福建师范大学21秋《近世代数》作业二答案参考1. 一平面通过点(2，1，0)且与各坐标轴的截距相等，求此平面的方程．一平面通过点(2，1，0)且与各坐标轴的截距相等，求此平面的方程．设所求平面在三个坐标轴上的截距为a，则平面的截距式方程为 又因为平面过点(2，1，0)，得a=3， 所以平面方程为 x+y+z-3=0． 2. 设某产品在时期t的价格、总供给与总需求分别为Pt，St与D并设对于t＝0，1，2，…，有 (1)St＝2Pt＋1 (2)设某产品在时期t的价格、总供给与总需求分别为Pt，St与D并设对于t＝0，1，2，…，有 (1)St＝2Pt＋1 (2)Dt＝－4Pt－1＋5 (3)St＝Dt (Ⅰ)求证：由(1)、(2)、(3)可推出差分方程Pt＋1＋2Pt＝2； (Ⅱ)已知P时，求上述方程的解．正确答案：3. 设f(x)在[0，1]上连续，取正值且单调减少，证明设f(x)在[0，1]上连续，取正值且单调减少，证明作 (因f(x)单调减少，f(t)-f(x)＞0，0＜t＜α≤x)要证，作辅助函数只要证F(β)＞0，证F(x)＞0即可，这种函数不等式的证明可用微分学方法 4. 设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，令U=______，可使U服从N(0，1)的正态分布。
设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，令U=______，可使U服从N(0，1)的正态分布5. 设G=(V，E)为无向简单图，|V|=n，Δ(G)为图G中结点的最大次数，请指出下面4个中哪个不等式是正确的． (1)Δ(G)＜n；设G=(V，E)为无向简单图，|V|=n，Δ(G)为图G中结点的最大次数，请指出下面4个中哪个不等式是正确的． (1)Δ(G)＜n； (2)Δ(G)≤n； (3)Δ(G)＞n； (4)Δ(G)≥n．(1)是正确的，即此时图中结点的最大次数小于结点的个数．6. 若β可以由向量组α1，α2，…，αm线性表出，则β，α1，α2，…，αm线性相关． 若β不能由向量组α1，α2，…，αm线性表出，则β，α1，若β可以由向量组α1，α2，…，αm线性表出，则β，α1，α2，…，αm线性相关． 若β不能由向量组α1，α2，…，αm线性表出，则β，α1，α2，…，αm线性无关？[例] 上题中，α1不能由α2，α3线性表出，但α1，α2，α3线性相关．7. 计算第一类曲线积分∫Lf(x，y)ds时，要注意哪些问题?计算第一类曲线积分∫Lf(x，y)ds时，要注意哪些问题?(1)如果积分弧段L用显式方程y=y(x)(a≤x≤b)给出，则可把它当作特殊的参数方程x=t，y-y(t)(a≤t≤b)的情形来处理．但此时有一点要注意：有些可用参数方程统一表示的曲线(特别如闭曲线)，若用显式方程y=y(x)(或x=x(y))来表示，也许需要分弧段表示．比如圆L：x=cost，y=sint(0≤t≤2π)，若用显式方程表示．则需分成上半圆L1：(-1≤x≤1)和下半圆L2：(-1≤x≤1)，这时计算在L上的第一类曲线积分就要分别计算在L1和L2上的第一类曲线积分，然后把结果相加． 如果积分弧段L用极坐标方程ρ=ρ(θ)(α≤θ≤β)表示，则可把它看作是特殊的参数方程 x=ρ(θ)cosθ， y=ρ(θ)sinθ(α≤θ≤β) 的情形处理．容易算得，此时 (2)如同重积分那样，也可以利用对称性来化简第一类曲线积分的计算，有关结论与重积分的情况类似．比如，若积分弧段L关于x轴对称，而被积函数f(x，y)关于y是奇函数，则∫Lf(x，y)ds=0；若f(x，y)关于y是偶函数，则∫Lf(x，y)ds=2∫L1f(x，y)ds，其中L1是L上的y≥0的那一部分弧段．又若L关于直线y=x对称，则∫Lf(x，y)ds=∫Lf(y，x)ds，等等．读者可类比得出其他情况下的结论． 计算第一类曲线积分时，还可以利用积分弧段L的方程来化简被积函数(计算第二类曲线积分时也可以这样处理)．由于积分变量x，y取在L上，故x，y满足L的方程，因此，需要时可将L的方程代入被积函数，达到化简的目的，这是计算曲线积分(以及以后的曲面积分)特有的方法． 8. 求由下列方程所确定的隐函数的导数： (1) (2)x^2 (3) (4) (5) (6)求由下列方程所确定的隐函数的导数： (1) (2)x^2 (3) (4) (5) (6)令 F(x，y)＝x2y+3x4y3-4， 因为 所以 (2)令 因为 所以 (3)令 因为 所以 (4)在等式两边分别微分： 所以 解出 化简有 故 (5)令 因为 所以 (6)令 因为 所以 9. 在区间[0，1]上任取两点P，Q，求它们之间距离Z=|PQ|的概率密度fZ(z)，以及概率P{Z≤1/6}．在区间[0，1]上任取两点P，Q，求它们之间距离Z=|PQ|的概率密度fZ(z)，以及概率P{Z≤1/6}．当0≤z≤1时，fZ(z)=2(1-z)．P{Z≤1/6}=11/36．经常将相遇问题作为几何概率的例题．用二维随机变量的函数是另一种选择，题2中的概率就是一个相遇问题的解．10. 求方程(x2y2－y)dx＋(2x3y＋x)dy=0的通解．求方程(x2y2-y)dx+(2x3y+x)dy=0的通解． 故得解 x2y2+y=cx 11. 设向量的始点为P1(2，0，-1)，，方向余弦中的；，求向量的坐标表示式及终点坐标．设向量的始点为P1(2，0，-1)，，方向余弦中的；，求向量的坐标表示式及终点坐标．设终点P2(x，y，z)=(x-2)i+(y-0)j+(z+1)k 于是，终点坐标是 向量的坐标表示式是 12. 设ξ服从泊松分布，且已知P{ξ=1}=P{ξ=2}，求P{ξ=4}．设ξ服从泊松分布，且已知P{ξ=1}=P{ξ=2}，求P{ξ=4}．由P{ξ=1}=P{ξ=2}，得，所以λ=2． 因此 13. 在yOx面上，求与A(3，1，2)，B(4，－2，－2)和C(0，5，1)等距的点.在yOx面上，求与A(3，1，2)，B(4，－2，－2)和C(0，5，1)等距的点.正确答案：14. 已知当x≠0时，函数，若函数f(x)在点x=0处连续，则函数值f(0)=______．已知当x≠0时，函数，若函数f(x)在点x=0处连续，则函数值f(0)=______．2由于函数f(x)在点x=0处连续，因而函数值f(0)等于极限．注意到在x→0的过程中，恒有x≠0，这时函数，因此所求函数值 于是应将“2”直接填在空内． 15. 如果n阶矩阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵．证明：如果A为幂等矩阵，且A～B，则B是幂等矩阵．如果n阶矩阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵．证明：如果A为幂等矩阵，且A～B，则B是幂等矩阵．因A～B，则存在非奇异矩阵P，使得P-1AP=B，从而B2=P-1A2P-1=AP=B．由幂等矩阵的定义可知，B也是幂等矩阵．16. 求使直线χ＝0，y＝0，χ＋2y－1＝0分别变为直线χ＋y＝0，χ－y＝0，χ＋2y－1＝0的仿射变换．求使直线χ＝0，y＝0，χ＋2y－1＝0分别变为直线χ＋y＝0，χ－y＝0，χ＋2y－1＝0的仿射变换．正确答案：设所求仿射变换为：\r\n 解：设所求仿射变换为：\r\n\r\n 由此得到：χ′＋y′＝(a11＋a21)χ＋(a12＋a22)y＋(a13＋a23)．\r\n 因为直线χ＝0对应直线χ′y′＝0于是有\r\n\r\n 又直线y＝0对应直线χ′－y′＝0于是有\r\n\r\n 同理直线χ＋2y－1＝0对应直线χ′＋2y′－1＝0有\r\n\r\n 由①、②、③可解得a13＝a23＝0a11＝a21＝\r\n －a12＝a22＝2．\r\n 因此所求仿射变换为：\r\n设所求仿射变换为：解：设所求仿射变换为：由此得到：χ′＋y′＝(a11＋a21)χ＋(a12＋a22)y＋(a13＋a23)．因为直线χ＝0对应直线χ′y′＝0,于是有又直线y＝0对应直线χ′－y′＝0,于是有同理直线χ＋2y－1＝0对应直线χ′＋2y′－1＝0,有由①、②、③可解得a13＝a23＝0,a11＝a21＝,－a12＝a22＝2．因此所求仿射变换为：17. 求直线l1：与直线l2：的公垂线方程．求直线l1：与直线l2：的公垂线方程．根据题意知公垂线的方向向量可取 ， l1与公垂线所确定平面Π1的法向量为 , 点(9，-2，0)在平面Π1上，故Π1的方程为 -16(x-9)-27(y+2)-17(z-0)=0, 即 16x+27y+17z-90=0. 同理，l2与公垂线所确定平面H2的法向量为 , 点(0，-7，7)在平面Π2上，故Π2的方程为 58(x-0)+6(y+7)+31(z-7)=0, 即 58x+6y+31z-175=0. Π1与Π2的交线即为l1与l2的公垂线，故公垂线方程为 18. 最大似然估计的统计思想是什么?最大似然估计的统计思想是什么?19. 调查表是调查方案的核心部分，它是容纳______，搜集原始资料的基本工具。
调查表是调查方案的核心部分，它是容纳______，搜集原始资料的基本工具调查项目20. 设z=x2y，在点(1，2)处，当Δx=0.1，Δy=0.2时，求Δz和dz．设z=x2y，在点(1，2)处，当Δx=0.1，Δy=0.2时，求Δz和dz．Δz=0.662，dz=0.621. 设f为以2π为周期，且具有二阶连续可微的函数， 若级数绝对收敛，则设f为以2π为周期，且具有二阶连续可微的函数， 若级数绝对收敛，则 由于f是以2π为周期，且具有二阶连续可微的函数，由§3习题1知b"n=-n2bn，再由§3习题3(2)知，即有 故 22. 设A∈Rn×n，则存在有限个Givens矩阵(或Householder矩阵)的乘积Q，使得QAQT为上Hessenberg矩阵．设A∈Rn×n，则存在有限个Givens矩阵(或Householder矩阵)的乘积Q，使得QAQT为上Hessenberg矩阵．仅讨论使用Givens矩阵的情形． 第1步：设A=(aij)n×n，记β(0)=(a21，…，an1)T∈Rn-1，当β(0)=0时转入 第2步；β(0)≠0时，构造有限个Givens矩阵的乘积T0，使得 T0/β(0)=|β(0)|e1 (e1∈Rn-1)． 记，则有 = 第2步：A(1)∈R(n-1)×(n-1)，记∈Rn-2，当β(1)=0时转入第3步；β(1)≠0时，构造有限个Givens矩阵的乘积T1，使得 T1/β(1)=|β(1)|e1 (e1∈Rn-2)． 记，则有 第3步：A(2)∈R(n-2)×(n-2)，… 第n-2步：，记 当β(n-3)=0时结束；β(n-3)≠0时，构造Givens矩阵Tn-3，使得 Tn-3β(n-3)=|β(n-3)|e1 (e1∈R2)． 记，则有 最后，构造正交矩阵 可使QAQT为上Hessenberg矩阵． 证毕． 23. 因为一元函数y=f(x)在点x0处的可微性与可导性是等价的，所以有人说“微分就是导数，导数就是微分”，这种说法对因为一元函数y=f(x)在点x0处的可微性与可导性是等价的，所以有人说“微分就是导数，导数就是微分”，这种说法对吗？该说法不对． 从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念． 从几何意义上讲，函数在某点的导数的几何意义是该函数表示的曲线方程在该点的切线的斜率；函数在某点的微分的几何意义是该函数表示的曲线方程在该点的纵坐标的增量． 24. 对于二次三次的整系数多项式判断是否可约首选哪种方法?A、Eisenstein判别法B、函数法C、求有理根对于二次三次的整系数多项式判断是否可约首选哪种方法?A、Eisenstein判别法B、函数法C、求有理根法D、反证法正确答案： C25. 符号化下列命题，并推证其结论．符号化下列命题，并推证其结论．令R(x)：x是实数；Q(x)：x是有理数；I(x)：x是整数．命题符号化为 (x)(Q(x)→R(x))∧(x)(Q(x)∧I(x))(x)(R(x)∧I(x))． ①(x)(Q(x)∧I(x)) P ②Q(c)∧I(c) ①ES ③(x)(Q(x)→R(x)) P ④Q(c)→R(c) ③US ⑤Q(c) ②T，I ⑥R(c) ④⑤T，I ⑦I(c) ②T，I ⑧R(c)∧I(c) ⑥⑦T，I ⑨(x)(R(x)∧I(x)) ⑧EG$令P(x)：x喜欢步行；Q(x)：x喜欢乘汽车；R(x)：x喜欢骑自行车．命题符号化为 (x)(P(x)→￢Q(x))，(x)(Q(x)∨R(x))，(x)￢R(x)(x)￢P(x)． ①(x)￢R(x) P ②￢R(c) ①ES ③(x)(Q(x)∨R(x)) P ④Q(c)∨R(c) ③US ⑤Q(c) ②④T，I ⑥(x)(P(x)→￢Q(x)) P ⑦P(c)→￢Q(c) ⑥US ⑧￢P(c) ⑤⑦T，I ⑨(x)]P(x) ⑧EG$令G(x)：x是大学生；L(x)：x是文科学生；P(x)：x是理工科学生；S(x)：x是优秀生；c：小张．命题符号化为 (x)(G(x)→L(x)∨P(x))，(x)(G(x)∧S(x))，￢P(c)，S(c)G(c)→L(c)． ①G(c) P(附加前提) ②(x)(G(x)→L(x)∨P(x)) P ③G(c)→L(c)∨P(c) ②US ④L(c)∨P(c) ①③T，I ⑤￢P(c) P ⑥L(c) ④⑤T，I ⑦G(c)→L(c) CP 26. 已知三阶行列式，元素a22的余子式是______，a31的代数余子式是______，按第3列的展开式为______．已知三阶行列式，元素a22的余子式是______，a31的代数余子式是______，按第3列的展开式为______．$(-1)3+1$27. 设f(x)，g(x)是E上的非负可测函数。
若 f(x)=g(x)， a.e.x∈E， 则 ∫Ef(x)dx=∫Eg(x)dx设f(x)，g(x)是E上的非负可测函数若 f(x)=g(x)， a.e.x∈E， 则 ∫Ef(x)dx=∫Eg(x)dx令E1={x∈E:f(x)≠g(x)}，E2=E\E1，m(E1)=0，于是有 ∫EF(x)dx=∫Ef(x)[χE1(x)+χE2(x)]dx =∫E1f(x)dx+∫E2f(x)dx =∫E1g(x)dx+∫E2g(x)dx=∫Eg(x)dx 28. 求两条相交直线，的交角的平分线方程求两条相交直线，的交角的平分线方程与29. 设函数f(x)＝x2(x－1)(x－2)，则f(x)的零点个数为A．0B．1C．2D．3设函数f(x)＝x2(x－1)(x－2)，则f(x)的零点个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：D[详解]因为f(0)＝f(1)＝f(2)＝0，因此f\"(x)在区间(0，1)和(1，2)上各至少有一个零点，又显然f\"(0)＝0，因此f\"(x)的零点个数为3，故应选(D)．[评注]若直接计算f\"(x)有f\"(x)＝x(4x2－9x＋4)也可推导出f\"(x)的零点个数为3．30. 求微分方程y"+2y&39;-3y=2ex-1的通解．求微分方程y"+2y'-3y=2ex-1的通解．31. 求f(x)的不定积分时，其结果的表达形式是否惟一？求f(x)的不定积分时，其结果的表达形式是否惟一？不惟一．其原因在于原函数不惟一，如果f(x)在I上有一个原函数，那么f(x)在I上就有无限多个原函数．因此如果F1(x)和F2(x)都是f(x)的原函数，则 ， ． 例如 sin2x和都是sin2x的原函数. 根据导数性质和拉格朗日定理的推论，要验证F1(x)和F2(x)是同一函数的原函数，只要证明 F2(x)-F1(x)=C. 例如：上述两个函数sin2x和满足.当然，也可通过求导运算证明F'2(x)=F'1(X)，则F1(X)和F2(x)必定是同一函数的原函数．例如：上述两个函数sin2x和，有 ． 32. 已知向量组α1＝(1，2，＝1，1)，α2＝(2，0，t，0)，α3＝(0，－4，5，－2)的秩为2，则t＝________．已知向量组α1＝(1，2，＝1，1)，α2＝(2，0，t，0)，α3＝(0，－4，5，－2)的秩为2，则t＝________．正确答案：应填3．[分析]向量组的秩小于向量的个数时，可用行列式为0或初等行变换来讨论．[详解1]由于r(α1，α2，α3)＝2，则矩阵的任一个三阶子阵的行列式的值为零，即解得t＝3．[详解2]r(α1，α2，α3)＝2→t＋2＝5，即t＝3．[评注]反求参数，一般均可联想到某行列式为零，但初等行变换对于具体的向量组始终是一个有力的工具．33. 画一个无向简单图，使它满足：画一个无向简单图，使它满足：见下图(a) $见图(b)$见图(c)$见图(d) 34. 验证下列函数满足波动方程utt＝a2uxx： (1)u＝sin(kx)sin(akt)； (2)u＝ln(x＋at)； (3)u＝sin(x－at验证下列函数满足波动方程utt＝a2uxx： (1)u＝sin(kx)sin(akt)； (2)u＝ln(x＋at)； (3)u＝sin(x－at)．正确答案：(1)ux＝kcos(kx)sin(akt) uxx＝－k2sin(kx)sin(akt) ut＝aksin(kx)cos(akt)\r\nutt＝－a2k2sin(kx)sin(akt)\r\n综上utt＝a2uxx成立；\r\n\r\n综上utt＝a2uuxx成立；\r\n(3)ux＝cos(x－at)uxx＝－asin(x－at) ut＝－acos(x－at) utt＝a2sin(x－at)\r\n综上utt＝a2uxx成立．(1)ux＝kcos(kx)sin(akt)uxx＝－k2sin(kx)sin(akt)ut＝aksin(kx)cos(akt)utt＝－a2k2sin(kx)sin(akt)综上,utt＝a2uxx成立；综上,utt＝a2uuxx成立；(3)ux＝cos(x－at)uxx＝－asin(x－at)ut＝－acos(x－at)utt＝a2sin(x－at)综上,utt＝a2uxx成立．35. 设A，B，C为三相异共线点，求证：可适当选择A，B的齐次坐标a，b，而使c＝a＋b，其中c是C点的齐次坐标，写出设A，B，C为三相异共线点，求证：可适当选择A，B的齐次坐标a，b，而使c＝a＋b，其中c是C点的齐次坐标，写出对偶情况．正确答案：设ABC的齐次坐标分别为a1、b1、c则根据定理3．4存在常数lm使c＝la1＋mb1\r\n 因为ABC为不同的点所以l≠0m≠0取A点的坐标为la1B点的坐标为mb1则有c＝a＋b．设A,B,C的齐次坐标分别为a1、b1、c,则根据定理3．4,存在常数l,m,使c＝la1＋mb1,因为A,B,C为不同的点,所以l≠0,m≠0,取A点的坐标为la1,B点的坐标为mb1,则有c＝a＋b．36. 验证极限存在，但不能用洛必达法则求出．验证极限存在，但不能用洛必达法则求出．若用洛必达法则，则因 不存在故题设极限不能用洛必达法则求出． 37. 设f (x) 和g (x) 都在x=a处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a处( )。
A、必须取得极大值B、设f (x) 和g (x) 都在x=a处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a处( )A、必须取得极大值B、必须取得极小值C、不取极值D、不能确定正确答案： D38. 线性方程组都可用克莱姆规则求解 )线性方程组都可用克莱姆规则求解 )参考答案：错误错误39. R2与样本相关系数有什么关系?R2与样本相关系数有什么关系?如记{x1，…，xn}与{y1，…，yn)的样本相关系数为rxy，即 则有关系R2=(rxy)2． 事实上，因 所以 因此R2=1，对应着|rxy|=1，x与y有最大线性相关；R2=0，x与y无线性相关关系．但用rxy说明回归直线的拟合程度需慎重，例如当rxy=0.5时，只能推出R2=0.25，也就是说回归的变异只能解释响应变量变异的，而不是一半! 40. f(x1，x2，x3)=10x12+8x1x2+24x1x3+2x22一28x2x2+x2；f(x1，x2，x3)=10x12+8x1x2+24x1x3+2x22一28x2x2+x2；正确答案：因为所以这个二次型不是正定的因为所以这个二次型不是正定的41. 设(X1，X2，…，Xn)是取自正态总体N(μ，1)的一个样本，其中μ未知，-∞＜μ＜+∞．试求kμ+C的双侧1-α置信区间，其中k，C是常设(X1，X2，…，Xn)是取自正态总体N(μ，1)的一个样本，其中μ未知，-∞＜μ＜+∞．试求kμ+C的双侧1-α置信区间，其中k，C是常数，k＞0．由于σ已知，选用样本函数的分布42. 设M={1，2，3)，σ与τ是M的置换：，，求σ-1，，，τ-1．设M={1，2，3)，σ与τ是M的置换：，，求σ-1，，，τ-1． 43. 甲、乙、丙、丁四人争夺乒乓球单打冠军，已知情况如下： 前提：(a)若甲获冠军，则乙或丙获亚军； (b)若乙获亚军，甲、乙、丙、丁四人争夺乒乓球单打冠军，已知情况如下： 前提：(a)若甲获冠军，则乙或丙获亚军； (b)若乙获亚军，则甲不能获冠军； (c)若丁获亚军，则丙不能获亚军； 事实是：(d)甲获冠军； 结论是：(e)丁没有获亚军。
请证明此结论是有效结论[证明]如果令 P：甲获冠军； Q：乙获亚军； R：丙获亚军； S：丁获亚军 由题意可知，需证明 P→(QR)，Q→￢P，S→￢R， 用间接证明法： ①S P(附加前提) ②S→￢R P ③￢R T①，② ④P P ⑤P→(QR) P ⑥QR T④，⑤ ⑦(￢Q→R)∧(R→￢Q) T⑥ ⑧￢Q→R T⑦ ⑨Q→￢P P ⑩￢Q T④，⑨ (11)R T⑧，⑩ (12)R∧￢R(矛盾) T③，(11) 44. 在Re(p)在Re(p)A、0.0B、1.0C、2.0D、3.0正确答案： A45. 如果一个n(n＞1)阶行列式中元素均为+1或-1，则行列式的值是否一定为偶数?如果一个n(n＞1)阶行列式中元素均为+1或-1，则行列式的值是否一定为偶数?正确答案：一定根据行列式的性质若将该行列式的任意一行加到另外一行对应元素上去得到的行列式中一定有一行元素全为偶数(零也是偶数)则该行元素可提出公因子2剩下的行列式元素都是整数其值也是整数乘以2后必定是偶数故行列式的值一定为偶数。
一定根据行列式的性质,若将该行列式的任意一行加到另外一行对应元素上去,得到的行列式中一定有一行元素全为偶数(零也是偶数),则该行元素可提出公因子2,剩下的行列式元素都是整数,其值也是整数,乘以2后必定是偶数,故行列式的值一定为偶数46. 重积分的被积表达式f(x，y)dσ，f(x，y，z)dV的含义是什么?重积分的被积表达式f(x，y)dσ，f(x，y，z)dV的含义是什么?正确答案：47. 求微分方程x"+kx=0的通解．求微分方程x"+kx=0的通解．特征方程为λ3+k=0． 当k=0时，有通解为：x=C1+C2t+C3t2， 当k≠0时，特征根分别为通解为 48. 求两平面π1：2x-y+z=7；π2：x+y+2z=11之间的夹角．求两平面π1：2x-y+z=7；π2：x+y+2z=11之间的夹角．+1=2i-j+k；=i+j+2k；=2×1+(-1)×1+1×2=3 ； 记 49. 列出多重集S={2·a，1·b，3·c}的所有3-组合和4-组合列出多重集S={2·a，1·b，3·c}的所有3-组合和4-组合3-组合包括：{2·a，1·b}，{2·a，1·c}，{1·a，1·b，1·c}，{1·a，2·c}，{1·b，2·c}，{3·c}。
4-组合包括：{2·a，1·b，1·c}，{2·a，2·c}，{1·b，3·c}，{1·a，1·b，2·c}，{1·a，3·c} 50. 设f(x)在x=a的某个邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是( )． (A)存在 (B)存在 (C)存在 (D)设f(x)在x=a的某个邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是( )． (A)存在 (B)存在 (C)存在 (D)存在D由 可知，正确者为(D)． 51. 据推测认为，矮个子的人比高个子的人寿命要长一些．下面将美国31个自然死亡的总体分为矮个子与高个子两类(以1据推测认为，矮个子的人比高个子的人寿命要长一些．下面将美国31个自然死亡的总体分为矮个子与高个子两类(以172.72 em(5英尺8英寸)为界)．其寿命如下： 短个子8579679080高个子6853637088746466606078716790737177725778675663648365 设两个寿命总体服从正态分布，且方差相等，问：数据显示是否符合推测(α=0.05)?这是，但σ2未知的双总体均值的单侧检验，α=0.05． 待检假设 H0：μ1＜μ2，H1：μ1≥μ2． 由=80.2，=69.15，s1=8.585，s2=9.315，n1=5，n2=26，计算T检验统计量得 此处，δ=μ1-μ2． 查表得t0.05(29)=1.6991，经比较知t=2.4564＞t0.05(29)=1.6991，故拒绝H0，认为推测正确，矮个子人的寿命高于高个子人的寿命． 52. 设函数f(x)在[-2，2]上可导，且f(-2)=0，f(0)=2，f(2)=0．试证曲线弧C：y=f(x)(-2≤x≤2)上至少有一点处的切线平行设函数f(x)在[-2，2]上可导，且f(-2)=0，f(0)=2，f(2)=0．试证曲线弧C：y=f(x)(-2≤x≤2)上至少有一点处的切线平行于直线x-2y+1=0．[证] 直线x-2y+1=0的斜率为，要证至少存在一点ξ∈(-2,2)，使. 设 ，φ(x)在[0，2]上连续，φ(0)=2，φ(2)=-1，由介值定理知至少存在一点η∈(0，2)使φ(η)=1，又φ(-2)=1，φ(x)在[-2，η]上满足罗尔定理条件，故至少存在一点，使φ'(ξ)=0，即． 53. 设A是数域K上s×η矩阵．证明：如果对于Kn中任一列向量η，都有Aη=0，则A=0．设A是数域K上s×η矩阵．证明：如果对于Kn中任一列向量η，都有Aη=0，则A=0．正确答案：假设A≠0则A中必有一元素不为零不妨设为aij≠0取η为第j个元素为1其余元素为零的列向量则Aj第i个元素aij≠0从而Aη≠0与已知矛盾．所以A=0．假设A≠0,则A中必有一元素不为零,不妨设为aij≠0,取η为第j个元素为1,其余元素为零的列向量,则Aj第i个元素aij≠0,从而Aη≠0与已知矛盾．所以A=0．54. 已知连续型随机变量X的概率密度为 则概率P{-1＜X＜1)=______．已知连续型随机变量X的概率密度为 则概率P{-1＜X＜1)=______．1-e-1≈0.6321根据计算概率公式，因此概率 P{-1＜X＜1} =1-e-1≈0.6321 于是应将“1-e-1≈0.6321”直接填在空内． 55. 问：射影直线上的一点能将射影直线剖分成两部分吗?射影平面上的一直线能将射影平面剖分成两部分吗问：射影直线上的一点能将射影直线剖分成两部分吗?射影平面上的一直线能将射影平面剖分成两部分吗?正确答案：都不可能．都不可能．56. 已知方程组有3个线性无关的解.已知方程组有3个线性无关的解.略$a=2，b=-3，通解为x=(2，-3，0，0)T+c1(-2，1，1，0)T+c2(4，-5，0，1)T.57. 判别一个正项级数的收敛性，一般可以按怎样的程序选择审敛法？判别一个正项级数的收敛性，一般可以按怎样的程序选择审敛法？一般而言，经过一定的训练以后，往往根据所给正项级数的特点，大致可以确定使用何种审敛法来判定级数的收敛性，但这对初学者来说，有时可能感到困难，这时可按下面的程序进行考虑： (1)检查一般项，若，可判定级数发散．否则进入(2). (2)用比值审敛法(或根值审敛法)判定．倘若或极限不存在，则进入(3). (3)用比较审敛法或极限形式的比较审敛法．若无法找到适用的参照级数，则进入(4). (4)检查正项级数的部分Sn和是否有界或判别Sn是否有极限． 58. 叙述梯度、散度、旋度的定义及其在直角坐标下的表示式．叙述梯度、散度、旋度的定义及其在直角坐标下的表示式．59. 函数设f(x＋1)＝x2＋2x—5，则f(x)＝_______．设f(x＋1)＝x2＋2x—5，则f(x)＝_______．正确答案：f(x)＝x2—6．f(x)＝x2—6．60. f和g在点x0连续，若f(x0)>g(x0)，则存在U(x0,δ)，使在其内有f(x)>g(x)。
)f和g在点x0连续，若f(x0)>g(x0)，则存在U(x0,δ)，使在其内有f(x)>g(x) )正确答案： √。