与球有关的切、接问题1．球的表面积公式： S＝ 4πR2；球的体积公式 V＝43πR32．与球有关的切、接问题中常见的组合：(1)正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为 a，内切球的半径为 r ，外接球的半径为R，取 AB 的中点为 D ，连接 CD ，SE 为正四面体的高，在截面三角形 SDC 内作一个与边 SD 和 DC 相切，圆心在高 SE 上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O.此时， CO ＝OS＝ R， OE＝ r ， SE232222a266＝a， CE＝，解得 R＝a.33a，则有 R＋r ＝3a， R －r＝|CE| ＝4a， r＝123(2)正方体与球：①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG 的内切圆，如图所示．设正方体的棱长为aa，则 |OJ|＝ r ＝ (r 为内切球半径 )．2②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG 的外接圆，2则 |GO|＝ R＝ 2 a.3③正方体的外接球：截面图为正方形 ACC1A1 的外接圆，则 |A1O|＝ R′＝ 2 a.(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心． 即三棱锥 A1-AB1D 1的外接球的球心和正方体 ABCD -A1B1C1D1 的外接球的球心重合．如图，设3AA1＝ a，则 R＝ 2 a.②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外2222接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R2＝ a ＋ b＋ c＝ l (l 为长方体的体对角线长 )．44角度一：正四面体的内切球1． (2015 长·春模拟 )若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则 S1＝S2________.解析： 设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4·3 2＝3a2，其内切球半径4 ·a1，即 r＝2，则 S1＝2为正四面体高的1662 ＝ 4 πr2＝πa3a＝44·3 a＝ 12 a，因此内切球表面积为S6S2π 26a63π .角度二：直三棱柱的外接球2．(2015 唐·山统考 )如图，直三棱柱ABC-A1B1C1 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上， AB＝ AC，侧面 BCC 1B1 是半球底面圆的内接正方形，则侧面 ABB1A1 的面积为 ()2A ．2B． 1C.2D. 2解析：选 C由题意知， 球心在侧面 BCC1 1 的中心 O 上，BC 为截面B圆的直径，∴∠BAC＝ 90 °，△ABC 的外接圆圆心 N 是 BC 的中点，同理△A11 1B C的外心 M 是 B1 1 的中心．设正方形BCC 1 1 的边长为 x， Rt△OMC 1 中，CBxxx2x2OM＝ 2，MC1＝2，OC1＝ R＝1(R 为球的半径 )，∴ 2＋ 2＝ 1，即 x＝2，则 AB＝ AC＝ 1，∴S 矩形 ABB1A1＝2× 1＝ 2.角度三：正方体的外接球3．一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示 (图中三个四边形都是边长为 2 的正方形 )，则该几何体外接球的体积为________．解析： 依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是43正方体的体对角线；∴2R＝ 23(R 为球的半径 ) ，∴R＝3，∴球的体积V＝3πR＝ 4 3π.答案： 4 3π角度四：四棱锥的外接球4．(2014 大·纲卷 )正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 ()81π27πA. 4B． 16πC． 9πD. 4解析：选 A如图所示，设球半径为R，底面中心为 O′且球心为 O，∵正四棱锥 P-ABCD中 AB ＝2，∴AO′ ＝ 2.∵PO′ ＝ 4，∴在 Rt △AOO ′ 中， AO2＝ AO′ 2＋OO ′ 2，∴R2＝ ( 2)2＋ (4－ R)2，解得 R929281π＝4，∴该球的表面积为4 πR ＝ 4π× 4＝4，故选 A.[ 类题通法 ]“ 切 ”“ 接 ” 问题的处理规律1．“ 切 ” 的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．2．“ 接 ” 的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．[ 牛刀小试 ]1． (2015 云·南一检 )如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆，那么这个空间几何体的表面积等于()100 π25πA ．100 πB.3C． 25πD.3解析：选A易知该几何体为球，其半径为5，则表面积为 S＝ 4πR2＝100 π.2． (2014 陕·西高考 )已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()32π4πA. 3B ． 4π C． 2πD. 3解析：选 D因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r12224π34π＝ 21＋ 1 ＋2 ＝ 1，所以V球＝3×1＝3 .故选 D.3．已知正六棱柱的12 个顶点都在一个半径为3 的球面上，当正六棱柱的底面边长为6时，其高的值为 ()A．3 3B. 3C．2 6D．2 32解析：选D设正六棱柱的高为h，则可得 ( 6) 2＋ h ＝ 32，解得 h＝ 23.44． (2015 山·西四校联考 )将长、宽分别为4 和 3的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，得到四面体 A-BCD ，则四面体 A-BCD 的外接球的体积为 ________．解析： 设 AC 与 BD 相交于 O，折起来后仍然有OA＝OB ＝OC＝ OD ，∴外接球的半径32＋ 4254π5 3125 πr ＝2＝2，从而体积×2＝6.V＝ 35．一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O 的球面上，则该圆锥的体积与球 O 的体积的比值为 ________．123322解析： 设等边三角形的边长为2a，则 V 圆锥 ＝ 3·πa· 3a＝ 3 πa ；又R＝a ＋ ( 3a－22 3a，故 V4π 2 33＝32 3π 39R)，所以 R＝ 3球＝ 3 ·3 a27 a，则其体积比为 32.[ 高考全国课标卷真题追踪]1．（ 15 课标 1 理）已知 A, B 是球 O 的球面上两点，AOB900 , C 为该球面上的动点，若 OABC 三棱锥体积的最大值为36，则球 O 的表面积为（C ）(A)36(B)64(C)144(D)2562. （13课标1 理）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm, 将一个球放在容器口 , 再向容器注水 , 当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm, 如不计容器的厚度 , 则球的体积为( A )（ A） 500πcm3（ B） 866πcm333（ C） 1372πcm3（ D） 2048πcm 3333. （ 12 课标理）已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上 ,ABC 是边长为 1的正三角形 , SC 为球 O的直径 , 且 SC2 , 则此棱锥的体积为（A ）(A)232（ D）2(B)6(C)2634. （ 12 课标文）平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1, 球心 O 到平面 的距离为 2, 则此球的体积为（ B ）（ A） 6π（ B） 4 3π（ C）4 6π（ D） 6 3π5. （10新课标理）设三棱柱的侧棱垂直于底面, 所有棱长都为 a , 顶点都在一个球面上 , 则该球的表面积为 ( B )(A)a2(B)7a2(C)11 a2(D)5a2336. （ 10 新课标文）设长方体的长、宽、高分别为2a, a, a , 其顶点都在一个球面上, 则该球的表面积为 ( B )（ A） 3 a2（ B） 6 a2（C） 12 a2（ D） 24 a27．（ 07新课标文）已知三棱锥SABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上 , 球心 O 在AB 上,SO底面 ABC , AC2r , 则球的体积与三棱锥体积之比是（Ｄ）Ａ . πＢ . 2πＣ. 3πＤ . 4π8. （ 13 新课标2 文）已知正四棱锥O ABCD 的体积为 3 2 , 底面边长为3,则以 O为2球心 , OA 为半径的球的表面积为 24 。
9.（13新课标 1文）已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点 , AH : HB 1: 2 , AB 平面 , H 为垂足 , 截球 O 所得截面的面积为 , 则球 O 的表面积为 __10. （11 新课标理）已知矩形 ABCD的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上, 且AB 6,BC 2 3 , 则棱锥 O ABCD 的体积为 8 3 .11. （ 11 新课标文）已知两个圆锥有公共底面 , 且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上 . 若圆锥底面面积是这个球面面积的 3 , 则这两个圆锥中 , 体积较小者的高与体积较161大者的高的比值为 .312. （ 08 新课标理）一个六棱柱的底面是正六边形 , 其侧棱垂直底面 . 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上, 且该六棱柱的体积为9 , 底面周长为 3, 那么这个球的体积为483。