2. RtAABC中，ZACB二90° , AC二6, AB二10, CD是斜边AB的中线，以AC为直径作（？ 0,设线段CD的中点为P f则点P号O0的位置美系是 o忖、（云南）已知在00中，直径MN=10,正方形ABCD的四个顶点分别在半径OP以及>0上，并且ZP0M=45°，贝U AB 二 一，4、（潍坊）如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a,EF=b ,NH=c，则下列各式中正确的是（）A、 a>b>c B、 a=b=c C、 c>a>b D、 b>c>a5、（2014>兰州）如图，在AABC中，先作ZBAC的角平分线AD交BC于点D,再以AC边上的一点O 为圆心，过A. D两点作00 （用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）6、（2014成都）如图，在边长为2的菱形ABCD中，ZA=60° , M是AD边的中点，N是AB边上的一 动点，将AAMN沿MN所在直线翻折得到AA' MN,则A' C长度的最小值是 >专题二：垂径定理的应用【知识梳理】（一）圆的对称性:⑴.圆是轴对称图形，任何一条经过圆心的直线都是它的对称轴2）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
二）、垂径定理及推论：A如果一条直线具有⑴过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分弦所对的 劣弧，（5）平分弦所对的优弧，这五个性质的任何两个性质，那么这条直线就 具有其余三个性质：但叫平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分眩所对的两条弧〃其中的弦必 须是非直径的弦，假若弦是直径，那么这两条直径不一泄互相垂直1 ）连弦的端点与圆心的半径;（2）作弦心距;（3）连圆心和弦的中点（遇弦的中点时）：（5）作半圆上的圆周（4）连圆心和弧的中点（遇弧的中点时）（三）.在解决圆的有关问题时，一般是通过做辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形 相结合有以下几种常引用的辅助线：例2.（鄂州）已知在00中，半径r = 5, AB.【典例精讲】例1、（ 2013绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水而的距离 CD为8m,桥拱半径0C 为5m,则水而宽AB为（ ）A.4m B.5m C.6m D.8mCD是两条平行弦，且43 = 8, CD = 6,则弦AB、CD之间的距离是;弦AC的长为例3、判断题:（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条狐 （）（2）定平分这条弦所对的另一条狐。
3）于弦4）这两条弦平行平分弦所对的一条弧的直径一（）经过弦的中点的直径一定垂直（）圆的两条弦所夹的弧相等，则（）(5) 弦的垂直平分弦一龙平分这条弦所对的弧匚例4. (2013资阳)在 OO中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连结CD.(1 ) 如图1 ,若点D与圆心O重合，AC=2,求OO的半径r ;(2) 如图2,若点D与圆心不重合，Z BAC=25\请直接写出Z DCA的度数.B0O图1例5・ 已知，如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC ± 3D于EOM ±于求证:A例6・如图，直线MN交于C、），A3是0的直径，AE±MN于E, BF±MN于F 求证：（1） tanZADE tanZBDF=l⑵当 AE = afEF = b. BF = c时，tanZEACJanZEAD 是方程 ax2-bx + c = 0 的根【变式练习2]0A1如图，将半径为 2加的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心则折痕43长为(A、2cmD、 2>j5cniN第2题2.（龙岩）如图，A3是0的直径，且A3 = 10弦MN的长为8,若弦的两端在圆周上滑 动，始终与A3相交，记点A、B到MN的距离为你％，则陶一树二（）A. 5 B. 6 C. 7 D. 83、 在直径为50cm的圆中，弓玄AB为40cm,弦CD为48cm,且AB〃 CD,则AB与CD之间距离为4、 （南京）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的O0交于点G、B、F、E，GB = &切,AG = lan ,DE = 2 cm,则| 5、 已知，如图，A3是00的直径，弦CD交AB于点E,且分4B为2如和&7”两段，ZAEC = 3O；则弦 CD 二,6. （连云港）如图，已知00的半径为5,点A到圆心。
的距离是3,则过点4的所有弦中，最短弦的长为 7. 如图，直径为1000〃〃”的圆形水管，若水面=800/7"则水的最大深度CD是8. 如图 8, €>0 与矩形 ABCD 交于 E、F、G、H, EF=10> HG=6, AH=4o 则 BE 二图8 图99、 如图9.已知AB、CD为00的弦，且AB ± CD, AB将CD分成3cm和7cm两部分，则圆心0到AB的距离为 emo410、 在 AABC 中，AB 二AC=5, sinB二5, 00过点B. C两点，且00半径 贝U OA的值 11、 如图，在OO中，弦CD垂直于直径AB于点E,若z BAD=30°,且BE=2,则CD=12、 （2015.成都）如图，在半径为5的OO中，弦AB = S, P是弦A3所对的优弧上的动点，连接AP , 过点q作的垂线交射线PB于点C,当APAB是等腰三角形时，线段BC的长为13、 如图10, AD是&BC的高，AE是ABC的外接圆的宜径.试说明AB • AC二AE • AD.H 1014.已知00的直径AB与弦CD相交于点G, E是CD延长线上的一点，连结AE交00于F,连结AC,(2) ABXCDCF,若 AC?二AF"AE 求证：(1) AACFAAAEC16.已知：OO与OOz相交于P. Q,过P点作直线交OO于A,交oo吁B使00与AB平行求证：AB = 200‘°F17.如图1, AB是00的直径，CD是弦，AE ± CD,垂足为E, BF ± CD,垂足为F, EC和DF相等吗？说明理由.如图2,若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结 论是否改变？为什么？如图3,当EF/7AB时，情况又怎样？如图4, CD为弦，EC ± CD, FD ± CD, EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗?家庭作业仁 在半径为2的OO中，弦AB、AC分别是和迈，则Z BAC的度数为 ；2. （2013莱芜）如图，将半径为2cm的圆形纸片折直后，圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为（A. 2 cm ：卓ill 2cm | 2、七：ii.3. （2011兰州）如图，00过点B、。
圆心0在等腰RtAABC的内部，ZBAC二90° , 0A=l, BC=6则G>0的半径为（）A. 6 B- 13 C・ D.4、已知：00的半径为5,圆心0到直线/的距离0P二3,点A为直线/上一点，PA=5,则点A与<30的位置关系是（（B）平分弦的直径垂直于弦：（D）平分直径的弦是圆中最大的弦A）点A在00外： （B）点A在00上:5、下列叙述正确的是（A）垂直于弦的直线必经过圆心；（C）平分弦的直径必平分弦所对的弧；（C）点A在00内： （D）不能确宦6、（上海）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来人小样的圆形玻璃，小明带到商店去的块玻璃碎片应该是（ ）A.第①块 B.第②块 C.第③块D.第④块7. （2013台湾）如图，AB是半圆，O为AB中点，C、D两点在AB上，且ADII OC,连接BC、BD.若CD=62°,则亦的度数为（ ）A. 56 B. 58 C 60 D. 62 8.如图，00的直径CD垂直于弦A3,垂足是E,弦3F〃 CD, CD = 20cm/BC = \2cm，求AB和BF的长。