归纳二重积分的计算方法摘 要 ： 本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性 质求极限.关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算、几 、-前言二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方 面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重 积分的难度除了与被积函数有关外 ,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思 想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重 积分计算的一些常见方法和技巧.1. 预备知识1.1 二重积分的定义 [1]设f (x,y)是定义在可求面积的有界区域D上的函数.J是一个确定的数，若对任给的正 数£，总存在某个正数5，使对于D的任意分割T，当它的细度|T||<5时，属于T的所有积 分和都有Y f （g，耳）Ad — J <£ ,则称f (x, y )在D上可积，数J称为函数f (x, y )在D上的二重积分，记作D其中f (x, y)称为二重积分的被积函数，x, y称为积分变量，D称为积分区域.1.2 二重积分的若干性质1.21若f (x, y)在区域D上可积，k为常数，则kf (x, y)在D上也可积，且DD1.22若f (x, y), g (x, y)在D上都可积，则f (x, y)± g (x, y)在D上也可积，且J![f (x, y)± g (x, y力db = JJf (x, y为g ±ff g (x, y为g .D D D1.23若f (x,y)在D和D上都可积，且D与D无公共内点，则f (x,y)在D UD上也1 2 1 2 1 2可积,且JJ f (x, y=JJ f (x, y》b ±JJ f (x, yD1UD2 D1 D21.3 在矩形区域上二重积分的计算定理设f (x,y)在矩形区域D =b,b]x[c,d]上可积，且对每个xe[a,b],积分Jdf (x,y)dy存 c 在，则累次积分 JbdxJd f (x, y)dy 也存在，且acJJ f(x, y)dg = JbdxJd f (x, y)dy .ac D同理若对每个y e[c,d]，积分Jbf (x, y)dx存在，在上述条件上可得aJJ f(x, y)dg = Jd dyJb f(x, y)dxca D2.求的二重积分的几类理论依据二重积分类似定积分 ，可看成一个函数在有界区域内的积分 ，它计算的主要思路 是把重积分化为我们学过的累次积分的计算，在这思想下如何化为更容易求的累次积 分成为问题关键，下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通 过变量变换化为简单函数的几种计算技巧 ，另外还列举几类特殊二重积分的简单求 法.2.1在直角坐标系下，对一般区域二重积分的计算X —型区域：D =«x, y)|y (x)< y < y (x),a < x < blY —型区域：D = «x, y)|x (y)< x < x (y),c < y < d}定理:若f (x,y)在乂 -区域D上连续，其中y (x)，y (x)在[a,b]上连续，则12JJ f (x, y)dg = J b dxJ y2(x) f (x, y)dya y (x )D1即二重积分可化为先对y，后对x的累次积分.同理在上述条件下，若区域为Y -型，有x1 (y)□ f (x, y 込 二 J "dxj x2(y)f (x, y ')dy例 1 求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积 V .解：设圆柱底面半径为a，两个圆柱方程为x 2 + y 2 = a 2 与 x 2 + z 2 = a 2.只要求出第一卦限部分的体积 ，然后再乘以 8 即得所求的体积 . 第一卦限部分的立体式以0< y <\a2 一x2,0 < x < a,为底的曲顶柱体，所以V = JJ\'a2 - x 2 de = Ja dx J a -x a 2 一 x 2 dy = Ja (a 2 一 x 2)dx = a 3168 0 0 0 3于是V = — a3.另外，一般常见的区域可分解为有限个X -型或Y -型区域，用上述方法求得各个小区域上的 二重积分，再根据性质1.23求得即可.2.2 二重积分的变量变换公式定理：设f (x, y)在有界闭域D上可积，变换T : x = x(u,v), y = y(u,v)将平面uv由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域A 一对一地映成xy平面上的闭区域D ,函数 x = x(u,v), y = y(u, v)在A内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式DA(u,v)eA ,用这个定理一般有两个目的，即被积函数化简单和积分区域简单化.例1求JJ ex+ydxdy,其中D是由x = 0, y = 0, x + y = 1所围区域.解为了简化被积函数，令u = x一 y , v = x + y.为此作变换T : x = 2(u + v), y = 2(u - v)，则J (u, v )=121「21212即 e x+y dxdy e v dudv = evdu =丄 J1 v(e - e-1)dv = -_—2 2 0 - v 2 0 4A例2求抛物线y2 = mx， y2 = nx和直线y = p x， y =a x所围区域D的面积卩(D)(0 0， (u,v)eA , v4所以u p dv C2-m2)(33-a3)6a 3 p 3卩(D) = JJ dxdy = JJ dudv = Jp Jnudu =v4 a v4 mDA2.3 用极坐标计算二重积分定理：设f (x，y)在有界闭域D上可积'且在极坐标变换T：二:需0 < r十，0<0 <2兀下，xy平面上有界闭区域D与r0平面上区域A对应，则成立J! f (x, y )dxdy = JJ f(rcos0,rsin0)J(r,0)drd0 .其中 J(r,0)=Acos0 -r sin 0sin 0 r cos0=r．当积分区域是源于或圆域的一部分，或者被积函数的形式为f (X 2, y 2)时，采用该极坐标变换．二重积分在极坐标下化累次积分的计算方法：(i) 若原点O电D，且xy平面上射线9二常数与D边界至多交与两点，则A必可表示成r (9) < r < r (9)， a <9 < P，12于是有JJ f (x, y )dxdy = JP d9 Jr2(9) f(r cos9 , r sin 9 )rdra r1(9 )D1类似地，若xy平面上的圆r =常数与D的边界多交于两点，则A必可表示成9 (r) <9 <9 (r)，12r 0时，二重积分f (X, y)dxdy在几何上就表示以z = f (x, y)为曲顶，D为底的曲D顶体积.当f (x, y) = 1时，二重积分f (x, y)dxdy的值就等于积分区域的面积.D例6计算：I “ "-乂-兰亦，其中D : 乂 +啟< 1.a 2 b 2 a 2 b 2解 因为被积函数 z =1 -兰-兰>0, a 2 b2所以I表示D为底的z =I X 2 y 21 - - 为顶的曲顶柱体体积.a 2 b 2由平行 xoy 面的截面面积为A(x) =n ab(1-z) , (0 < z < 1),根据平行截面面积为已知的立体体积公式有11I = J 兀 ab(1- z)dz =兀 ab 032.5 积分区域的边界曲线是由参数方程表示的二重积分有关计算2・5 1利用变量代换计算设D为有界闭域，它的边界曲线，Q< t <卩)且D = l(x,y) |a < x < b, c < y < y(x)},当x = a时，t =a ；当x = b时，t = 0。
设f (x, y)在D上连续，且存在P(x, y)， (x, y) e D使得=f (x,y)，则JJ f (x, y )dxdy = J0 {P[①(t),屮(t)] - P[①(t), c]}①'(t )dtaD2.52利用格林公式计算定理 若函数P(x,y)，Q(x,y)在闭区域D上连续，且有连续的一阶偏导数，则有JJ(塑—兰)db 二 NPdx + Qdy dx dy LD这里L为区域D的边界线，并取正方向.计算步骤：dQ dP(1) 构造函数 P(x, y), Q(x, y)使 —亍=f (x, y)，但 P(x, y), Q(x, y)在 D 上ex oy应具有一阶连续偏导数；(2) 利用格林公式化曲线积分求之.例7计算JJx3y4dxdy , D是由椭圆x二acos9 , y = bsin9所围成.D解法一(利用变量代换)设D为D在第一象限，则1冗 a3b564JJ x2y4dxdy = 4JJx2y 4dxdy = 4 J x2y5dx作变换x = a cos9, y = b sin 9 4 a3b5 J 2 cos9 3 sin 9 5(— sin 9 )d9 =D D10Q=o.ex解法二(利用格林公式)令P = — 5 x 2 y 5 , Q = 0，则学=—x 2 y 4,5 e y兀 a3b564JJ x 2 y 4 dxdy = N-1 x 2 y 5 dx = —1J 2 兀(a cos9 )2 (b sin 9 )5 (—a sin 9 )d9L 5 5 0D2.7 积分区域具有对称性的二重积分的简便算法 2・7 1积分区域关于坐标轴对称性质1 若f (x, y)在区域D内可积，且区域D关于y轴(或x轴)对称，则二重积分满足下列性质：JJ f ( x, y)dxdy =0, f (x, y)为关于((或y)的奇函数2JJ f (x, y )dxdy, f (x, y)为关于((或y)的偶函数D1其中q为区域d被y轴(或x轴)所分割的两个对称子域之一.例 计算JJ(h — 2x — 3y)dxdy，其中D是由x2 + y2 = R2所围成的闭区域.D解析 由于积分区域D关于x轴\y轴均对称性，只需考虑被积函数f (x, y) = h-2x-3y关于x或y的奇偶性.易见，f (x,y)关于x或y既非奇函数，也非偶函数.若记f (x) = —2x ,f (y) = -3 y,则f (x,y) = h + f (x) + f (y)且f (x)为x的奇函数，f (y)为y的奇函数•由此12，dxdy = 0 = LDy = 0y = xx = — < x + y = — 0 .当2 ——< x + y <—时，cos(x + y) < 0 .故作直线L : x + y =，把D分成D和D两部分，而D2 2 1 2 1 和D关于直线L对称.又|cos(x + y)|关于直线L偶对称.故JJ| cos( x + y) pdxdy = 2JJ cos( x + y )dxdy = 2 J—dy J 2- y cos( x + y )dx = -1 0 y 2D D12.8 运用导数的定义求极限例 10 计算 limln(h + x) - ln h (h > 0)x tO x思路：对具有lim f (x) - f (xo)或lim f (xo + h) - f (xo)形式的极限，可由导数的 xT0 x -xo hT0 h定义来进行计算.解：原式二(ln x)'l = 1x= h h2.9 运用定积分的定义求极限[3]例 11 计算 lim1^ ,'1 + cos± + | ,'1 + cos + L + , ：1 + cos 二］ “to n Y nV 2 V n思路：和式极限，利用定积分定义lim1工f （丄）=\1 f （x） dx求得极限.nto n n oI=1「 i兀1 + cos — n解：原式lim 1 艺=f \/Tnt o n i=1+ cos（兀 x） dx0f 1厅 兀X 2 J21 2 cos dx -o 2 兀2.10 运用微分中值定理求极限例12：计算lim竺土xto x - sin x思路：对函数f （x）在区间［sinx,x］上运用拉格朗日中值定理，即可求得.解：原式=limea = 1 （其中a在［sin x,x］区间内）总上所述，在不同的类型下，所采用的技巧是各不相同的，求极限时，可能有多 种求法，有难有易，也可能在求题的过程中，需要结合上述各种方法，才能简单有效 的求出，因此学会判断极限的类型，另外对以上的解法能活学活用，是必要的. 参考文献:［1］ 华东师范大学数学系.数学分析（第五版）［M］.高等教育出版社，2001.［2］ 钱志良.谈极限的求法［J］.常州信息职业技术学院学报，2003.［3］ 李占光.函数极限的计算方法［J］.长沙民政职业技术学院学报，2004.。