主备：冯宗明 喻浩 徐洪燕 审核：牟必继人生的每一笔经历，都在书写你的简历人生的每一笔经历，都在书写你的简历2.3 参数方程化成普通方程参数方程化成普通方程教学目标：教学目标：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法掌握参数方程化为普通方程几种基本方法重点、难点：重点、难点：参数方程与普通方程的等价性参数方程与普通方程的等价性cos3,()sinxMy由参数方程为参数 直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，则比较简单2222cos3,sincos(3)1sinxxyyM由参数方程得：所以点的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆一、引入一、引入 在实际应用过程中，有时需要消去参数方程中在实际应用过程中，有时需要消去参数方程中的参数，得出普通方程的参数，得出普通方程二、二、下面介绍两种消去参数的常用方法例1 1.将参数方程2111tytx(t为参数),化成普通方程.1、代数法消去参数、代数法消去参数2.将参数方程313tytx(t为参数),化成普通方程.3.将参数方程tytx4231(t为参数),化成普通方程.例2 将参数方程221212ttytx(t为参数),化成普通方程,并画出曲线的草图。
解 212tx0 xyttttxy即,121222将它代入,并化简得0222xyx(x0)它表示的曲线是以(1,0)为圆心,1为半径的圆除去原点(0,0),如图注意到x的限制条件xy1O注意这是空点！例3：将参数方程2、利用三角恒等式消去参数、利用三角恒等式消去参数sincosbyax(a,b0,为参数),化成普通方程.将参数方程化为普通方程是消去参数x=f(t)y=g(t)消参F(x,y)=0(t为参数)1.在实施消参的过程中,具体方法有代入法、代数变换法(加、减、乘、除、乘方等）和三角变换方法2.注意参数的取值范围对x、y的取值范围的限制，以使参数方程与普通方程保持等价性三、小结三、小结:例例4 将下列参数方程（其中t，为参数）化为普通方程，并画出曲线的草图2）2221ttyttx（4）2224448ttyttx;cos1sin,cos1cosyx（1）2)(52)(3)tttteeyeex（3）;cos1sin,cos1cosyx（1）21,11,1|cos|2xxxxxxxxy211111cos1cos1)cos1(sin222解解x+xcos=cos，)1(1cosxxx普通方程是,212xy曲线如图oxy1-12221ttyttx(2)由22tty得)2(22yyyt将它代入21ttx并化简得4xy2=0 （y2）画出草图如图：解xyo12解解两式平方相减两式平方相减，得125922yx（x3），它表示双曲线的右支右支，草图所示。
2)(52)(3tttteeyeex（3）yxo35由2)(3tteex3，又,25,23tttteeyeex2224448ttyttx(4)解解得2442ttx又2244tty两式平方相加两式平方相加，得222222222444164ttttyx2244tty中，y1，普通方程是11422yyx，曲线如图xyo21442222tt248ttx例5 参数方程)20()sin1(21|,2sin2cos|yx表示 （）A、双曲线的一支，这支过点（1，21）：B、抛物线的一部分，这部分过（211，）；C、双曲线的一支，这支过点（1，21）；D、抛物线的一部分，这部分过（1，21）分析 一般思路是：化参数方程为普通方程求出范围、判断解解x2=2)2sin2(cos=1+sin=2y，普通方程是x2=2y，为抛物线)42sin(2|2sin2cos|x，又02，0 x2，故应选（B）说明说明这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法平方法是最好的方法四、课堂小结四、课堂小结:参数方程化为普通方程的过程就是消参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：参过程常见方法有三种：1.1.代入法：代入法：利用解方程的技巧求出参数利用解方程的技巧求出参数t,t,然后代入消然后代入消 去参数去参数2.2.三角法：三角法：利用三角恒等式消去参数利用三角恒等式消去参数3.3.整体消元法：整体消元法：根据参数方程本身的结构特征根据参数方程本身的结构特征,从从 整体上消去。
整体上消去化参数方程为普通方程为化参数方程为普通方程为F(x,y)=0F(x,y)=0：在消参过程中注：在消参过程中注意意变量变量x x、y y取值范围的一致性取值范围的一致性，必须根据参数的取，必须根据参数的取值范围，确定值范围，确定f(t)f(t)和和g(t)g(t)值域得值域得x x、y y的取值范围的取值范围练习练习1：将下列参数方程化为普通方程：将下列参数方程化为普通方程：sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2（1）（）（x-2）2+y2=9（2）y=1-2x2（-1x1）（3）x2-y=2（X2或或x-2）步骤：步骤：（1）消参；）消参；（2）求定义域求定义域2们各表示什么曲线并说明它通方程把下列参数方程化为普：练习;,tytx211 1 为为参参数数t.sin,cossin21 yx 2 为为参参数数.132.1xxy普通方程是 .,6211 图包括端点为端点的一条射线这是以.2,2,.22xyx普通方程是 .72 图这是抛物线的一部分Oxy1-1-11222-372 图图62 图图O123xy1-1-2-3-1x,yx,y范围与范围与y=xy=x2 2中中x,yx,y的范围相同，的范围相同，2tytx代入代入y=xy=x2 2后满足该方程，从而后满足该方程，从而D D是曲线是曲线y=xy=x2 2的一种参数方程的一种参数方程.2224sin A B C Dsinxtxtxtxtytytytyt、3 3、曲线、曲线y=xy=x2 2的一种参数方程是（的一种参数方程是（）.注意：注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。
否则，互化就是不等价的.在在y=xy=x2 2中，中，xR,y0 xR,y0，分析分析:发生了变化，因而与发生了变化，因而与 y=xy=x2 2不等价；不等价；在在A A、B B、C C中，中，x,yx,y的范围都的范围都而在中，且以练习练习:（选讲选讲）例例6 在直角坐标系中，有椭圆C1和抛物线C2，它们的参数方程分别是sin3cos2:1ymxC（是常数，是参数）tytxC623:22（是参数）（1）求证：当m=4时，椭圆C1有一个焦点和一条准线分别与抛物线C2的焦点和准线重合；（2）求证：当且仅当m27,21时，椭圆C1和抛物线C2有交点解解（1）消去参数得椭圆C1和抛物线C2有普通方程是：,134)(:221ymxC),23(6:22xyC当m=4，椭圆C1的中心为（4，0），焦点在x轴 a=2，b=3，c=1焦点坐标是（5，0）是x=8和x=0和（3，0），准线方程抛物线C2，是以x轴为对称轴，开口向右、顶点为0,23232,62pp焦点是（3，0），准线方程是x=0椭圆C1的左焦点和左准线分别与抛物线C2的焦点和准线重合思路思路1 代数方法证法1 由方程组)23(6134)(222xyymx消去y后，并整理x2+（82m）x+m216=0=4（m4）2（m216）=32（4m）0m4。
解得x1=（4m）+)4(22mx2=)4(22)4(mm交点在抛物线y2=6（x23）上，,23x同时可舍去x2，故m需满足23)4(22)4(04mmm解得2721m当且仅当m27,21时，椭圆与抛物线有交点 思路2 三角方法 证法2 将椭圆C1的参数方程sin3cos2ymx代入抛物线C2的普通方程y2=6（x23），得3sin2=6（m+2cos ），2m=sin24cos+3=（cos+2）2+81（cos+2）2+87，12m7，即232721m说明：（1）解法2是通过参数方程和普通方程联立，消去x、y将它转化为三角问题来解的，所以更为简便2）在二次曲线中，不能只考虑判别式0，同时还要考虑二次曲线的方程中对x的限制条件。