第五节第五节 极限的运算法则极限的运算法则一、无穷小的运算性质一、无穷小的运算性质二、极限的运算法则二、极限的运算法则三、求极限方法举例三、求极限方法举例四、复合函数的极限运算法则四、复合函数的极限运算法则定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍有限个无穷小的代数和仍是无穷小是无穷小.证证,时时的的两两个个无无穷穷小小是是当当及及设设 x使得使得,0,0,021 NN;21 时恒有时恒有当当Nx;22 时恒有时恒有当当Nx,max21NNN 取取恒有恒有时时当当,Nx 22 ,)(0 x一、无穷小的运算性质一、无穷小的运算性质注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，是无穷小，时时例如例如nn1,.11不不是是无无穷穷小小之之和和为为个个但但nn定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证内有界，内有界，在在设函数设函数),(100 xUu.0,0,0101MuxxM 恒有恒有时时使得当使得当则则.0,0,0202Mxx 恒有恒有时时使得当使得当,0时的无穷小时的无穷小是当是当又设又设xx ,min21 取取恒有恒有时时则当则当,00 xx uuMM ,.,0为无穷小为无穷小时时当当 uxx推论推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.xxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例如例如都是无穷小都是无穷小二、极限运算法则二、极限运算法则定理定理3.0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设证证.)(lim,)(limBxgAxf .0,0.)(,)(其中其中BxgAxf由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得)()()(BAxgxf .0.)1(成立成立)()()(BAxgxf ABBA )()(BA.0.)2(成立成立()()f xAg xB 令令BABA )(BBAB.0 AB01()xB B 下下证证在在 的的某某领领域域内内有有界界即即可可。
lim()3g xB 因因为为，所所以以由由第第三三节节定定理理 知知,0 00,().2Bxxg x 当当时时 有有,2BB 即即,21)(2BBB ,2)(12BBB 故故有界，有界，.)3(成立成立推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为常数为常数而而存在存在如果如果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果推论推论2 2定理定理4 nnxy设设有有数数列列,，如如果果lim,lim,nnnnxAxB则有则有(1)lim();nnnxyAB(2)lim();nnnxyA B(3)0(1,2,)0lim.nnnnxAynByB当当且且时时，定理定理5 ()(),lim(),lim(),.xxxaxbab 如如果果而而那那么么三、求极限方法举例三、求极限方法举例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 ,03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 小结小结:则有则有设设,)(.1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则有则有且且设设,0)(,)()()(.20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx)()(00 xQxP).(0 xf.,0)(0则商的法则不能应用则商的法则不能应用若若 xQ解解)32(lim21 xxx,0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又,03 1432lim21 xxxx.030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21)00(型型(消去零因子法消去零因子法)例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再求极限再求极限分出无穷小分出无穷小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)小结小结:为非负整数时有为非负整数时有和和当当nmba,0,000 ,0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子、分母子、分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.练习练习.,2)12(lim2babaxxxx、求求设设 解解1112lim2xxbxaxxx左边121lim2xbxbaxax商的极限存在，必须商的极限存在，必须01 a2ba，解得解得1a3b，.解解221 lim2,.23xxaxbabxx 练练习习设设求求、.,1而而商商的的极极限限存存在在分分母母的的极极限限是是零零时时x.01)(lim21 babaxxx则则)1)(3()1)(1(lim32lim1221 xxxaxxxbaxxxx于是于是.24231lim1 axaxx.7,6 ba故故例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是无限多个无穷小之和是无限多个无穷小之和时时,n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.例例6 6.sinlimxxx 求求解解,1,为无穷小为无穷小时时当当xx.sin 是有界函数是有界函数而而x.0sinlim xxxxxysin 000000000()()()()lim()lim()00()lim()lim().6xxuuxxuuf g xug xyf uf g xg xuf uAxxg xuf g xf uA（复复合合函函数数的的极极限限运运算算法法则则）设设函函数数由由与与复复合合而而成成，在在点点的的某某去去心心邻邻域域内内有有定定义义，若若，且且存存在在，当当时时，有有则则理理，定定0lim()xxf g x0lim()uuf u()ug x 令令00lim()xxug x 意义：意义：证证:0,0,当当00uu 时时,有有()f uA 00lim()xxg xu 0,10,当当010 xx 时时,有有0()g xu 对上述对上述取取 01min,则当则当00 xx 时时0()g xu 0uu 故故0 ()f g xA()f uA,得证。
得证0lim()uuf uA 00,00 xx 要要证证，当当时时，有有()f g xA 例例8.求求解解:方法方法 111lim.1xxx ,xu 则,1lim1ux令11112uuxx1 u 原式)1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1)1)(1(lim1xxxx)1(lim1xx2例例9 9.lim333axaxax 求求解解axaxaxax 3233)()(lim原式原式3233232)(limaaxxaxax 0 323203limauuaxu 令令三、小结三、小结1.极限运算法则极限运算法则(1)无穷小运算法则无穷小运算法则(2)极限四则运算法则极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则注意使用条件注意使用条件Th1Th2Th3Th4Th62.求函数极限的方法求函数极限的方法(1)分式函数极限求法分式函数极限求法0)1xx 时时,用代入法用代入法(要求分母不为要求分母不为 0)0)2xx 时时,对对00型型,约去公因子约去公因子x)3时时,分子分母同除最高次幂分子分母同除最高次幂“抓大头抓大头”(2)复合函数极限求法复合函数极限求法设中间变量设中间变量作业作业P49 1(5)，(7)，(9)，(12)，(14)2(1)，(3)3(1)5思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限，无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 思考题解答思考题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，)()(xgxf)(xf有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：)()()()(xfxgxfxg 必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误._1sinlim520 xxx、._33lim132 xxx、一、填空题一、填空题:._11lim231 xxx、._)112)(11(lim32 xxxx、._5)3)(2)(1(lim43 nnnnn、._coslim6 xxxeex、练练 习习 题题._2324lim72240 xxxxxx、._)12()23()32(lim8503020 xxxx、二、求下列各极限二、求下列各极限:)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、)1311(lim331xxx 、38231lim4xxx 、)(lim5xxxxx 、1412lim6 xxx、2lim71 nmnmxxxxx、一一、1 1、-5 5；2 2、3 3；3 3、2 2；4 4、51；5 5、0 0；6 6、0 0；7 7、21；8 8、30)23(.二二、1 1、2 2；2 2、x2；3 3、-1 1；4 4、-2 2；5 5、21；6 6、0 0；7 7、nmnm .练习题答案练习题答案。