学大教育个性化教学教案 Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.三年级奥数暑假复习讲义【课程说明】由于培优大纲顺序和本课程顺序不同，所以在学习此课程时，有些讲次安排打乱了，重新排序不会影响知识点的学习课程目标】提升兴趣※激发学生学习的主动性，乐于思考，乐于学习培养习惯※传授给学生正确的数学学习习惯，解题习惯收获成绩※通过正确的引导帮助孩子提高成绩，积累成就感和自信心目录第一讲 高斯求和第二讲 找简单数列的规律第三讲 上楼梯问题第四讲 植树与方阵问题第五讲 归一问题第六讲 平均数问题第七讲 和倍问题第八讲 差倍问题第九讲 和差问题第十讲 年龄问题第十一讲 鸡兔同笼问题第十二讲 盈亏问题第十三讲 巧求周长第一讲 高斯求和 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）1002＝5050小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差例如：（1）1，2，3，4，5，…，100；（2）1，3，5，7，9，…，99；（3）8，15，22，29，36，…，71 其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列 由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式： 和=（首项+末项）项数2例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）19992＝1999000 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）原式=（11+31）212=441在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数=（末项-首项）公差+1， 末项=首项+公差（项数-1）例3 、3＋7＋11＋…＋99＝？分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，项数=（99－3）4＋1＝25，原式=（3＋99）252＝1275例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和解：末项=25＋3（40-1）＝142，和=（25＋142）402＝3340利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。
解：（1）最大三角形面积为 （1＋3＋5＋…＋15）12＝［（1＋15）82］12＝768（厘米2） 2）火柴棍的数目为 3＋6＋9+…+24＝（3＋24）82=108（根）答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里这时盒子里共有多少只乒乓球？分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球第一次多了2只球，第二次多了22只球……第十次多了210只球因此拿了十次后，多了 21＋22＋…＋210＝2（1＋2＋…＋10）＝255＝110（只） 加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只） 综合列式为：（3-1）（1＋2＋…＋10）＋3＝2［（1＋10）102］＋3＝113（只）练习3 1.计算下列各题： （1）2＋4＋6＋…＋200；（2）17＋19＋21＋…＋39；（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；（4）3＋10＋17＋24＋…＋1012.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3. 求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和4. 时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下问：时钟一昼夜敲打多少次？5. 求100以内除以3余2的所有数的和6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？练习 1.（1）10100；（2）336；（3）440；（4）780 2.1127 提示：项数=（93-5）4+1=23 3.2565 提示：末项=13+5（30-1）=158 4.180次 解：（1+2+…+12）2+24=180（次） 5.1650 解：2+5+8+…+98=1650 6.45个提示：十位数为1，2，…，9的分别有1，2，…，9个第二讲 找简单数列的规律 这一讲我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发现和寻找“数列”的规律 按一定次序排列的一列数就叫数列例如，(1) 1，2，3，4，5，6，…(2) 1，2，4，8，16，32；(3) 1，0，0，1，0，0，1，…(4) 1，1，2，3，5，8，13 一个数列中从左至右的第n个数，称为这个数列的第n项如，数列(1)的第3项是3，数列(2)的第3项是4一般地，我们将数列的第n项记作an。
数列中的数可以是有限多个，如数列(2)(4)，也可以是无限多个，如数列(1)(3) 许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一讲就是讲如何发现这些规律 数列(1)是按照自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：后项=前项+1，或第n项an＝n 数列(2)的规律是：后项=前项2，或第n项 数列(3)的规律是：“1，0，0”周而复始地出现 数列(4)的规律是：从第三项起，每项等于它前面两项的和，即 a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5， a6=3+5=8，a7=5+8=13 常见的较简单的数列规律有这样几类： 第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关例如数列(1)(2) 第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律例如数列(3)(4) 第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律这类情形稍为复杂些，我们用后面的例3、例4来作一些说明例1 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：(1)4，7，10，13，( )，…(2)84，72，60，( )，( )；(3)2，6，18，( )，( )，…(4)625，125，25，( )，( )；(5)1，4，9，16，( )，…(6)2，6，12，20，( )，( )，…解：通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析，可发现(1)的规律是：前项+3=后项。
所以应填162)的规律是：前项-12=后项所以应填48，363)的规律是：前项3=后项所以应填54，1624)的规律是：前项5=后项所以应填5，15)的规律是：数列各项依次为 1=11， 4=22， 9=33， 16=44， 所以应填55=256)的规律是：数列各项依次为 2=12，6=23，12=34，20=45， 所以，应填 56=30， 67=42 说明：本例中各数列的每一项都只与它的项数有关，因此an可以用n来表示各数列的第n项分别可以表示为(1)an＝3n+1；(2)an＝96-12n；(3)an＝23n-1；(4)an＝55-n；(5)an＝n2；(6)an＝n(n+1) 这样表示的好处在于，如果求第100项等于几，那么不用一项一项地计算，直接就可以算出来，比如数列(1)的第100项等于3100+1=301本例中，数列(2)(4)只有5项，当然没有必要计算大于5的项数了例2 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：(1)1，2，2，3，3，4，( )，( )；(2)( )，( )，10，5，12，6，14，7；(3) 3，7，10，17，27，( )；(4) 1，2，2，4，8，32，( )。
解：通过对各数列已知的几个数的观察分析可得其规律1)把数列每两项分为一组，1，2，2，3，3，4，不难发现其规律是：前一组每个数加1得到后一组数，所以应填4，52)把后面已知的六个数分成三组：10，5，12，6，14，7，每组中两数的商都是2，且由5，6，7的次序知，应填8，43)这个数列的规律是：前面两项的和等于后面一项，故应填( 17+27=)444)这个数列的规律是：前面两项的乘积等于后面一项，故应填(832=)256例3 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：(1)18，20，24，30，( )；(2)11，12，14，18，26，( )；(3)2，5，11，23，47，( )，( )解：(1)因20-18=2，24-20=4，30-24=6，说明(后项-前项)组成一新数列2，4，6，…其规律是“依次加2”，因为6后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故 a5=8+30=382)12-11=1，14-12=2， 18-14=4， 26-18=8，组成一新数列1，2，4，8，…按此规律，8后面为16因此，a6-a5＝a6-26=16，故a6＝16+26=42。
3)观察数列前、后项的关系，后项=前项2+1，所以 a6=2a5+1＝247+1＝95， a7＝2a6+1＝295+1=191例4 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：(1)12，15，17，30， 22，45，( )，( )；(2) 2，8，5，6，8，4，( )，( )解：(1)数列的第1，3，5，…项组成一个新数列12，17， 22，…其规律是“依次加5”，22后面的项就是27；数列的第2，4，6，…项组成一个新数列15，30，45，…其规律是“依次加15”，45后面的项就是60故应填27，602)如(1)分析，由奇数项组成的新数列2，5，8，…中，8后面的数应为11；由偶数项组成的新数列8，6，4，… 中，4后面的数应为2故应填11，2练习5 1、按其规律在下列各数列的( )内填数 1.56，49，42，35，( ) 2.11， 15， 19， 23，( )，… 3.3，6，12，24，( ) 4.2，3，5，9，17，( )，… 5.1，3，4，7，11，( ) 6.1，3，7，13，21，( ) 7.3，5，3，10，3，15，( )，( )。
8.8，3，9，4，10，5，( )，( ) 9.2，5，10，17，26，( ) 10.15，21，18，19，21，17，( )，( ) 11.数列1，3，5，7，11，13，15，171)如果其中缺少一个数，那么这个数是几？应补在何处？(2)如果其中多了一个数，那么这个数是几？为什么？答案与提示练习 1.28 2.27 3.48 4.33提示：“后项-前项”依次为1，2， 4，8，16，… 5.18提示：后项等于前两项之和 6.31提示：“后项-前项”依次为2，4，6，8，10 7.3，20 8.11，6 9.37 提示：an=n2+1 10. 24，15提示：奇数项为15，18，21，24；偶数项为21，19，17，15 11.(1)缺9，在7与11之间；(2)多15，因为除15以外都不是合数2、观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数. ①2，5，8，11，（ ），17，20 ②19，17，15，13，（ ），9，7 ③1，3，9，27，（ ），243 ④64，32，16，8，（ ），2 ⑤1，1，2，3，5，8，（ ），21，34… ⑥1，3，4，7，11，18，（ ），47… ⑦1，3，6，10，（ ），21，28，36，（ ）. ⑧1，2，6，24，120，（ ），5040。
⑨1，1，3，7，13，（ ），31 ⑩1，3，7，15，31，（ ），127，255 (11)1，4，9，16，25，（ ），49，64 (12)0，3，8，15，24，（ ），48，63 (13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（ ）. (14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（ ）.分析与解答 ①不难发现，从第2项开始，每一项减去它前面一项所得的差都等于3.因此，括号中应填的数是14，即：11＋3=14 ② 同①考虑，可以看出，每相邻两项的差是一定值2.所以，括号中应填11，即：13—2=11 不妨把①与②联系起来继续观察，容易看出：数列①中，随项数的增大，每一项的数值也相应增大，即数列①是递增的；数列②中，随项数的增大，每一项的值却依次减小，即数列②是递减的.但是除了上述的不同点之外，这两个数列却有一个共同的性质：即相邻两项的差都是一个定值.我们把类似①②这样的数列，称为等差数列. ③1，3，9，27，（），243 此数列中，从相邻两项的差是看不出规律的，但是，从第2项开始，每一项都是其前面一项的3倍.即：3=13，9= 33， 27=93.因此，括号中应填 81，即 81= 273，代入后， 243也符合规律，即 243＝813。
④64，32，16，8，（），2 与③类似，本题中，从第1项开始，每一项是其后面一项的2倍，即： 因此，括号中填4，代入后符合规律 综合③④考虑，数列③是递增的数列，数列④是递减的数列，但它们却有一个共同的特点：每列数中，相邻两项的商都相等.像③④这样的数列，我们把它称为等比数列 ⑤ 1， 1， 2， 3， 5， 8，（ ）， 21， 34… 首先可以看出，这个数列既不是等差数列，也不是等比数列.现在我们不妨看看相邻项之间是否还有别的关系，可以发现，从第3项开始，每一项等于它前面两项的和.即2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=3＋5.因此，括号中应填的数是 13，即 13=5+8， 21=8+13， 34=13+21 这个以1，1分别为第1、第2项，以后各项都等于其前两项之和的无穷数列，就是数学上有名的斐波那契数列，它来源于一个有趣的问题：如果一对成熟的兔子一个月能生一对小兔，小兔一个月后就长成了大兔子，于是，下一个月也能生一对小兔子，这样下去，假定一切情况均理想的话，每一对兔子都是一公一母，兔子的数目将按一定的规律迅速增长，按顺序记录每个月中所有兔子的数目（以对为单位，一月记一次），就得到了一个数列，这个数列就是数列⑤的原型，因此，数列⑤又称为兔子数列，这些在高年级递推方法中我们还要作详细介绍。
⑥1， 3， 4， 7， 11， 18，（ ），47… 在学习了数列⑤的前提下，数列⑥的规律就显而易见了，从第3项开始，每一项都等于其前两项的和.因此，括号中应填的是29，即 29=11＋18 数列⑥不同于数列⑤的原因是：数列⑥的第2项为3，而数列⑤为1，数列⑥称为鲁卡斯数列 ⑦1，3，6，10，（ ）， 21， 28， 36，（ ） 方法1：继续考察相邻项之间的关系，可以发现： 因此，可以猜想，这个数列的规律为：每一项等于它的项数与其前一项的和，那么，第5项为15，即15=10+5，最后一项即第 9项为 45，即 45＝36＋9.代入验算，正确 方法2：其实，这一列数有如下的规律： 第1项：1=1 第2项：3=1＋2 第3项：6=1+2+3 第4项：10=1+2+3+4 第5项：（ ） 第6项：21=1+2+3+4+5+6 第7项：28=1+2+3+4+5+6+7 第8项；36=1+2+3+4+5+6+7+8 第9项：（ ） 即这个数列的规律是：每一项都等于从1开始，以其项数为最大数的n个连续自然数的和.因此， 第五项为15，即：15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5； 第九项为45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。
⑧1，2，6，24，120，（ ），5040 方法1：这个数列不同于上面的数列，相邻项相加减后，看不出任何规律.考虑到等比数列，我们不妨研究相邻项的商，显然： 所以，这个数列的规律是：除第1项以外的每一项都等于其项数与其前一项的乘积.因此，括号中的数为第6项720，即 720=1206 方法2：受⑦的影响，可以考虑连续自然数，显然： 第1项 1=1 第2项 2=12 第3项 6=123 第4项 24=1234 第5项 120=12345 第6项 （ ） 第7项 5040=1234567 所以，第6项应为 123456=720 ⑨1，1，3，7，13，（ ），31 与⑦类似： 可以猜想，数列⑨的规律是该项=前项+2（项数-2）（第1项除外），那么，括号中应填21，代入验证，符合规律 ⑩1，3，7，15，31，（ ），127，255 则： 因此，括号中的数应填为63 小结：寻找数列的规律，通常从两个方面来考虑：①寻找各项与项数间的关系；②考虑相邻项之间的关系.然后，再归纳总结出一般的规律 事实上，数列⑦或数列⑧的两种方法，就是分别从以上两个不同的角度来考虑问题的.但有时候，从两个角度的综合考虑会更有利于问题的解决.因此，仔细观察，认真思考，选择适当的方法，会使我们的学习更上一层楼。
在⑩题中，1=2-1 3=22-1 7=23-1 15=24-1 31=25-1 127=27-1 255=28-1 所以，括号中为26-1即63 （11）1，4，9，16，25，（ ），49，64. 1=11， 4=22， 9=33， 16=44， 25=55，49= 77，64=88，即每项都等于自身项数与项数的乘积，所以括号中的数是36 本题各项只与项数有关，如果从相邻项关系来考虑问题，势必要走弯路 (12)0，3，8，15，24，（ ）， 48， 63 仔细观察，发现数列(12)的每一项加上1正好等于数列(11)，因此，本数列的规律是项=项数项数-1.所以，括号中填35，即 35= 66-1 (13)1， 2， 2， 4， 3， 8，4， 16， 5，（ ） 前面的方法均不适用于这个数列，在观察的过程中，可以发现，本数列中的某些数是很有规律的，如1，2，3，4，5，而它们恰好是第1项、第3项、第5项、第7项和第9项，所以不妨把数列分为奇数项（即第1，3，5，7，9项）和偶数项（即第2，4，6，8项）来考虑，把数列按奇数和偶数项重新分组排列如下： 奇数项：1，2，3，4，5 偶数项：2，4，8，16 可以看出，奇数项构成一等差数列，偶数项构成一等比数列.因此，括号中的数，即第10项应为32（32=162）。
(14) 2， 1， 4， 3， 6， 9， 8， 27， 10，（ ） 同上考虑，把数列分为奇、偶项： 偶数项：2，4，6，8，10 奇数项：1，3，9，27，（ ）.所以，偶数项为等差数列，奇数项为等比数列，括号中应填81（81=273） 像(13)(14)这样的数列，每个数列中都含有两个系列，这两个系列的规律各不相同，类似这样的数列，称为双系列数列或双重数列3、按一定的规律在括号中填上适当的数： 1.1，2，3，4，5，（ ），7… 2.100，95，90，85，80，（ ），70 3.1，2，4，8，16，（ ），64 5.2，1，3，4，7，（ ），18，29，47 6.1，2，5，10，17，（ ），37，50 7.1，8，27，64，125，（ ），343 8.1，9，2，8，3，（ ），4，6，5，5第三讲 上楼梯问题 有这样一道题目：如果每上一层楼梯需要1分钟，那么从一层上到四层需要多少分钟？如果你的答案是4分钟，那么你就错了.正确的答案应该是3分钟 为什么是3分钟而不是4分钟呢？原来从一层上到四层，只要上三层楼梯，而不是四层楼梯。
下面我们来看几个类似的问题 例1 裁缝有一段16米长的呢子，每天剪去2米，第几天剪去最后一段？ 分析 如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天就可以剪去最后一段，4米里有2个2米，只用1天；如果呢子有6米，第一天剪去2米，还剩4米，第二天就可以剪去最后一段，6米里有3个2米，只用2天；如果呢子有8米，第一天剪去2米，还剩6米，第二天再剪2米，还剩4米，这样第三天即可剪去最后一段，8米里有4个2米，用3天，…… 我们可以从中发现规律：所用的天数比2米的个数少1.因此，只要看16米里有几个2米，问题就可以解决了 解：16米中包含2米的个数：162=8（个） 剪去最后一段所用的天数：8-1=7（天） 答：第七天就可以剪去最后一段 例2一根木料在24秒内被切成了4段，用同样的速度切成5段，需要多少秒？ 可以从中发现规律：切的次数总比切的段数少1.因此，在24秒内切了4段，实际只切了3次，这样我们就可以求出切一次所用的时间了，又由于用同样的速度切成5段；实际上切了4次，这样切成5段所用的时间就可以求出来了 解：切一次所用的时间：24（4-1）=8（秒） 切5段所用的时间：8（5-1）=32（秒） 答：用同样的速度切成5段，要用32秒。
例3三年级同学120人排成4路纵队，也就是4个人一排，排成了许多排，现在知道每相邻两排之间相隔1米，这支队伍长多少米？ 解：因为每4人一排，所以共有：1204=30（排） 30排中间共有29个间隔，所以队伍长：129=29（米） 答：这支队伍长29米 例4 时钟4点钟敲4下，12秒钟敲完，那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？ 分析 如果盲目地计算：124=3（秒）， 36=18（秒），认为敲6下需要18秒钟就错了.请看下图： 时钟敲4下，其间有3个间隔，每个间隔是：123=4（秒）；时钟敲6下，其间共有5个间隔，所用时间为： 45=20（秒） 解：每次间隔时间为：12（4-1）=4（秒） 敲 6下共用的时间为：4（6-1）＝20（秒） 答：时钟敲6下共用20秒 例5.某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开，如从1层走到4层需要48秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？ 分析 要求还需要多少秒才能到达，必须先求出上一层楼梯需要几秒，还要知道从4楼走到8楼共走几层楼梯.上一层楼梯需要：48（4-1）=16（秒），从4楼走到8楼共走8-4=4（层）楼梯。
到这里问题就可以解决了 解：上一层楼梯需要：48（4-1）=16（秒） 从4楼走到8楼共走：8-4=4（层）楼梯 还需要的时间：164=64（秒） 答：还需要64秒才能到达8层 例6晶晶上楼，从1楼走到3楼需要走36级台阶，如果各层楼之间的台阶数相同，那么晶晶从第1层走到第6层需要走多少级台阶？ 分析 要求晶晶从第1层走到第6层需要走多少级台阶，必须先求出每一层楼梯有多少台阶，还要知道从一层走到6层需要走几层楼梯 从1楼到3楼有3-1=2层楼梯，那么每一层楼梯有362=18（级）台阶，而从1层走到6层需要走6-1=5（层）楼梯，这样问题就可以迎刃而解了 解：每一层楼梯有：36（3-1）＝18（级台阶） 晶晶从1层走到6层需要走：18（6-1）=90（级）台阶 答：晶晶从第1层走到第6层需要走90级台阶 注：例1～例4所叙述的问题虽然不是上楼梯，但它和上楼梯有许多相似之处，请同学们自己去体会.爬楼梯问题的解题规律是：所走的台阶数=每层楼梯的台阶数（所到达的层数减起点的层数）习题 1.一根木料截成3段要6分钟，如果每截一次的时间相等，那么截7段要几分钟？ 2.有一幢楼房高17层，相邻两层之间都有17级台阶，某人从1层走到11层，一共要登多少级台阶？ 3.从1楼走到4楼共要走48级台阶，如果每上一层楼的台阶数都相同，那么从1楼到6楼共要走多少级台阶？ 4.一座楼房每上1层要走16级台阶，到小英家要走64级台阶，小英家住在几楼？ 5.一列火车共20节，每节长5米，每两节之间相距1米，这列火车以每分钟20米的速度通过81米长的隧道，需要几分钟？ 6.时钟3点钟敲3下，6秒钟敲完，12点钟敲12下，几秒钟敲完？ 7.某人到高层建筑的10层去，他从1层走到5层用了100秒，如果用同样的速度走到10层，还需要多少秒？ 8.A、B二人比赛爬楼梯，A跑到4层楼时，B恰好跑到3层楼，照这样计算，A跑到16层楼时，B跑到几层楼？ 9.铁路旁每隔50米有一根电线杆，某旅客为了计算火车的速度，测量出从第一根电线杆起到经过第37根电线杆共用了2分钟，火车的速度是每秒多少米？习题解答 1.解：每截一次需要：6（3-1）=3（分钟），截成7段要3（7-1）=18（分钟） 答：截成7段要18分钟。
2.解：从1层走到11层共走：11-1=10（个）楼梯，从1层走到11层一共要走：1710=170（级）台阶 答：从1层走到11层，一共要登170级台阶 3.解：每一层楼梯的台阶数为：48（4-1）=16（级），从1楼到6楼共走：6-1=5（个）楼梯，从1楼到6楼共走：165=80（级）台阶 答：从1楼到6楼共走80级台阶 4.解：到小英家共经过的楼梯层数为：6416=4（层），小英家住在：4＋1=5（楼） 答：小英家住在楼的第5层 5.解：火车的总长度为：520+1（20-1）=119（米），火车所行的总路程：119＋81=200（米），所需要的时间：20020=10（分钟） 答：需要10分钟 6.解：每个间隔需要：6（3-1）=3（秒），12点钟敲12下，需要3（12-1）=33（秒） 答：33秒钟敲完 7.解：每上一层楼梯需要：100（5-1）=25（秒），还需要的时间：25（10-5）=125（秒） 答：从5楼再走到10楼还需要125秒 8.由A上到4层楼时，B上到3层楼知，A上3层楼梯，B上2层楼梯那么，A上到16层时共上了15层楼梯，因此B上25=10个楼梯，所以B上到10＋1=11（层）。
答：A上到第16层时，B上到第11层楼 9.解：火车2分钟共行：50（37-1）=1800（米） 2分钟=120秒 火车的速度：1800120=15（米/秒）答：火车每秒行15米第四讲 植树与方阵问题第四讲 植树与方阵问题一、植树问题要想了解植树中的数学并学会怎样解决植树问题，首先要牢记三要素：①总路线长.②间距（棵距）长.③棵数.只要知道这三个要素中任意两个要素.就可以求出第三个关于植树的路线，有封闭与不封闭两种路线1.不封闭路线例：如图① 若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.如上图把总长平均分成5段，但植树棵数是6棵全长、棵数、株距三者之间的关系是：棵数=段数+1=全长株距+1全长=株距（棵数-1）株距=全长（棵数-1）② 如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：全长=株距棵数；棵数=全长株距；株距=全长棵数③ 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵棵数=段数-1=全长株距-1.如右图所示.段数为5段，植树棵数为4棵株距=全长（棵数+1）2.封闭的植树路线例如：在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数。
如右图所示棵数=段数=周长株距.二、方阵问题学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列.如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）方阵的基本特点是：① 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里一层，每边上的人数就少2② 每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]4；每边人（或物）数=四周人（或物）数4＋1③ 中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数每边人（或物）数例1 有一条公路长900米，在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？分析 要以两棵电线杆之间的距离作为分段标准.公路全长可分成若干段.由于公路的两端都要求栽杆，所以电线杆的根数比分成的段数多1 解：以10米为一段，公路全长可以分成 90010＝90（段） 共需电线杆根数：90+1=91（根） 答：可栽电线杆91根例2 马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米？分析 张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树了；只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度. 解：5分钟汽车共走了： 9（501-1）=4500（米）， 汽车每分钟走：45005=900（米）， 汽车每小时走： 90060=54000（米）=54（千米） 列综合式： 9（501-1）5601000=54（千米） 答：汽车每小时行54千米。
例3 某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？分析 根据四周人数和每边人数的关系可以知： 每边人数=四周人数4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了 解：方阵最外层每边人数：604＋1=16（人） 整个方阵共有学生人数：1616=256（人） 答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人例4 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？分析 方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数 解：最外边一层棋子个数：（14-1）4=52（个） 第二层棋子个数：（14-2-1）4=44（个） 第三层棋子个数：（14-22-1）4=36（个）. 摆这个方阵共用棋子： 52+44＋36＝132（个） 还可以这样想： 中空方阵总个数=（每边个数一层数）层数4进行计算 解：（14-3）34=132（个） 答：摆这个方阵共需132个围棋子。
例5 一个圆形花坛，周长是180米.每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药？多少棵月季？两棵月季之间的株距是多少米？分析 ①在圆形花坛上栽花，是封闭路线问题，其株数=段数.② 由于相邻的两棵芍药花之间等距的栽有两棵月季，则每6米之中共有3棵花，且月季花棵数是芍药的2倍 解：共可栽芍药花：1806＝30（棵） 共种月季花：230＝60（棵） 两种花共：30+60=90（棵） 两棵花之间距离：18090=2（米） 相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍药花，所以月季花的株距是2米或4米 答：种芍药花30棵，月季花60棵，两棵月季花之间距离为2米或4米例6 一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？分析 ①从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.又知道每个小三角形的边上均匀栽9株， 则大三角形边上栽的棵数为 92-1=17（棵） ② 又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，所以大三角形三条边上共栽花 （17-1）3=48（棵）。
③.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.在计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小三角形每条边上栽花棵数为9-2=7（棵） 解：大三角形三条边上共栽花： （92-1-1）3=48（棵） 中间画斜线小三角形三条边上栽花： （9-2）3=21（棵） 整个花坛共栽花：48+21=69（棵） 答：大三角形边上共栽花48棵，整个花坛共栽花69棵习题四1. 一个圆形池塘，它的周长是150米，每隔3米栽种一棵树.问：共需树苗多少株？2.有一正方形操场，每边都栽种17棵树，四个角各种1棵，共种树多少棵？3. 在一条路上按相等的距离植树.甲乙二人同时从路的一端的某一棵树出发.当甲走到从自己这边数的第22棵树时，乙刚走到从乙那边数的第10棵树.已知乙每分钟走36米.问：甲每分钟走多少米？4. 在一根长100厘米的木棍上，从左向右每隔6厘米点一个红点.从右向左每隔5厘米点一个红点，在两个红点之间长为4厘米的间距有几段？题四解答 1.提示：由于是封闭路线栽树，所以棵数=段数， 1503=50（棵） 2.提示：在正方形操场边上栽树.正方形边长都相等，四个角上栽的树是相邻的两条边公有的一棵，所以每边栽树的棵数为17-1=16（棵），共栽：（17-1）4=64（棵） 答：共栽树64棵。
3.解：甲走到第22棵树时走过了22-1＝21（个）棵距.同样乙走过了10-1＝9（个）棵距.乙走到第10棵树，所用的时间为（9棵距36），这个时间也是甲走过21个棵距的时间，甲的速度为：21棵距（9棵距36）=84米/分 答：甲的速度是每分钟84米 4.① 根据已知条件，从左至右每隔6厘米点一红点，不难算出共有17个点（包括起点，终点）并余4厘米②100厘米长的棒从右到左共点21个点，可分为20段，而最后一点与端点重合，相当于从左到右以5厘米的间距画点.③ 在5与6的公倍数30中，不难看出有2个4厘米的小段；同样在第二个和第三个30厘米中也各有2个，剩下的10厘米只有一个4厘米的小段，所以在100厘米的木棍上只能有23+1=7（段）4厘米长的间距.植树问题一、填空题1.在相距100米的两楼之间栽树,每隔10米栽1棵,共栽了 棵树.2.圆形滑冰场周长400米,每隔20米装一盏灯,共要装 盏灯.3.一段公路长3600米,在公路两旁每隔9米栽一棵梧桐树,两端都栽,共栽梧桐树 棵.4.在一个半径是125米的圆形花园周围以等距离种白杨树157棵,则两树间的距离是 米.5.一个湖泊周长1800米,沿湖泊周围每隔3米栽一棵柳树,每两棵柳树中间栽一棵桃树,湖泊周围栽柳树 棵,栽桃树 棵.6.一块三角形地,三边之长分别为156米、234米、186米,要在三边上植树,株距6米,三个角上各有一棵,共植树 棵.7.一条马路长440米,在路的两旁每隔8米种一棵树,两边都种,共种 棵树.8.两棵柳树相距408米,计划在这两棵树之间补栽小树23棵,每两棵树间隔相等,则树的间隔 米.9.公路的每边相隔7米有一棵槐树,芳芳乘电车3分钟看到公路的一边有槐树151棵,电车的速度是每分钟 米.10.国庆节接受检阅的一列车队共52辆,每辆车长4米,前后每辆车相隔6米,车队每分钟行驶105米.这列车队要通过536米长的检阅场地,要 分钟.二、解答题11.参加阅兵的战士有1200人,平均分成5个大队,队距是7.5米.每队6人为一排,排距是2米.整个队伍的总长有多少米.12.锯一条4米长的圆柱形的钢条,锯5段耗时1小时20分.如果把这样的钢条锯成半米长的小段,需要多少分钟.13.一人以相等的速度在小路上散步,从第一棵树走到第12棵树用了11分钟,如果这个人走了25分钟,应走到的第几棵树.14.在一个正方形的场地四周种树,四个顶点都有一棵,这样每边都种有24棵,四周共种多少棵树.———————————————答 案——————————————————————一、填空题1． 因为两端不能栽树,所以:棵数=间隔数-1=10010-1=9（棵）2． 间隔数为:40020=20因为是环形问题,装灯的盏数等于间隔数,共要装订20盏.3. 间隔数为:36009=400栽数棵数=(间隔数+1)2=4012=802(棵)4. 半径为125米的圆周长为:23.14125=785(米)因为环形问题的棵数等于间隔数,所以间隔数为157.间距=785157=5(米)5. 间隔数=18003=600因为是环形问题,所以栽柳数为600棵.因为每两棵柳树中间栽一棵桃树,即每个间隔内栽一棵桃树,所以栽桃树600棵.6. 因为1566=26 2346=39 1866=31又因为三个角上各有一棵,所以共植树:(26+1)+(39+1)+(31+1)-3=27+40+32-3=96(棵)7. 间隔数=4408=55因为两边都种树,所以共种树:(55+1)2=112(棵)8. 间隔数=棵数-1=(23+2)-1=24间距=路长间隔数=40824=17(米)9. 路长=间隔数间距=(151-1)7=1050(米)速度=路程时间=10503=350(米)所以速度为每分钟350米.10. 因为车队行驶的路程等于检阅场地的长度与车队长度的和.所以所需时间为: [452+6(52-1)+536]105 =[208+306+536]105 =1050105 =10(分钟)二、解答题11. 由题意,队伍总长为: 7.5(5-1)+2(120056-1)5 =7.54+2395 =420(米)12. 由题意,所需时间为: 锯一刀所需时间要锯的刀数. =(601+20)(5-1)(40.5-1) =8047 =140(分钟)13. 由从第1棵走到第12棵,共走了11个间隔,用了11分种,得出每分钟走1个间隔.所以25分钟,走了25个间隔,所以应走到第25+1=26棵树. 14. 由题意,四周共有:(24-1)4=92(棵)第五讲 归一问题和归总问题 为什么把有的问题叫归一问题？我国珠算除法中有一种方法，称为归除法.除数是几，就称几归；除数是8，就称为8归.而归一的意思，就是用除法求出单一量，这大概就是归一说法的来历吧！ 归一问题有两种基本类型.一种是正归一，也称为直进归一.如：一辆汽车3小时行150千米，照这样，7小时行驶多少千米？另一种是反归一，也称为返回归一.如：修路队6小时修路180千米，照这样，修路240千米需几小时？ 正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量；不同点在第二步.正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量。
例1 一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样速度1小时爬行多少米？ 分析 为了求出蜗牛1小时爬多少米，必须先求出1分钟爬多少分米，即蜗牛的速度，然后以这个数目为依据按要求算出结果 解：①小蜗牛每分钟爬行多少分米？ 126=2（分米） ② 1小时爬几米？1小时=60分 260=120（分米）=12（米） 答：小蜗牛1小时爬行12米 还可以这样想：先求出题目中的两个同类量（如时间与时间）的倍数（即60分是6分的几倍），然后用1倍数（6分钟爬行12分米）乘以倍数，使问题得解 解：1小时=60分钟 12（606）＝1210＝120（分米）＝12（米） 或 12（660）＝120.1=120（分米）=12（米） 答：小蜗牛1小时爬行12米 例2 一个粮食加工厂要磨面粉20000千克.3小时磨了6000千克.照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？ 方法1： 分析 通过3小时磨6000千克，可以求出1小时磨粉数量.问题求磨完剩下的要几小时，所以剩下的量除以1小时磨的数量，得到问题所求 解：（20000-6000）（60003）=7（小时） 答：磨完剩下的面粉还要7小时。
方法2：用比例关系解 解：设磨剩下的面粉还要x小时 6000x＝314000 x=7（小时） 答：磨完剩下的面粉还要7小时 例3 学校买来一些足球和篮球.已知买3个足球和5个篮球共花了281元；买3个足球和7个篮球共花了355元.现在要买5个足球、4个篮球共花多少元？ 分析 要求5个足球和4个篮球共花多少元，关键在于先求出每个足球和每个篮球各多少元.根据已知条件分析出第一次和第二次买的足球个数相等，而篮球相差7-5＝2（个），总价差355-281＝74（元）.74元正好是两个篮球的价钱，从而可以求出一个篮球的价钱，一个足球的价钱也可以随之求出，使问题得解 解：①一个篮球的价钱：（355-281）（7-5） =37元 ②一个足球的价钱：（281-375）3＝32（元） ③共花多少元？ 325＋374=308（元） 答：买5个足球，4个篮球共花308元 例4 一个长方体的水槽可容水480吨.水槽装有一个进水管和一个排水管.单开进水管8小时可以把空池注满；单开排水管6小时可把满池水排空.两管齐开需多少小时把满池水排空？ 分析 要求两管齐开需要多少小时把满池水排光，关键在于先求出进水速度和排水速度.当两管齐开时要把满池水排空，排水速度必须大于进水速度，即单位时间内排出的水等于进水与排水速度差.解决了这个问题，又知道总水量，就可以求出排空满池水所需时间。
解：①进水速度：4808=60（吨/小时） ②排水速度：4806=80（吨/小时） ③排空全池水所需的时间：480（80-60）=24（小时） 列综合算式： 480（4806-4808）=24（小时） 答：两管齐开需24小时把满池水排空 例5 7辆“黄河牌”卡车6趟运走336吨沙土.现有沙土560吨，要求5趟运完，求需要增加同样的卡车多少辆？ 方法1： 分析 要想求增加同样卡车多少辆，先要求出一共需要卡车多少辆；要求5趟运完560吨沙土，每趟需多少辆卡车，应该知道一辆卡车一次能运多少吨沙土 解：①一辆卡车一次能运多少吨沙土？ 33667=567=8（吨） ②560吨沙土，5趟运完，每趟必须运走几吨？ 5605＝112（吨） ③需要增加同样的卡车多少辆？ 1128-7＝7（辆） 列综合算式： 5605（33667）-7＝7（辆） 答：需增加同样的卡车7辆 方法2： 在求一辆卡车一次能运沙土的吨数时，可以列出两种不同情况的算式：①33667，②33676.算式①先除以6，先求出7辆卡车1次运的吨数，再除以7求出每辆卡车的载重量；算式②，先除以7，求出一辆卡车6次运的吨数，再除以6，求出每辆卡车的载重量。
在求560吨沙土5次运完需要多少辆卡车时，有以下几种不同的计算方法：求出一共用车14辆后，再求增加的辆数就容易了 例6 某车间要加工一批零件，原计划由18人，每天工作8小时，7.5天完成任务.由于缩短工期，要求4天完成任务，可是又要增加6人.求每天加班工作几小时？ 分析 我们把1个工人工作1小时，作为1个工时.根据已知条件，加工这批零件，原计划需要多少“工。