ABCD 中，AB=AC=1，点 E、F 分别为边 AB、BC 上的点，且 AE=BF，连接 CE、AF 交于点 H，连接 DH 交 AC 于点 O，则下列结论：、、ABF、、CAE；、、FHC=、B；、、ADO、、ACH；、S菱形ABCD= 3；其中正确的结论个数是（ ）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个7．如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 AD 边的中点，BD、CE 交于点 H，BE、AH 交于点 G，则下列结论： 、AG、BE；、BE:BC= 5 :2；、S =S ；、、AHB=、EHD．其中正确的个数是、BHE 、CHDA．1 B．2 C．3 D．48．如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点(点 P 不与点 B、D 重合)，PE、BC 于点 E，PF、CD 于点F，连接 EF 给出下列五个结论：、AP＝EF；、AP、EF；、仅有当、DAP＝45°或 67.5°时，、APD 是等腰三角形；、、PFE＝、BAP：、22PD ＝EC．其中有正确有( )个．A．2 B．3 C．4 D．59．如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 上，、AEF 是等边三角形连接 AC 交 EF 于 G，下列结 论: 、BE＝DF，、、DAF＝15°，、AC、EF，、BE+DF＝EF，、EC＝FG、其中正确结论有( )个A．2B．3 C．4 D．5二、填空题10．如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 BA 的延长线上，连接 AC，AC＝AE，CE 交 AD 于点 F，则、ACE 的 度数等于_____．11．如图，正方形 ABCD 中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE =CF ，若 则 ÐBEC =____________ °、ÐEFD =19°，12．如图，点 P 是正方形 ABCD 内的一点，且 PA=1，PB=PD=2，则、APB 的度数为_______．13．如图，P 是正方形 ABCD 内一点，且 PA＝PD，PB＝PC．若、PBC＝60°，则、PAD＝_____．14．如图，在正方形 ABCD 中，以 BC 为边在正方形外部作等边三角形 BCE，连结 DE,则、CDE 的度数为 ______°.15．如图，四边形 ABCD 中 AD =AB ，ÐDAB =ÐBCD =90°．则∠ACB =______ ．16．如图，正方形OABC的面积为 50，对角线OB 在直线 y =2 x上，则点C的坐标是_________.= 17．如图，点 E 为正方形 ABCD 边 CB 延长线上一点，点 F 为 AB 上一点，连接 AE，CF，AC，若 BE=BF， 、E=70°，则、ACF=_____．18．如图，正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 的延长线上，AE 平分、DAC，则下列结论：（1）、E＝22.5°；（2）、AFC＝112.5°；（3）、ACE＝135°；（4）AC＝CE；（5）AD：CE＝1： 2 确的有_____（填写序号）；其中正19．如图，在矩形 ABCD 中，、DAC=65°，点 E 是 CD 上一点，BE 交 AC 于点 F，将、BCE 沿 BE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 C′处，则、AFC′=_______．20．如图，P 为正方形 ABCD 内一点，PA：PB：PC=1：2：3，则、APB=_____________ .21．如图，在正方形 ABCD 中，边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶点 E、F 分别在 BC 和 CD 上，下列结论：、CE=CF；、、AEB=75° ；、BE+DF=EF；、S正方ABCD形2 3 ．其中正确的序号是_____（把你认为正确的都填上）．22．如图，在Rt ABC中，ÐABC =90°，AB =3cm，BC =4cm， AD 和CD分别是其外角 ÐCAG和ÐACF的角平分线，延长 DA 和 CB 相交于点 E ，则 ÐD =_____度， BE =_____cm．三、解答题23．如图是由边长为 1 的 10×14 的正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．（1）如图 1，、 ABC 的顶点在格点上，完成下列问题：、用无刻度直尺画出在格点上点 D，使 CD、AC 且 CD=AC；、直接写出、 ACD 的面积是 ，AC 长 ；（2）如图 2，、 MNP 的顶点在格点上，用无刻度直尺画出在射线 MP 上的格点 Q， 使、PNQ=45°．24．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，分别延长 OA，OC 到点 E，F，使 AE＝CF，依次连 接 B，F，D，E 各点．（1）求证：四边形 BFDE 为菱形；（2）若、ABC＝60°，则当、EBA＝°时，四边形 BFDE 是正方形．25．如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 上的任意一点(不与点 A，B 重合)，连接 DE，作点 A 关于直线 DE 的对称点为 F，连接 EF 并延长交 BC 于点 G．（1）依题意补全图形，连接 DG，求、EDG 的度数；（2）过点 E 作 EH、DE 交 DG 的延长线于点 H，连接 BH．线段 BH 与 AE 有怎样的数量关系，请写出结论 并证明．26．综合与实践问题情境：如图 1，在正方形ABCD中，点 E是对角线AC上的一点，点 F 在BC的延长线上，且BE =EF ，EF 交 CD 于点 G ．问题解决：（1）求证： DE =EF ； （2）求 ÐDEF 的度数； 探索发现：（3）如图 2，若点 F 在边BC上，且 BE =EF ，求 ÐDEF 的度数．27．如图，E、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足 AE=DF．连接 CF 交 BD 于 G，连接 BE 交 AG 于 H．已知正方形 ABCD 的边长为 4cm，解决下列问题：（1）求证：BE、AG；（2）求线段 DH 的长度的最小值．28．如图，、ABC 中，点 O 是边 AC 上一个动点，过 O 作直线 MN、BC，设 MN 交、ACB 的平分线于点 E，交、ACB 的外角平分线于点 F．（1）求证：OE＝OF；（2）当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时，四边形 AECF 是矩形？并说明理由．（3）若 AC 边上存在点 O，使四边形 AECF 是正方形，猜想、ABC 的形状并证明你的结论．29．如图，在正方形 ABCD 中，点 P 是 AD 边上的一个动点，连接 PB，过点 B 作一条射线与边 DC 的延长 线交于点 Q，使得、QBE＝、PBC，其中 E 是边 AB 延长线上的点，连接 PQ．(1)求证：、PBQ 是等腰直角三角形；(2)若 PQ2＝PB2+PD2+1，求、PAB 的面积．5 30．如图，在正方形 ABCD 纸片上有一点 P，PA=1，PD=2，PC=3，现将、PCD 剪下，并将它拼到如图所示 位置（C 与 A 重合，P 与 G 重合，D 与 D 重合），求、APD 的度数．31．如图 1，点 O 为正方形 ABCD 的中心，E 为 AB 边上一点，F 为 BC 边上一点，、EBF 的周长等于 BC 的 长.、1、求、EOF 的度数.、2、连接 OA 、OC（如图 2、.求证：、AOE、、CFO.AE、3、若 OE= OF，求 的值.2 CF32．如图，已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O、E 是 AC 上一点，过点 A 作 AG、EB，垂足为 G、AG 交 BD 于 F，则 OE=OF、、1、请证明 OE=OF、2）解答（1）题后，某同学产生了如下猜测：对上述命题，若点 E 在 AC 的延长线上，AG、EB、AG 交 EB的延长线于 G、AG 的延长线交 DB 的延长线于点 F，其他条件不变，则仍有 OE=OF．问：猜测所得结论是 否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．33．如图 1，在正方形 ABCD 中，P 是对角线 BD 上的点，点 E 在 AB 上，且 PA=PE．（1）求证：PC=PE；（2）求、CPE 的度数；（3）如图 2，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD ，其他条件不变，试探究 、CPE 与、ABC 之间的数量关系， 并说明理由．34．如图、，在平面直角坐标系中，AB、x轴于 B、AC、y 轴于 C，点 C(0、m)、A(n、m)，且(m 、4)2、n2、8n、、16，过 C 点作、ECF 分别交线段 AB、OB 于 E、F 两点．(1)求 A 点的坐标；(2)若 OF、BE、AB，求证：CF、CE、(3)如图、，若、ECF、45°，给出两个结论：、OF 、AE、EF 的值不变；、OF、AE、EF 的值不变，其中有且只 有一个结论正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．35．已知正方形 ABCD ， P 为边 AB 上一点 ( P AE ．（1）如图 1，求 ÐEAD 的度数；不与 A 、 B 重合），过 P 作 PE ^CP ，且 CP =PE ，连接（2）如图 2，连接CE交 BD于G，求证：AE +2 DG = 2CD；（3）如图 2，当BC =10， PA =6，则 BG =（直接写出结果）36．阅读下面的例题及点拨，补全解题过程（完成点拨部分的填空），并解决问题：例题：如图 1，在等边 ABC 中， M 是 BC 边上一点（不含端点 B, C ）， N 是 ABC 的外角 ÐACH 的平分线上一点，且 AM =MN .求证： ÐAMN =60°．点拨：如图 2，作ÐCBE =60°， BE 与 NC 的延长线相交于点 E，得等边△BEC，连结 EM ，易证△ABM ≌△EBM （_______），可得 AM =EM ， Ð1 =Ð2 ；又 AM =MN ，则 EM =MN 由 Ð3 +Ð1=Ð4 +Ð5 =60°，可得 Ð ____ =Ð_____；，进一步可得 Ð1 =Ð2 =Ð______；又因为 Ð2 +Ð6 =120°，所以 Ð5 +Ð6 =120°，所以 ÐAMN =60°．问题：如图 3，四边形 ABCD 的四条边都相等，四个角都等于 90°，M 是 BC 边上一点（不含端点 B, C ）， N 是四边形 ABCD 的外角 ÐDCH 的平分线上一点，且 AM =MN ．求 ÐAMN的度数．37．如图， BF 平行于正方形 ABCD 的对角线 AC ，点 E 在 BF 上，且AE =AC、CFAE ，求ÐBCF的度数.38．如图 1，有一组平行线 l 、l 、l 、l ，正方形 ABCD 的四个顶点分别在 l 、l 、l 、l 上，EG 过点 D 且垂直1 2 3 4 1 2 3 4l1于点 E，分别交 l 、l 于点 F、G、EF=DG=1 、DF=2、2 42 、1、AE=__________ ，正方形 ABCD 的边长=__________、、2）如图 2，将、AEG 绕点 A 顺时针旋转得到、AE′D′，旋转角为 α（0°、α、90°），点 D′在直线 l3为边在 E′D′左侧作菱形 AB′C′D′，使 B′、C′分别在直线 l 、l 上．、写出、B′AD′与 α 的数量关系并给出证明；、若 α=30°，直接写出菱形 AB′C′D′的边长为__________、上，以 AD′。