1版权所有 违者必究第三章第1讲2)(),()(为整数rrNnxnxnkjNe2)(nxN20njnjNeene20)(1nkjnkjkNeene20)()()(22)(neeeneknkjrNknjrNkNNnkjNe2nkjNe2)(nxNNjNNnnkjeWekXNnx2210)(1)(记即版权所有 违者必究第三章第1讲3NjNeW2)(rNnNnNWW*)(nNnNWWnNrnrNWW011)(110)(10*NnnkmNNnmnNknNWNWWNkmkm10)()()(NnnkNWnxkXnxDFS正变换正变换)(k10)(1)()(NknkNWkXNnxkXIDFS反变换反变换)(k显然具有周期性版权所有 违者必究第三章第1讲4)(nx分解成分解成N N个离散的谐波分量的加权和，各谐波的频率为个离散的谐波分量的加权和，各谐波的频率为 ，Nk2幅度为幅度为 ，其中，其中)(1kXN1,1,0Nk注意：注意：和 都可取任何整数值，这表明 和 都是无限长的，但由于它们的周期性，只需要知道一个周期，其它周期可通过周期延拓得到kn)(kX)(nx1 1、线性性、线性性)()()()(2211nxDFSkXnxDFSkX若)()()()(22112211kXakXanxanxaDFS则2 2、移位性、移位性)()(nxDFSkX若)()(kXWmnxDFSmkN则版权所有 违者必究第三章第1讲53 3、频域移位（调制）性、频域移位（调制）性)()(nxDFSkX若)()(lkXnxWDFSnlN则4 4、周期卷积定理、周期卷积定理)(1nx)(2nx)()()()()(211021nxnxmnxmxnyNm周期卷积与第二章所讨论的线性卷积不同，其特点是：和 都是周期为N的序列。
)(1nx)(2nx)(ny注注意意)()(11nxDFSkX若)()()()(21kXkXnyDFSkY则)()(22nxDFSkX版权所有 违者必究第三章第1讲65 5、频域周期卷积定理、频域周期卷积定理)()()(21nxnxny若)()(1)()(1)()(211021kXkXNlkXlXNnyDFSkYNl则)(1nx)(2nx)()(21mxmx和)(ny版权所有 违者必究第三章第1讲7序列傅立叶变换存在的条件是满足绝对可和或平方可和，但对周期序列这两个条件都不满足，因为当 时，序列的值或平方值都不趋于0若引入频域的冲击函数 ，也可求得其傅立叶变换n)()(nx)2()(2)(NkkXNeXkj1021)(1)()(NnNnkjjekXNeXFnx参见P87页例题8问题的引入：问题的引入：由第二章曾讨论过的“序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换”我们知道：序列的傅立叶变换就是序列的频谱，它是数字频率序列的傅立叶变换就是序列的频谱，它是数字频率 的的连续变量函数，且序列的长度不受限制连续变量函数，且序列的长度不受限制但在实际利用计算机或数字设备进行频谱分析时，只能处理有限长数据且必须将 离散化。
有限长序列的傅立叶变换及频率离散化问题有限长序列的傅立叶变换及频率离散化问题离散傅离散傅立叶变换（立叶变换（DFT）有限长序列的离散傅立叶变换有限长序列的离散傅立叶变换离散傅立叶变换的性质离散傅立叶变换的性质离散频率、数字频率和模拟频离散频率、数字频率和模拟频率间的关系率间的关系版权所有 违者必究第三章第1讲9)(nx10)()()(NnnjjenxnxFeX上式中仅管 是离散序列，但 却是连续变量，且 是 的周期为 的周期函数，故实际上只需计算 在区间 上的值同时，由于 为连续变量，在 中有无限多个点，而实际只能计算有限个点，故必须将 离散化)(nx)(jeX2)20)20版权所有 违者必究第三章第1讲10)20Nkk21,1,0)()(102NkenxeXNnknNjjk定义式，令)()(kjeXkXNjNeW2并记1,1,0)()()(10NkWnxnxDFTkXNnnkN则其中 为序列 在离散频率点 上的频谱值)(kX)(nxNkk2版权所有 违者必究第三章第1讲111,1,0)()()(10NkWnxnxDFTkXNnnkN有限长序列 的离散傅立叶变换（简称离散傅立叶变换（简称DFT）的意义：)(nx1、为序列 在离散频率点 上的频谱值。
)(kX)(nxNkk22、相当于频谱 在 范围内实施了等间隔采样，采样间隔为)(kX)(jeX)2,0N21,1,0)(1)()(10NnWkXNkXIDFTnxNknkN版权所有 违者必究第三章第1讲12据DFT和IDFT的定义知：)()(nxmNnx)()(kXmNkX有限长序列的有限长序列的DFTDFT是是 的周期序列，周期为的周期序列，周期为N N；而由而由IDFTIDFT所求得的所求得的 也变成了一个周期为也变成了一个周期为N N的周期的周期序列，即通过序列，即通过IDFTIDFT将原将原 进行了周期延拓进行了周期延拓k)(nx)(nx将由有限长序列 以N为周期进行延拓后所得的序列记为 ，并称原 为 的主值区主值区其中 表示 对N除法求余，即若 则)(nxNnx)()(nxNnx)(Nn)(n为整数MNnnMNn,10,111)(nnN)5()5()1()9(888xxxxN，则，例如：)11()5()9()9(161616xxxxN，则版权所有 违者必究第三章第1讲13)(nx)(nx)(kX)(kX()()()X kXkX krNNrX kXkRkNN()()()(nx10)()(NnnznxzX10)()()(22NkzXeXkXkNjezkNj 可见序列的可见序列的N NDFTDFTx x(n n)的的Z Z变换在单位圆上变换在单位圆上N N点的等间隔采样。
点的等间隔采样显然，对于同一序列当频率采样点数不同时，其显然，对于同一序列当频率采样点数不同时，其DFTDFT的值也不的值也不同)(nx)(nx)(nx)(nx()()()x nxnx nrNNrx nxnRnNN()()()版权所有 违者必究第三章第1讲14已知 ，分别求 和 时的 )()(4nRnx8N16N)(kX解：解：30708241082)()()(nknjnknjnkNNneenRWnxkX时8N)8/sin()2/sin(118382824kkeeekjkjkj)7,1,0(k时16N30150162410162)()()(nknjnknjnkNNneenRWnxkX)16/sin()4/sin(111631621624kkeeekjkjkj)15,1,0(k由该例可知：由该例可知：频率采样点数不同，DFT的长度不同，DFT 的结果也不同版权所有 违者必究第三章第1讲151 1、线性性、线性性21aa、若x(n)与y(n)是同样长的序列，则对任何实数或复数有：)()()()(2121nyDFTanxDFTanyanxaDFT2 2、循环移位性、循环移位性)()()(nRmnxnyNN若x(n)是长为n的有限长序列，定义：为 的循环移位序列循环移位序列。
)(nx版权所有 违者必究第三章第1讲16循环移位的实质循环移位的实质：将原序列 左移 位，而移出主值区的各序列值又依次从右侧进入主值区)(nxm)()(nxDFTkX若)()()(kXWnyDFTkYmkN则)()()(nRmnxnyNN设版权所有 违者必究第三章第1讲17)()(nxDFTkX若)()()(nxWkYIDFTnynlN则)()()(kRlkXkYNN3、频域移位定理、频域移位定理的共轭复序列为设)()(nxnx4、共轭复序列的、共轭复序列的DFT)()()(kRkNXnxDFTNN则5、共轭对称性、共轭对称性)()()(njxnxnxir设)()(21)(*nxnxnxr)()(21)(*nxnxnjxi实部虚部虚部版权所有 违者必究第三章第1讲18)()(21)()(*nxnxDFTnxDFTkXre)()(21*kNXkX)()(21)()(*nxnxDFTnjxDFTkXio)()(21*kNXkX)()(kNXkXee共轭对称性则)()(kNXkXoo共轭反对称性说明：说明：)(kX)(nx版权所有 违者必究第三章第1讲19特别地：特别地：)()(*kNXkX)()(*kNXkX)(nx)(nx设 ，和 为实序列，已知求:和)()()(njynxnf)(nx)(nyjNkFnf1)()()(nx)(ny解：解：)()()()(21)()()()()(21)(*kjNRkRkNFkFnjyDFTkRkRkNFkFnxDFTNNNNNN)()()()(1)(1)()(1010nNkYIDFTnynWNWkXNkXIDFTnxNkknNNkkNN版权所有 违者必究第三章第1讲206、循环卷积定理、循环卷积定理)(1nx)(2nx1,1,0,)()()()(1021NnnRmnxmxnyNmNN)()()()(1221nxnxnxnx)()(11nxDFTkX若)()(22nxDFTkX)()()()(21kXkXnyDFTkY则7、频域循环卷积定理、频域循环卷积定理)()()(21nxnxny若)()(1)()(21kXkXNnyDFTkY则版权所有 违者必究第三章第1讲21)2()(),()(4241nRnxnRnx)(ny解：解：)(),(21nxnx)(),(21mxmxNmx)(2)(2mxNmx)(2)()(2mRmnxNN)(1mx)()(2mRmnxNNNmx)(2版权所有 违者必究第三章第1讲22版权所有 违者必究第三章第1讲238、循环相关定理、循环相关定理)(nx)(ny1,1,0)()()()(10NnnRmnymxnrNmNNxy)(nx)(ny)()(nxDFTkX若)()(nyDFTkY)()()()(kYkXnrDFTkRxyxy则9、Parseval定理定理102|)(|Nnnx210|)(|1kXNNk版权所有 违者必究第三章第1讲24f)(2ffsffT2 的取值范围：20或2/sf 就是离散（信号数字）频率能取的最高频率 此时，虽然信号在时域时离散的，但此时，虽然信号在时域时离散的，但 仍然是连续的仍然是连续的注意注意版权所有 违者必究第三章第1讲2510NkkNffkNks2kkf以上所讨论的三种频率变量之间的关系，在对模对模拟信号进行数字处理拟信号进行数字处理以及利用模拟滤波器设计数利用模拟滤波器设计数字滤波器字滤波器乃至整个数字信号处理中十分重要，望同学们高度重视。
26频域采样不失真恢复的条件频域采样不失真恢复的条件内插公式内插公式问题的提出：问题的提出：时域：时域：)(tx)(nx通过满足通过满足“时域采样定理时域采样定理”的采的采样样频域：频域：)(jeX)(kX？版权所有 违者必究第三章第1讲27)(nxLnnjjenxeX)()(10NknnkNWnxkX)()(频域采样频域采样)10)()(NnkXIDFTnxN令欲恢复原信号，即)()(nxnxN)()()(nxDFTkXkXN)()()(kRkXkXN)()()(kXIDFTnxnxNN)()()(nRnxnxNN版权所有 违者必究第三章第1讲28nkNNknkNNkWkXNWkXNnx1010)(1)(1)(取主值区 10)(1NknkNmmkNWWmxNmNkknmNWmxN10)()(1x nrNr()(nxNrNnRrNnx)()()(nxN)(nx版权所有 违者必究第三章第1讲29版权所有 违者必究第三章第1讲3010)()(NnnkNWnxkX10)(1)(NknkNWkXNnx10)()(NnnznxzX1010)(1NnnNknkNzWkXNnNkNnnkNzWkXN1010)(110111)(1NkkNNNkNzWzWkXN1011)(1NkkNNzWkXNz10)()(NkkzkX1111)(zWzNzkNNk其中版权所有 违者必究第三章第1讲3110)()()()(NkjkezjekXzXeXj)2(111)(NkjNjjkeeNe222/)2sin()2sin(1NkNjeNkNN)2(Nk2)1(2/)sin()2sin(1)(NjeNN其中22sin)sin()(ttTtTttgss时域采样定理中的内插函数相似相似版权所有 违者必究第三章第1讲32以上所讨论的两种情形的内插公式内插公式是用频域采样法设用频域采样法设计计FIR数字滤波器数字滤波器重要的理论基础，虽然此处无从体现，但后面有关FIR数字滤波器的结构与设计中常用到这些结论。
版权所有 违者必究第三章第1讲33版权所有 违者必究第三章第1讲34例：例：已知 ，对 在单位 10),()(anuanxn)()(zXZnx变换的圆上等间隔采样N点,1,1,0,|)()(NkzXkXkNWz求)(kXIDFT解：解：)(1)()()()()()()()(00nRaanRaanRanRrNnuanRrNnxkXIDFTnxNNnrNrNnrNrNnrNrNnrNN)0,1)(,0,10(rrNnurNnNn。