圆和圆的位置关系数学习题及答案一.内容： 圆和圆的位置关系 二. 教学目标： 1. 使学生掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法 2. 使学生掌握两圆连心线的性质 3. 通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力；培养学生的辩证唯物主义观点 三. 教学重点和难点： 两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系既是重点也是难点 四. 教学过程： 复习： 直线和圆有几种位置关系？各是怎样定义的？ 直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的 新课 电脑演示，做两圆的相对运动 1、定义： 如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离 外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离 内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含）两圆同心是两圆内含的一个特例 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切 外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切这个唯一的公共点叫做切点。
内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切这个唯一的公共点叫做切点 两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交 注意： 两圆外离与内含时，两圆都无公共点，但同时要考虑内部和外部的因素两圆外切与内切也有这样的比较 两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一 两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离；相交；相切 提问：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交除以上关系外，还有其它关系吗？可能不可能有三个公共点？ 答：“不在同一直线上的三个点确定一个圆”判断出这两个圆是同一个圆 结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系 2、两圆位置关系的数量特征 设两圆半径分别为R和r圆心距为d，用电脑或投影再次出示两圆的五种位置关系，让学生观察R，r和d之间有何数量关系？ 学生很可能只说出d＞R-r，则应向学生说明，这时两圆还可能外切或外离，如果只说出d＜R+r，则还可能内切或内含结合上图会发现R，r和O1O2构成△AO1O2的三边所以只有R-r＜d＜R+r时才能判定两圆相交。
反过来也成立，于是有： 为了方便记忆，将这五种数量关系用数轴表示为： 例：如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米 求：以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？ 以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？ 解：设小圆⊙P与⊙O外切于点A，则 PA=OP－OA =8－5 =3cm 所以⊙P1的半径是3cm 设大圆⊙P与⊙O内切于点B，则 PB=OP+OB =8+5 =13cm 所以⊙P2的半径是13cm 3、相切两圆的性质 P109思考 观察发现：相切两圆也组成轴对称图形，通过两圆圆心的直线叫连心线，是它们的对称轴 相切两圆的连心线的性质： 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 例：如图，已知，⊙O1和⊙O2外切于P，并且⊙O和⊙O1、⊙O2分别内切于M、N， △ O1O2O的周长为18cm求：⊙O的半径长 解：设⊙O、⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r1、r2 ∵⊙O1和⊙O2相外切 ∴O1O2=r1+r2 又⊙O和⊙O1、⊙O2分别相内切 ∴O1O=R－r1，O2O=R－r2 △O1O2O的周长为18cm即 O1O2+O1O+O2O=++=18。
∴R=9 例：⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，求证：直线O1 O2垂直平分AB 证：连接O1A、O1B、O2A、O2B ∵O1A= O1B ∴O1在AB的垂直平分线上 ∵O2 A=O2B ∴O2在AB的垂直平分线上 ∵直线O1 O2垂直平分AB 总结：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 例：已知：两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过点O2求∠O1AB的度数 解：∵圆O1经过O2 \O1O2=O1A=O2A ∴∠O1AO2=60° ∵O1A=O1B，O2A=O2B \O1O2^ABOA=OB 1∴∠O1AB=2∠O1AO2=30° 在解决有关相交两圆的问题时，常常添加以下几种辅助线：连心线、公共弦、连结交点与圆心从而可以把两圆半径、公共弦长的一半、圆心距集中到同一个三角形中，利用三角形的有关知识加以解决 例：如图，已知⊙O1和⊙O2相交于点A、B，O1在⊙O2上，AC是⊙O1的直径，CB与⊙O2相交于点D，连结AD 求证：AD是⊙O2的直径 求证：DA=DC AO2D证明：连结AB， ∵AC是⊙O1的直径， ∴∠ABC=90°， ∴∠ABD=90°，AD是⊙O2的直径。
连结O1O2， ∵AO1＝O1C，AO2=O2D， ∴O1O2∥CD， ∴∠C=∠AO1O2 又∵O2A=O2O1， ∴∠O2AO1=∠AO1O2， ∴∠C=∠O1AO2， ∴DA=DC O1BC例：相交两圆的公共弦长为6，若两圆半径分别为8和5，则两圆的连心线为________？ 解：①圆心在公共弦两侧 QO1A=O1B，O2A=O2B \O1O2为AB的垂直平分线 ∴AB⊥O1O2，AC=CB ∵AO1=8，AC=3 \O1C=55 QO2A=5，AC=3\O2C=4\O1O2=55+4 ②圆心在公共弦同侧 AO1O2CB同① O1C=55O2C=4\O1O2=O1C-O2C=55-4 例：已知：圆O1与圆O2是等圆，相交于A、B，O2在圆O1上，AC是圆O2的直径，直线CB交圆O1于D，E为AB延长线上一点 证明：AD是圆O1的直径； 若∠E=60°，求证：DE是圆O1的切线 *两圆相交，通常连公共弦，把两圆中的边和角连接起来 AO1O2DBEC证：∵AC是圆O2的直径 ∴AB⊥DC ∴∠ABD=90° ∴AD为圆O1的直径 法一：∵AD是圆O1的直径 ∴点O1为AD中点，连O1O2 ∵点O2在圆O1上， 圆O1与圆O2的半径相等 \O1O2=AO1=AO2 \DAO1O2是等边三角形 ∴∠AO1O2=60° 由中位线O1O2//DC ∴∠ADB=∠AO1O2=60° ∵AB⊥DC，∠E=60° ∴∠BDE=30° ∴∠ADE=∠ADB+∠BDE=60°+30°=90° ∵AD直径 ∴DE是圆O1的切线 法二：连O1O2 ∵点O2在圆O1上，圆O1与圆O2的半径相等 ∴点O1在圆O2上 \AO1=AO2=O1O2 ∴∠O1AO2=60° ∵AB公共弦 ∴AB⊥O1O2 ∴∠O1AB=30° ∵∠E=60° ∴∠ADE=180°－ =180°－ =90° ∵AD是直径，∴DE是切线 例：已知，如图所示，圆O1与圆O2相交于A、B两点，圆心O1在圆O2上，过B点作两圆的割线CD，射线DO1交AC于E点。
求证：OE⊥AC 证：连结AB、作圆O1的直径AC1 ∵AC1为直径 ∴∠BAC1+∠AC1B=90° ∵∠C=∠C1 ∠C1AB=∠D ∴∠C+∠D=90° ∴DE⊥AC AECO1C1BDO2例：已知，如图所示，圆O1与圆O2相交于A、B两点，过A点的弦分别交两圆于C、D，弦CE//DB，连结EB，试判断EB与圆O2的位置关系，并证明你的结论 证：连结BO2并延长交圆O2于F， ∵BF为直径 ∴∠1+∠2=90° ∵EC//DB ∴∠E+∠EBD=180° ∴∠E+∠EBO2+∠3=180° ∵∠2=∠E，∠1=∠3 ∴∠2+∠1+∠EBO2=180° ∴∠EBO2=90°， ∴O2B⊥EB，∴EB与圆O2相切 AEO1B12C3B1DO2F 1. 若两圆无公共点，则两圆的位置关系为___________ 2. 若两圆有公共点，则两圆的位置关系为___________ 3. 已知两圆半径为12.4cm和7.3cm，则两圆相切时，圆心距等于___________ 4. 已知两圆的半径之比为3：5，若两圆内切时圆心距等于6cm，则两圆的半径分别为___________；若两圆无公共点，则圆心距d的取值范围为___________。
5. 若两圆半径为r和R，圆心距为d，且d
14. 已知，如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1m的水泥管两两相切摞在一起，求其最高点到地面的距离 2 1. 外离或内含 2. 外切或相交或内切 3. 19.7cm或5.1cm 4. 9cm 15cm d>24cm或0≤d<6cm 5. 内含或内切或相交 6. 内含 7. 1cm 8. 外离 9. 内切或外切 10. 不内含 11. 轴 两圆的连心线 切点在对称轴上 12. 三 213. 由R、r是方程x-3x+1=0的两根可得R+r=3， Rr=1，R－r=|R－r|=(R+r)-4Rr=9-4=5 d=5>R+r，所以两圆外离； d=2