一元二次方程解法练习题一、用直接开平方法解下列一元二次方程 2 22 21、 4x 1 0 2、( x 3) 2 3、 x 1 5 4、81 x 2 16二、 用配方法解下列一元二次方程2 y 2 3、 2 4x 96 1、. y 6 6 0 2、3x 2 4x x2 x 2 x 2 x4、 x 4 5 0 5、2x 3 1 0 6、3x 2 7 02 x 2 mx n 22 2 mx m m7、 4x 8 1 0 8、 x 2 0 9、x 2 0 0- 1 -三、 用公式解法解下列方程2 x1、 x 2 8 0 2、32 24y 1 y 3、 3y 1 2 3y22 x 2 x 2 x4、 2x 5 1 0 5、 4x 8 1 6、 2x 3 2 0四、 用因式分解法解下列一元二次方程 2 2、 (x 1) 2 (2x 3)2 0 3、 x2 6x 8 01、 x 2x4、2 25( 2)22 x 24( x 3) x 5、 (1 2)x (1 2) 0 6、 (2 3x) (3x 2) 0五、用适当的方法解下列一元二次方程2 3 、1、 3x x 1 x x 5 2、 2x 3 5x2 2 6 0x y2 x x 2 x4、 x 7 10 0 5、 x 3 x 2 6 6、 4 x 3 3 0- 2 -2 2 y 2 x7、 5x 1 2 0 8、 3y 4 0 9、 x 7 30 021 0、 y 2 y 1 4 11、 4x x 1 3 x 1 12、 2x 1 25 013、2 4ax b 4a222 2 15、 02 x a a2x 14、 x b a 3x 2a b x5 312 x 2 a b x b a1 6、x 17、 y 3 y 1 2 18、ax ( ) 0( 0)3 362 a x a 2 x 2 x1 9、 3x (9 1) 3 0 20、 x 1 0 21、 3 9 2 0x- 3 -2+4x- 12=0 24、 2 2 30 02 22 2、 2 0 xx2 ax b a 23、 x 2 x2 x 2 x 2 mx nx m2 mn n 22 5、 5x 7 1 0 26、 5x 8 1 27、 2 3 3 2 0x 2+5(2 x+ 1)=0 29、 (x 1)( x 1) 2 2x 30、 3 2 4x 12 8、3x x2 32 、 x2 4 5x 33 、 2 2 5x 4 0 3 1、 y 2 2 2yx2 x 2+4x -12=0 3 4、 x x 6 112． 35 、 2x 2 30 0 36 、x2 x2 x23 7、 x 3 0 38 、 1 x 39 、 3y 1 2 3y- 4 -2 12 t 2 2 x4 0、t 0 41 、5y 2y 1 42 、2x 9 7=02 8一元二次方程解法练习题六、用直接开平方法解下列一元二次方程。
2 22 21、 4x 1 0 2、( x 3) 2 3、 x 1 5 4、81 x 2 16七、 用配方法解下列一元二次方程2 y 2 3、x2 4x 96 1、. y 6 6 0 2、3x 2 4x2 x 2 x 2 x4、 x 4 5 0 5、2x 3 1 0 6、3x 2 7 02 x 2 mx n 2 mx m m2 27、 4x 8 1 0 8、 x 2 0 9、x 2 0 0- 5 -八、 用公式解法解下列方程2 x1、 x 2 8 0 2、32 24y 1 y 3、 3y 1 2 3y22 x 2 x 2 x4、 2x 5 1 0 5、 4x 8 1 6、 2x 3 2 0九、 用因式分解法解下列一元二次方程 2 2、 (x 1) 2 (2x 3)2 0 3、 x2 6x 8 01、 x 2x4、2 25( 2)22 x 24( x 3) x 5、 (1 2)x (1 2) 0 6、 (2 3x) (3x 2) 0十、用适当的方法解下列一元二次方程2 3 、1、 3x x 1 x x 5 2、 2x 3 5x2 2 6 0x y2 x x 2 x4、 x 7 10 0 5、 x 3 x 2 6 6、 4 x 3 3 0- 6 -2 2 y 2 x7、 5x 1 2 0 8、 3y 4 0 9、 x 7 30 021 0、 y 2 y 1 4 11、 4x x 1 3 x 1 12、 2x 1 25 013、2 4ax b 4a222 2 15、 02 x a a2x 14、 x b a 3x 2a b x5 312 x 2 a b x b a1 6、x 17、 y 3 y 1 2 18、ax ( ) 0( 0)3 362 a x a 2 x 2 x1 9、 3x (9 1) 3 0 20、 x 1 0 21、 3 9 2 0x- 7 -2+4x- 12=0 24、 2 2 30 02 22 2、 2 0 xx2 ax b a 23、 x 2 x2 x 2 x 2 mx nx m2 mn n 22 5、 5x 7 1 0 26、 5x 8 1 27、 2 3 3 2 0x 2+5(2 x+ 1)=0 29、 (x 1)( x 1) 2 2x 30、 3 2 4x 12 8、3x x2 32 、 x2 4 5x 33 、 2 2 5x 4 0 3 1、 y 2 2 2yx2 x 2+4x -12=0 3 4、 x x 6 112． 35 、 2x 2 30 0 36 、x2 x2 x23 7、 x 3 0 38 、 1 x 39 、 3y 1 2 3y- 8 -2 12 t 2 2 x4 0、t 0 41 、5y 2y 1 42 、2x 9 7=02 8一元二次方程练习题一．填空题：1．关于 x 的方程 mx2 -3x= x 2 -mx+2 是一元二次方程 ,则 m___________．2．方程 4x(x-1)=2(x+2)+8 化成一般形式是 ____________________, 二次项系数是 ____,一次项系数是____,常数项是 ______.3．方程 x2 =1 的解为 ______________.24．方程 3 x =27 的解为 ______________.2 2 2x +6x+____=(x+____) , a ±____+14=(a± ____ )22 25．关于 x 的一元二次方程 (m+3) x +4x+ m - 9=0 有一个解为 0 , 则 m=______.二．选择题：6．在下列各式中①x2 2 2 2+3=x; ②2 x - 3x=2x(x- 1) –1 ; ③3 x - 4x –5 ; ④x =-1x+27．是一元二次方程的共有 ( )A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个8．一元二次方程的一般形式是 ( )A x2 +bx+c=0 B a x 2 +c=0 (a≠0 )2 2C a x +bx+c=0 D a x +bx+c=0 (a ≠0)29．方程 3 x +27=0 的解是 ( )A x=± 3 B x= -3 C 无实数根 D 以上都不对210．方程 6 x - 5=0 的一次项系数是 ( )A 6 B 5 C -5 D 0- 9 -211．将方程 x - 4x- 1=0 的左边变成平方的形式是 ( )A (x- 2)2 =1 B (x- 4) 2 =1 C (x- 2) 2 =5 D (x- 1) 2 =4三.。
将下列方程化为一般形式 ,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项t(t + 3) =282 x2 +3=7xx(3x + 2)=6(3x + 2)2 2(3 –t) + t =9四．用直接开平方法或因式分解法解方程：2（1） x2=64 （2）5x-252=0 （3）（x+5） =162（4）8（3 -x）–72=0 （5）2y=3y2（6）2（2x－1）－x（1－2x）=0 （7）3x(x+2)=5(x+2)（8）（1－3y）2+2（3y－1）=0五. 用配方法或公式法解下列方程 .：（1）x2 + 2x + 3=0 （2）x 2 + 6x－5=0(3) x2 －4x+ 3=0 (4) x 2 －2x－1 =02 2(5) 2x +3x+1=0 (6) 3x +2x－1 =0- 10 -2 2－3x+2 =0 (8) 7x －4x－3 =0 (7) 5x2 2－6x+9 =0 (9) -x -x+12 =0 (10) x韦达定理：对于一元二次方程2 0( 0)ax bx c a ,如果方程有两个实数根 x1,x2 ,那么 b cx1 x2 , x1x2 a a说明：（1）定理成立的条件 0（2）注意公式重x x1 2ba的负号与 b 的符号的区别根系关系的三大用处（1）计算对称式的值例 若x1 ,x2是方程2 2 2007 0x x 的两个根,试求下列各式的值：(1)2 2x x ； (2)1 21 1x x1 2； (3) (x1 5)( x2 5) ； (4) | x1 x2 |．解： 由题意,根据根与系数的关系得：x1 x2 2, x1x2 2007(1)2 2 2 2x1 x2 ( x1 x2 ) 2x1x2 ( 2) 2( 2007) 4018(2)1 1 x x 2 21 2x x x x1 2 1 22007 2007(3) (x1 5)(x2 5) x1x2 5( x1 x2 ) 25 2007 5( 2) 25 1972(4)2 2 2| x x | (x x ) (x x ) 4x x ( 2) 4( 2007) 2 20081 2 1 2 1 2 1 2说明： 利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形：2 2 2x x x x x x ,1 2 ( 1 2 ) 2 1 21 1 x x1 2x x x x1 2 1 2,2 2(x x ) ( x x ) 4x x ,1 2 1 2 1 22| x x | (x x ) 4x x ,1 2 1 2 1 22 2x1x2 x1 x2 x1x2 (x1 x2 ) ,3 3 3x x x x x x x x 等等．韦达定理体现了整体思想．1 2 ( 1 2 ) 3 1 2 ( 1 2 )- 11 -【课堂练习】2 2 21．设 x1,x2 是方程 2x －6x＋3＝0 的两根,则 x1 ＋x 2的值为 _________22．已知 x1,x2 是方程 2x －7x＋4＝0 的两根,则 x1＋x2＝ ,x1· x2＝ ,（x1－x2）2＝1223．已知方程 2x －3x+k=0 的两根之差为 2,则 k= ;4．若方程 x 2+(a2+(a2－2)x －3=0 的两根是 1 和－3,则 a= ;5．若关于 x 的方程 x2+2(m－1)x+4m2=0 有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么 m的值为 ;26． 设 x1,x 2 是方程 2x －6x+3=0 的两个根,求下列各式的值：(1)x 1 2+x1x2 2x 2 (2)2x 2 (2)1x 1－1x227．已知 x1和x2是方程 2x －3x－1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值：1 1x21 x22（2）构造新方程理论：以两个数 为根的一元二次方程是 。
例 解方程组 x+y=5xy=6解：显然, x,y 是方程 z2-5z+6 ＝0 ① 的两根由方程①解得 z 1=2,z 2 =3∴原方程组的解为 x 1=2,y 1=3x 2=3,y 2=2显然,此法比代入法要简单得多3）定性判断字母系数的取值范围例 一个三角形的两边长是方程 的两根,第三边长为 2,求 k 的取值范围解：设此三角形的三边长分别为 a、b、c,且 a、b 为 的两根,则 c=2由题意知- 12 -△＝ k 2-4 ×2×2≥ 0,k≥ 4 或 k≤ -4∴为所求典型例题】例 1 已知关于 x的方程2 1 2x (k 1)x k 1 0,根据下列条件,分别求出 k 的值．4(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根 x1 ,x2满足 | x1 | x2 ．分析： (1) 由韦达定理即可求之； (2) 有两种可能,一是x1 x2 0 ,二是 x1 x2 ,所以要分类讨论．解： (1) ∵方程两实根的积为5∴12 2[ (k 1)] 4( k 1) 0 34 , 4k k1 22x x k 1 51 24所以,当 k 4时,方程两实根的积为 5．(2) 由| x | x 得知：1 2①当 x1 0时, x1 x2 ,所以方程有两相等实数根,故03k ；2②当x1 0时,x1 x2 x1 x2 0 k 1 0 k 1,由于03k ,故 k 1不合题意,舍去．2综上可得,3k时,方程的两实根 x1 ,x2满足 | x1 | x2 ．2说明： 根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意方程有两实根的条件,即所求的字母应满足 0 ．例 2 已知x1 ,x2 是一元二次方程24kx 4kx k 1 0 的两个实数根．- 13 -3(1) 是否存在实数 k ,使 (2 x1 x2 )( x1 2x2 ) 成立？若存在,求出 k 的值；若不存在,请2您说明理由．(2) 求使x x1 2x x2 12的值为整数的实数 k 的整数值．解：(1) 假设存在实数 k ,使3(2x x )(x 2x ) 成立．1 2 1 22∵ 一元二次方程24kx 4kx k 1 0 的两个实数根∴4k 02( 4k) 4 4k( k 1) 16k 0k 0,又 x1, x2是一元二次方程24kx 4kx k 1 0 的两个实数根x x1 21∴x x1 2k4k1∴2 2 2(2 x x )(x 2x ) 2(x x ) 5x x 2(x x ) 9x x1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2k 9 3 9k ,但 k 0．4k 2 5∴不存在实数 k ,使3(2x x )( x 2x ) 成立．1 2 1 22(2) ∵2 2 2x x x x (x x ) 4k 41 2 1 2 1 22 2 4 4x x x x x x k 1 k 12 1 1 2 1 2∴ 要使其值是整数,只需 k 1能被 4 整除,故 k 1 1, 2, 4 ,注意到 k 0,要使x x1 2x x2 12的值为整数的实数 k 的整数值为 2, 3, 5．说明： (1) 存在性问题的题型,通常是先假设存在,然后推导其值,若能求出,则说明存在,否则即不存在． 4(2) 本题综合性较强,要学会对 k 1为整数的分析方法．一元二次方程根与系数的关系练习题- 14 -A 组1．一元二次方程2(1 k) x 2x 1 0有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是 ( )A ．k 2 B．k 2,且k 1 C． k 2 D．k 2,且k 12．若 x1 ,x2是方程22x 6x 3 0 的两个根,则1 1x x1 2的值为 ( )A ．2 B． 2 C．12D．923．已知菱形 ABCD 的边长为 5,两条对角线交于 O 点,且 OA 、OB 的长分别是关于 x 的方程2 (2 1) 2 3 0x m x m 的根,则 m 等于( )A ． 3 B．5 C． 5或 3 D． 5或34 ． 若 t 是 一 元 二 次 方 程2 0 ( 0)ax bx c a 的 根 , 则 判 别 式2 4b ac 和 完 全 平 方 式2M (2at b) 的关系是 ( )A ． M B． M C． M D．大小关系不能确定5．若实数 a b ,且 a,b 满足2 8 5 0, 2 8 5 0a a b b ,则代数式b 1 a 1a 1 b 1的值为 ( )A ． 20 B．2 C． 2或 20 D．2或206．如果方程2(b c) x (c a)x (a b) 0 的两根相等,则 a,b, c 之间的关系是 ______7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22x 8x 7 0 的两个根,则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．8．若方程22x (k 1)x k 3 0的两根之差为 1,则 k 的值是 _____ ．9．设 x1 ,x2 是方程2 0x px q 的两实根, x1 1, x2 1是关于 x 的方程2 0x qx p 的两实根,则p = _____ , q = _____ ．10．已知实数 a,b,c 满足2a 6 b,c ab 9,则 a= _____ ,b = _____ , c= _____ ．11．对于二次三项式2 10 36x x ,小明得出如下结论：无论 x取什么实数,其值都不可能等于 10．您是否同意他的看法？请您说明理由．12．若 n 0,关于 x的方程2 1x (m 2n) x mn 0 有两个相等的的正实数根,求4mn的值．- 15 -13．已知关于 x的一元二次方程2 (4 1) 2 1 0x m x m ．(1) 求证：不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为 x1,x2 ,且满足1 1 1x x1 22,求 m 的值．14．已知关于 x的方程2 1 2x (k 1)x k 1 0的两根是一个矩形两边的长．4(1) k 取何值时,方程存在两个正实数根？(2) 当矩形的对角线长是 5 时,求 k 的值．B 组1．已知关于 x的方程2(k 1)x (2k 3)x k 1 0有两个不相等的实数根 x1 ,x2．(1) 求 k 的取值范围；(2) 是否存在实数 k ,使方程的两实根互为相反数？如果存在,求出 k 的值；如果不存在,请您说明理由．- 16 -2 ． 已知 关 于 x 的 方 程2 3 0x x m 的 两 个 实数 根的 平 方和 等 于 11． 求 证 ：关 于 x 的 方 程2 2(k 3)x kmx m 6m 4 0有实数根．3．若 x1 ,x2是关于 x 的方程2 (2 1) 2 1 0x k x k 的两个实数根,且 x1 ,x2都大于 1．(1) 求实数 k 的取值范围；(2) 若x1x212,求 k 的值．一元二次方程试题一、选择题1、一元二次方程2 2 1 0x x 的根的情况为（ ）BＡ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根2. x m2、若关于 z 的一元二次方程 x 2 0 没有实数根,则实数 m 的取值范围是（ ）CA ．m-1 C．m>l D．m<-1- 17 - 2＋x＋2＝0 的根的情况是（ ）C3、一元二次方程 xA ．有两个不相等的正根 B．有两个不相等的负根C．没有实数根 D．有两个相等的实数根4、用配方法解方程2 4 2 0x x ,下列配方正确的是（ ）AA．2(x 2) 2 B．2(x 2) 2 C．2(x 2) 2 D．2(x 2) 65、已知函数2y ax bx c的图象如图（ 7）所示,那么关于 x 的方程y2 2 0ax bx c 的根的情况是（ ）D0 xA．无实数根 B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根36、关于 x 的方程2 0x px q 的两根同为负数,则（ ）A图（ 7）A ． p > 0 且 q > 0 B． p > 0 且 q < 0C． p < 0 且 q > 0 D． p < 0 且 q < 07、若关于 x 的一元二次方程2 4 2 3 0x kx k 的两个实数根分别是 x1, x2 ,且满足 x1 x2 x1 x2 .则k 的值为（ ）C（A）－ 1 或34（B）－ 1 （C）34（D）不存在8、下列关于 x 的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是（ ）D（A）x2＋4＝ 0 （ B）4x2－4x＋ 1＝0 （C）x2＋x＋3＝0 （D）x2＋2x－1＝09、某商品原价 200 元,连续两次降价 a％后售价为148 元,下列所列方程正确的是（ ）BA： 200(1+a%)2=148 B：200(1－ a%)2=148C： 200(1－2a%)=148 D：200(1－a2%)=14810、下列方程中有实数根的是（ ）C（A ）x2＋2x＋3＝0 （B）x2＋1＝ 0 （C）x2＋3x＋1＝0 （D） x 1x 1 x 111、已知关于 x 的一元二次方程2 2x m x 有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是 ( ) AA ． m＞－ 1 B． m＜－ 2 C．m ≥ 0 D．m＜0 2＝c 的一个根,那么常数 c 是（ ）。
C12、如果 2 是一元二次方程 xA、2 B、－ 2 C、4 D、－ 4二、填空题2 xx 的两根为x1、 x2 ,则x1 x21、已知一元二次方程 2 3 1 03222、方程 x 1 4的解为 x1 3, x2 1- 18 -3、阅读材料：设一元二次方程2 0ax bx c 的两根为x1 , x2 ,则两根与方程系数之间有如下关系：x x1 2ba, 1 2x xca．根据该材料填空：已知x , x2 是方程1x x2 6 3 02 1x x 的两实数根,则x x1 2的值为______ 10 2＋bx＋ c＝0 的两个实数根分别为1 和 2,则b＝______； c＝______． －4、关于 x 的一元二次方程 x3,25、方程2 2 0x x 的解是 ．x ＝0,1x ＝226、已知方程2 3 0x x k 有两个相等的实数根,则k947、方程 x 2+2x=0 的解为2+2x=0 的解为x ＝0,1x ＝－ 222 a x8、已知方程 x 3 3 0 在实数范围内恒有解,并且恰有一个解大于 1 小于 2,则a的取值范围是 ．11 a 或 a 3 2 322＋ 3x－1＝ 0 的实数根,那么代数式9、已知 x 是一元二次方程 x1＿3x 3 5(x 2 )23x 6x x 2的值为＿＿＿10、已知 x 1是关于 x 的方程2 22x ax a 0的一个根,则a _______．11、若关于 x的一元二次方程2 2 0x x k 没有实数根,则k 的取值范围是 ．12、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程： __________________。
13、已知 2 5 是一元二次方程2 4 0x x c 的一个根,则方程的另一个根是 ． 2 5三、解答题2 4 1 0x x ． 1、解方程： 2＋3＝3( x＋1) ．2、解方程： x3、已知 x＝1 是一元二次方程2 40 0ax bx 的一个解,且 a b ,求2 2a b2a 2b的值.2＋4x＋m－1＝0 4、已知关于 x 的一元二次方程 x(1)请你为m选取一个合适的整数,使得到的方程有两个不相等的实数根；2＋ β2＋αβ的值 (2)设α、β是(1) 中你所得到的方程的两个实数根,求 α5、据报道,我省农作物秸杆的资源巨大,但合理利用量十分有限, 2006 年的利用率只有 30%,大部分秸杆被直接焚烧了,假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变,且合理利用量的增长率相同,要使 2008 年的利用率提高到 60%,求每年的增长率 (取 2 ≈ 1.41)解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a,合理利用量的增长率是 x,由题意得：30%a（1＋x）2=60%a,即（ 1＋x）2=2⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 5 分- 19 -∴x1≈ 0.41,x2≈ － 2.41(不合题意舍去 )⋯ ⋯ 7 分∴x≈ 0.41。
即我省每年秸秆合理利用量的增长率约为 41%⋯ ⋯ ⋯ 8 分6、黄金周长假推动了旅游经济的发展．下图是根据国家旅游局提供的近年来历次黄金周旅游收入变化图．(1)根据图中提供的信息．请你写出两条结论；(2)根据图中数据,求 2002 年至 2004 年的“十一”黄金周全国旅游收入平均每年增长的百分率 (精确到 0．1)解：（1）①历年春节旅游收入低于“五一”和“十一”旅游收入；②黄金周旅游收入呈上升趋势┉ ┉（2）设平均每年增长的百分率为x,则300（1＋x）2＝400,解得：x ＝－ 1＋1233,x ＝－ 1－2233（不合题意,舍去） ,所以, x＝－ 1＋233≈ 0.155 ,答：平均每年增长的百分率为15.5%7、已知 x1,x2 是关于 x 的方程（ x－2）（x－m）=（p－2）（p－ m）的两个实数根．（1）求 x1,x2 的值；（2）若 x1,x2 是某直角三角形的两直角边的长,问当实数 m,p满足什么条件时,此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．解：（ 1） 原方程变为： x 2－（ m + 2）x + 2m = p2－（ m + 2）p + 2m,∴ x 2－p2－（ m + 2）x +（m + 2）p = 0,（ x－p）（x + p）－（ m + 2）（ x－p）= 0,- 20 -即 （x－p）（x + p－m－2）= 0,∴ x1 = p, x2 = m + 2－p．1 1 1 2 1（2）∵ 直角三角形的面积为 ( 2 )x1x p m p = p (m 2)p22 2 2 221 2 m 2 (m 2)2= [ p (m 2) p ( ) ( )] 2 2 4=12(2m 2 2 (m 2)p ) ,2 8∴ 当m 2p 且 m＞－ 2 时,以 x1,x2 为两直角边长的直角三角形的面积最大,最大面积为2(m 2) 82或122p ．- 21 -科教兴国。