一、知识结构：解与解法 一元二次方程 根的判 别韦达定理二、考点精析考点一、概念(1) 定义： ①只．含．有．一．个．未．知．数． ，并且②未．知．数．的．最．高．次．数．是． 2．，这样的 ③整．式．方．程．就是一 元二次方程2) 一般表达式： ax2 bx c 0(a 0)⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是 2”：① 该项系数不为“ 0”；② 未知数指数为“ 2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论 典型例题：例 1 、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是( )2 1 1A 3x 12 2 x 1 B 12 1 2 0x2 x2 2 2C ax2 bx c 0 D x2 2x x2 1 变式：当 k 时，关于 x 的方程 kx2 2x x2 3 是一元二次方程 例 2 、方程 m 2 x m 3mx 1 0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为 针对练习：1、方程 8x2 7 的一次项系数是 ，常数项是 2、若方程 m 2 x 0 是关于 x 的一元一次方程，⑴求 m的值；⑵写出关于 x 的一元一次方程3、若方程 m 1 x2 m x 1是关于 x 的一元二次方程，则 m的取值范围是 。
4、若方程 nxm+xn-2x 2=0 是一元二次方程，则下列不可能的是( )A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例 1、已知 2y2 y 3的值为 2，则 4y2 2y 1的值为 例 2、关于 x 的一元二次方程 a 2 x2 x a2 4 0的一个根为 0，则 a 的值为例 3 、已知关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的系数满足 a c b ，则此方程 必有一根为 例 4、已知 a,b是方程 x2 4x m 0的两个根， b,c是方程 y2 8y 5m 0 的两个根， 则 m的值为 针对练习：1、已知方程 x2 kx 10 0的一根是 2，则 k 为 ，另一根是 2、已知关于 x的方程 x2 kx 2 0的一个解与方程 x 1 3的解相同x1⑴求 k 的值； ⑵方程的另一个解3、已知 m是方程 x2 x 1 0 的一个根，则代数式 m2 m4、已知 a 是 x2 3x 1 0 的根，则 2a2 6a 5、方程 a b x2 b c x c a 0 的一个根为（ ）A 1 B 1 C b c D a6、若 2x 5y 3 0,则 4x 32y 。
考点三、解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型一、直接开方法： x2 m m 0 , x m对于 x a m ， ax m bx n 等形式均适用直接开方法典型例题：例 1、解方程： 12x2 8 0;22 25 16x2 =0;23 1 x 2 9 0;例 2 、若 9 x 1 2 16 x 2 2 ，则 x 的值为 针对练习：下列方程无解的是（ ）A. x2 3 2x2 1 B. x 2 2 0 C. 2x 3 1 x D. x2 9 0类型二、因式分解法 : x x1 x x2 0 x x1, 或x x2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“ 0”，方程形式：如 ax m 2 bx n 2 ， x a x b x a x c ，x2 2ax a2 0典型例题：例 1、 2x x 3 5 x 3 的根为（ ）5x1 ,x2 3 D2例 2、若 4x y 2 3 4x y 4 0 ，则 4x+y 的值为 变式 1： a2 b2 2 a2 b2 6 0, 则a2 b2变式 2：若 x y 2 x y 3 0 ，则 x+y 的值为 变式 3：若 x2 xy y 14， y2 xy x 28，则 x+y 的值为 例 3、方程 x2 x 6 0 的解为（ ）A. x1 3，x2 2 B. x1 3，x2 2 C. x1 3，x2 3 D. x1 2，x2 2针对练习：1、下列说法中：① 方程 x2 px q 0 的二根为 x1， x2 ，则 x2 px q (x x1)(x x2)② x2 6x 8 (x 2)(x 4).③ a2 5ab 6b2 (a 2)(a 3)④ x2 y2 (x y)( x y)( x y)⑤ 方程 (3x 1)2 7 0 可变形为 (3x 1 7)(3x 1 7) 0正确的有( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2、以 1 7与1 7为根的一元二次方程是()A． x2 2x 6 0 B ． x2 2x 6 0C． y2 2y 6 0 D ． y2 2y 6 03、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为倒数：⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为相反数：4、若实数 x、y满足 x y 3 x y 2 0，则 x+y的值为( )A、-1 或-2 B 、-1 或 2 C 、1或-2 D 、1或 25、方程： x2 12 2 的解是 。
x类型三、配方法 ax2 bx c 0 a 0 x b b 42ac2a 4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题典型例题：例1、 试用配方法说明 x2 2x 3 的值恒大于 0例 2、 已知 x、y 为实数，求代数式 x2 y2 2x 4y 7的最小值例3、 已知 x2 y2 4x 6y 13 0，x、y为实数，求 x y的值针对练习：1、试用配方法说明 10x2 7x 4 的值恒小于 01 1 12、已知 x2 2 x 4 0，则 x .最小值为例 1 、选择适当方法解下列方程：⑴31 x 2 6.⑵ x 3 x 6 8.⑶ x2 4x 1 0⑷ 3x2 4x 1 0⑸3 x 1 3x 1 x 1 2x 5例 2 、在实数范围内分解因式：(1) x2 2 2x 3； (2) 4x2 8x 1. ⑶ 2x2 4xy 5y2说明：①对于二次三项式 ax2 bx c 的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，般情况要用求根公式，这种方法首先令 ax2 bx c =0，求出两根，再写成2 ax bx c=a(x x1)(x x2).②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去 类型五、 “降次思想”的应用⑴求代数式的值；典型例题：⑵解二元二次方程组x 1 3 x2 1例1、 已知x2 3x 2 0，求代数式 x 1x 1x 1的值例 2、已知 a 是元二次方程 x2 3x 1 0 的一根，求 a 2a2 5a 1的值 a2 1例 3 、用两种不同的方法解方程组2x y 6, (1)22x2 5xy 6y2 0. (2) 说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再 消元。
但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已 知的问题 .考点四、根的判别式 b2 4ac根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③ 应用于其它典型例题：例 1、若关于 x的方程 x2 2 kx 1 0有两个不相等的实数根， 则 k的取值范围是例 2、关于 x 的方程 m 1 x2 2mx m 0 有实数根，则 m的取值范围是 ( )A. m 0且m 1 B. m 0 C. m 1 D. m 1例 3、已知关于 x 的方程 x2 k 2 x 2k 0(1) 求证：无论 k 取何值时，方程总有实数根；（2） 若等腰 ABC的一边长为 1，另两边长恰好是方程的两个根，求 ABC的周长例 4、已知二次三项式 9x2 （m 6）x m 2是一个完全平方式，试求 m的值 .例 5 、 m 为何值时，方程组22 x2 2y2 6, mx y 3.有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？针对练习：1、当 k 时，关于 x 的二次三项式 x2 kx 9是完全平方式2、当 k 取何值时，多项式 3x2 4x 2k 是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？3、已知方程 mx2 mx 2 0 有两个不相等的实数根，则 m的值是 .y kx 2,4、 k 为何值时，方程组 y2 kx 2,y2 4x 2y 1 0.（1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解 .5、当 k 取何值时，方程 x2 4mx 4x 3m2 2m 4k 0 的根与 m 均为有理数？考点五、方程类问题中的“分类讨论” 典型例题：例 1、关于 x 的方程 m 1 x2 2mx 3 0⑴有两个实数根，则 m为 ,⑵只有一个根，则 m为 。
例2、 不解方程，判断关于 x的方程 x2 2 x k k2 3根的情况考点六、根与系数的关系⑴前提：对于 ax2 bx c 0而言，当满足① a 0、② 0 时， 才能用韦达定理⑵主要内容： x1 x2 b,x1x2 caa⑶应用：整体代入求值典型例题：例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程 2x2 8x 7 0 的两根， 则这个直角三 角形的斜边是（ ）A. 3 B.3 C.6 D. 6例 2、已知关于 x 的方程 k 2x2 2k 1 x 1 0 有两个不相等的实数根 x1,x2， （1）求 k 的取值范围；（ 2）是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k 的值；若不 存在，请说明理由例 3 、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为 1 ）时，小明因看错常数项，而得到解为 8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为 -9 和-1 你知道 原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例 4、已知 a b，a2 2a 1 0 ，b2 2b 1 0，求a b 变式：若 a2 2a 1 0，b2 2b 1 0，则 a b的值为 ba例 5、已知 , 是方程 x2 x 1 0 的两个根，那么 4 3 .针对练习：x y 3,1、解方程组 2 2(1)(2)x2 y2 52．已知 a2 7a 4 ，2b2 7b 4(a b) ，3、已知 x1 , x2是方程 x2 x 9 0 的两实数根，求 x13 7x22 3x2 66的值今天你学习了什么？ 遇到了什么困难？ 。