2021四川考研数学一真题试卷一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）ì ex - 1í(1)函数 f (x)= ï x , x ¹ 0 ,在 x = 0 处îï 1, x = 0(A)连续且取极大值. (B)连续且取极小值.(C)可导且导数为 0. (D)可导且导数不为 0.D.因为lim f (x)= limex - 1=1 = f (0) ，故 f (x) 在 x = 0 处连续；x®0x®0 xf (x) - f (0)ex - 1-1xe x -1 - x 1 ¢1因为lim = lim=lim= ，故 f (0) = ，正确答案为 D.x®0x - 0x®0x - 0x®0 x 2 2 2(2)设函数 f ( x, y ) 可微，且 f (x +1, ex ) = x(x +1) 2 ， f (x, x2 ) = 2x2 ln x ，则 df (1,1) =(A) dx + dy . (B) dx - dy . (C) dy . (D) -dy .C.1 2 f ¢(x +1, ex ) + ex f ¢(x +1, ex ) = (x +1) 2 + 2x(x +1) ①1 2f ¢(x, x2 ) + 2xf ¢(x, x2 ) = 4x ln x + 2x ②ìx = 0 ìx = 1分别将í y = 0 ， í y = 1 带入①②式有î îf1¢(1,1) + f2¢(1,1) = 1 ， f1¢(1,1) + 2 f2¢(1,1) = 2联立可得 f1¢(1,1) = 0 ， f2¢(1,1) = 1 ， df (1,1) = f1¢(1,1)dx + f2¢(1,1)dy = dy ，故正确答案为 C.(3) 设函数 f (x) =sin x 在 x = 0 处的 3 次泰勒多项式为ax + bx2 + cx3 ，则1+ x2(A) a = 1,b = 0, c = - 7 . (B) a = 1,b = 0, c = 7 .6(C) a = -1,b = -1, c = - 7 . (D)66a = -1,b = -1, c = 7 .6A.根据麦克劳林公式有sin x éx3 3 ù 2 37 3 3f (x) = 1+ x2 = êx - 6 + o(x ) ú ×[1 - x+ o(x )] = x - x6+ o(x )ë û故a = 1,b = 0, c = - 7 ，本题选 A.60(4) 设函数 f ( x ) 在区间[0,1]上连续，则ò1 f ( x )dx =n æ 2k -1 ö 1 n æ 2k -1 ö 1(A) lim å f ç ÷ . (B) lim å f ç ÷ .n®¥ k =1è 2nø 2nn®¥ k =1è 2n ø n2n æ k -1ö 1 2n æ k ö 2(C) lim å f ç ÷ . (D) lim å f ç ÷ × .n®¥ k =1B.è 2n ø nx®0 k =1è 2n ø n【 解 析 】 由 定 积 分 的 定 义 知 ， 将 (0,1)分 成 n 份 ， 取 中 间 点 的 函 数 值 ， 则1 n æ 2k -1 ö 1ò0 f (x)dx = lim S f ç 2n ÷ n , 即选 B.n®¥ k =1 è ø(5) 二次型 f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 的正惯性指数与负惯性指数依次为1 2 3 1 2 2 3 3 1(A) 2, 0 . (B)1,1 . (C) 2,1 . (D)1, 2 .B. f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 = 2x 2 + 2x x + 2x x + 2x x1 2 3 1 2 2 3 3 1 2 1 2 2 3 1 3æ 0 1 1 öç ÷所以 A = ç 1 2 1 ÷ ，故特征多项式为è øç 1 1 0 ÷l -1| lE - A |= -1 -2-1 -1-1-1 = (l+1)(l- 3)ll令上式等于零，故特征值为-1， 3 ， 0 ，故该二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为 1.故应选 B.æ 1 öæ 1 öæ 3 ö(6)已知a = ç 0 ÷ ，a = ç 2 ÷ ，a = ç 1 ÷ ，记b =a，b =a - kb ，b =a - l b - l b ，1 ç ÷1ç ÷è ø2 ç ÷1ç ÷è ø3 ç ÷2ç ÷è ø1 1 2 2 1若b1 ， b2 ， b3 两两正交，则l1 ， l2 依次为5 1(A) , .2 25 1-(B) , . 2 2(C)5 , - 1 .2 2(D)- 5 , - 1 .2 2A.利用斯密特正交化方法知æ 0 öb =a - [a2 ,b1 ]b = ç 2 ÷ ，02 21ç ÷[b1,b1 ] ç ÷è øb =a - [a3 ,b1 ]b - [a3 ,b2 ] b ，3 3 [b,b] 1 [b ,b ] 2故l1= [a3 ,b1 ] = 5 ， l2[b1,b1 ] 21 1 2 2= [a3 ,b2 ] = 1 ，故选 A.[b2 ,b2 ] 2(7) 设 A, B 为 n 阶实矩阵，下列不成立的是æ A O ö æ A AB öè øè ø(A) r ç O AT A÷ = 2r ( A ) (B) r ç O AT ÷ = 2r ( A )è øæ A BA ö æ A O öè ø(C) r ç O AAT ÷ = 2r ( A )C.(D) r ç BA AT ÷ = 2r ( A )æ A O ö Tè ø(A) r ç O AT A÷ = r (A) + r (A A) = 2r (A). 故 A 正确.(B) AB 的列向量可由 A 的列线性表示，故 r æ A AB ö = r æ A O ö = r (A) + r (AT ) = 2r (A).ç O AT ÷ ç 0 AT ÷è ø è ø(C) BA 的列向量不一定能由 A 的列线性表示.(D) BA 的行向量可由 A 的行线性表示， r æ A BAö = r æ A O ö = r (A) + r (AT ) = 2r (A).ç O AT ÷ ç 0 AT ÷本题选 C.è ø è ø(8) 设 A ， B 为随机事件，且0 < P(B) < 1，下列命题中不成立的是(A) 若 P( A | B) = P( A) ，则 P( A | B) = P( A) .(B) 若 P( A | B) > P( A) ，则 P( A | B) > P( A)(C) 若 P( A | B) > P( A | B) ，则 P( A | B) > P( A) .(D) 若 P( A | A U B) > P( A | A U B) ，则 P( A) > P(B) .D.= =P( A( A U B） P( A | A U B)P( A U B)P( A)P( A) + P(B) - P( AB)P( A | A U B) = P( A( A U B） =P( A U B)P( AB) =P( A U B)P(B) -P( AB)P( A) + P(B) - P( AB)因为 P( A | A U B) > P( A | A U B) ，固有 P( A) > P(B) - P( AB) ，故正确答案为 D.1 1 2 2(9) 设 ( X ,Y ), ( X,Y ),L, (X,Y ) 为来自总体 N (m,m;s2 ,s2 ;r) 的简单随机样本， 令n n1 2 1 21 n 1 n ˆq= m1 - m2 , X = n å X i ,Y = n åYi ,q= X - Y , 则i=1i=1s2 +s2n(A) qˆ 是q的无偏估计， D (qˆ) = 1 2ˆ ( ˆ) 1 2s2 +s2(B) q不是q的无偏估计， D q =nˆ ( ˆ) 1 2 1 2s2 +s2 - 2rss(C) q是q的无偏估计， D q =nˆ ( ˆ) 1 2 1 2s2 +s2 - 2rss(D) q不是q的无偏估计， D q =nC.因为 X ,Y 是二维正态分布，所以 X 与Y 也服从二维正态分布，则 X - Y 也服从二维正态分布，即 E(qˆ) = E( X - Y ) = E( X ) - E(Y ) = m1 - m2 =q，q s2 +s 2 - 2rssD( ˆ) = D( X - Y ) = D( X ) + D(Y ) - cov( X ,Y ) = 1 2 1 2 ，故正确答案为 C.n(10) 设 X1 , X 2 K, X16 是来自总体 N (m, 4) 的简单随机样本， 考虑假设检验问题：H0 : m£ 10, H1 : m> 10.F ( x) 表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W = {X ³ 11} ，1 16其中 X = å X i ，则m= 11.5 时，该检验犯第二类错误的概率为16i=1(A)1- F (0.5) (B)1- F (1)(C)1- F (1.5)B.所求概率为 P{X < 11}(D) 1- F (2)X : N (11.5, 1) ，4ì üP{X < 11} = P ï X -11.5 £ 11-11.5ï = 1- F(1)í 1 1 ýï ï故本题选 B.î 2 2 þ二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置上.）ò+¥(11)0p4ò+¥0dx =x2 + 2x + 2dx =x2 + 2x + 2.ò+¥ dx0 (x +1)2 +1= arctan( x + 1) +¥p p p0= - =2 4 4ì x = 2et + t +1, x < 0d 2 yî(12)设函数 y = y(x) 由参数方程í y = 4(t -1)et + t 2, x ³ 0 确定,则 dx2 t =0 = .2 .3dy4tet + 2td 2 y(4et + 4tet + 2)(2et +1) - (4tet + 2t )2et由 =dx2et +1，得 =dx2，(2et +1)3将t = 0 带入得d 2 ydx2t =0= 2 .3(13)欧拉方程 x2 y ¢ + xy¢ - 4y = 0 满足条件 y(1) = 1, y¢(1) = 2 得解为 y = . x2 .令 x = et， 则 xy¢ = dy, x2 y ¢d 2 y dy= -， 原方程化为d 2 y- 4 y = 0 ， 特征方程为dt dx2 dx dx2l2 - 4 = 0 ， 特征根为 l = 2,l = -2 ， 通解为 y = C e2t + C e-2t = C x2 + C x-2 ， 将初始条件y(1) = 1, y¢(1) = 2 带入得C = 1,C = 0 ，故满足初始条件的解为 y = x2 .1 2(14) 设 S 为 空 间 区 域 {(x, y, z) x2 + 4 y 2 £ 4, 0 £ z £ 2}òò x2dydz + y2dzdx + zdxdy = .S4p.表 面 的 外 侧 ， 则 曲 面 积 分2由高斯公式得原式= òòò (2x + 2 y +1)dV = ò0 dzòò dxdy = 4p.W D(15) 设 A = aij 为 3 阶矩阵， Aij 为代数余子式， 若 A 的每行元素之和均为 2 ， 且A11 + A21 + A31 = .3A = 3 ，2.æ1ö æ1öAæ1ö Aç1÷ = 2 ç1÷ , Aa= la,l= 2,a= ç1÷ , 则 A* 的特征值为， 对应的特征向量为æ1öç ÷ ç ÷1 1ç ÷ ç ÷è ø è øAæ A11A21ç ÷1ç ÷è øA31 ölæ1ö æ A11 + A21 + A31 öæ1öAa= ç1÷ , A*a=a而 A* = ç A A A÷ , A* ç1÷ = ç A + A+ A ÷ =ç1÷ ，即ç ÷ lç÷ç ÷ ç÷lç ÷ç1÷ç A A A ÷ç1÷ ç A + A+ A ÷ ç1÷è ø èø è ø èø è ø3A11 + A21 + A31 = 2 .(16) 甲乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中， 再从乙盒中任取一球.令 X , Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 X 与 Y 的相关系数 .1 .5æ (0, 0) (0,1) (1, 0) (1,1) öæ 0 1 öæ 0 1 ö联合分布率( X ,Y ) : ç3 1 1 3÷ , X : ç 1 1 ÷ Y : ç 1 1 ÷ç ÷ ç ÷ç ÷èøè 2 2 øè 2 2 øcov( X ,Y ) =1 ， DX = 1 , DY = 1 , 即r = 1 .20 4 4XY 5三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(17)(本题满分 10 分)ç求极限limæ 1+x et2 dt öò10 - ÷ .x®0 çex -1 sin x ÷è ø1 .2çæ 1+x et 2 dt öò1 ÷0sin x -1-x et 2 dtò0解： lim- = limx®0 çex -1 sin x ÷ x®0(ex -1) sin xè ø又因为ò x et2 dt = ò x (1+ t 2 + o(t 2 ）dt = x + 1 x3 + o(x3 ) ，故0 0 3(x - 1 x3 + o(x3 ）(1+ x + 1 x3 + o(x3 ） - x - 1 x2 + o(x2 )原式= lim 3! 3! 2 x®0 x21 x2 + o(x2 )= lim 2 = 1 .x®0 x2 2(18)(本题满分 12 分)- nx 1¥n+1设un (x) = e+ xn(n +1)(n = 1, 2, K) ，求级数åun (x) 的收敛域及和函数.n=1ì e- x+ - - + Îí S (x) = ï1 - e- x(1 x) ln(1 x) x, x(0,1).ï e , x = 1ïî e - 1ú 1¥ ¥ é - 1 ù¥- nxe- xS (x) = åu (x) = åêe nx +n(n + 1)x n+1 , 收敛域(0,1], S (x) = åe= 1 - e- x, x Î(0,1]n¥n=1n=1 ë ûn=1S (x) = å 1 n+1 ¥xn+1 - å¥xn+1= -x ln(1 - x) - [- ln(1 - x) - x]2n=1n(n + 1)n=1n n=1 n + 1x = å= (1 - x) ln(1 - x) + x,-S2 (1) = lim S2 (x) = 1x®1x Î (0,1)ì e- x+ - - + ÎS (x) = ï1 - e- x(1 x) ln(1 x) x, x(0,1)íï e , x = 1ïî e - 1(19)(本题满分 12 分)ìx2 + 2 y2 - z = 6î已知曲线C : í4x + 2 y + z = 30 ，求C 上的点到 xoy 坐标面距离的最大值.66设拉格朗日函数 L ( x, y, z,l,m) = z 2 + l(x 2 + 2 y 2 - z - 6 )+ m(4x + 2 y + z - 30)xzL¢ = 2xl+ 4u = 0 L¢ y = 4 yl+ 2u = 0 L¢ = 2z - l+ u = 0 x2 + 2 y2 - z = 6 4x + 2 y + z = 30解得驻点： (4,1,12),(-8, -2, 66)C 上的点(-8, -2, 66) 到 xoy 面距离最大为 66.(20)(本题满分 12 分)设 D Ì R2 是有界单连通闭区域， I (D) =(1) 求 I (D1 ) 的值.òò(4 - x 2 - y 2 )dxdy 取得最大值的积分区域记为 D .1D(2) 计算 ò¶D1-p.(xex2 +4 y2 + y)dx + (4 yex2 +4 y2 - x)dy x2 + 4 y2，其中¶D1 是 D1 的正向边界.（1）由二重积分的几何意义知： I (D) = òò(4 - x 2 - y 2 )ds，当且仅当4 - x2 - y2 在 D 上D2p 2 2大于 0 时， I (D) 达到最大，故 D ：x2 + y2 £ 4 且 I (D )= dq (4 - r )rdr = 8p .1 1 ò0 ò0(2)补 D2 : x + 4 y = r （ r 很小），取 D 的方向为顺时针方向，22 2 2ò¶D1(xex2 +4 y2 + y)dx + (4 yex2 +4 y2 - x)dy=x2 + 4 y2= ò¶D1 +¶D2(xex2 +4 y2 + y)dx + (4 yex2 +4 y2 - x)dy x2 + 4 y2- ò¶D2(xex2 +4 y2 + y)dx + (4 yex2 +4 y2 - x)dy x2 + 4 y2= - 1 er 2 r 2ò¶D2xdx + 4ydy -1 er 2r 2ò¶D2ydx - xdy =1 -2d s= -p.r òò2D2(21)(本题满分 12 分)æ a已知 A = ç 11 -1öa -1÷ .ç ÷ç -1 -1 a ÷è ø(1) 求正交矩阵 P ,使得 PT AP 为对角矩阵；(2) 求正定矩阵C ,使得C 2 = (a + 3)E - A.- -æ 1 1 1 ö32ç 6 ÷æ 5 ö-1 -ç 3 1÷ç ÷ ç ÷(1)P = ç 1 1 1 ÷ ；(2) C = ç -15 1 ÷ .326ç ÷ ç3 3 ÷ç ÷ç - 1 0 2 ÷çç -11 5 ÷÷36ç ÷è øè 3 3 øl- a -1 1(1)由 lE - A = -1l- a1 = (l- a + 1) 2(l- a - 2) = 01 1得l1 = a + 2,l2 = l3 = a -1当l1 = a + 2 时l- aæ 2 -1 1 ö æ 1 0 1 ö æ 1 ö((a + 2)E - A) = ç-1 2 1 ÷rrç0 1 1 ÷ 的特征向量为a = ç 1 ÷ ，ç ÷ ç ÷è ø è øç 1 1 2 ÷ ç 0 0 0 ÷当l2 = l3 = a -1所1 ç ÷-1ç ÷è øæ -1-1 1 ö æ 1 1-1öæ -1ö æ -1ö((a -1)E - A) = ç-1 -1 1 ÷rrç0 0 0 ÷ 的特征向量为a = ç 1 ÷ ,a = ç 1 ÷ ，ç ÷ ç ÷ 2 ç ÷ 3 ç ÷ç 1 1-1÷ ç 0 0 0 ÷ç 0 ÷ ç 2 ÷è ø è ø è ø è ø326æ 1 - 1 - 1 öæ a a a öç ÷ç ÷1 1 1æ a + 2 ö令 P = ç 1 , 2 , 3 ÷ = ç ÷ ，则 PT AP = L = ç a - 1 ÷ ，326ç a a a ÷ ç ÷ ç ÷è 1 2 3ø ç ÷ç a -1÷ç - 1 0 2 ÷ è ø36ç ÷è øæ 1 ö(2) PT C 2 P = PT (a + 3)E - A)P = ((a + 3)E - L = ç 4 ÷ç ÷ç 4÷è øæ 1öæ 1 öçççè4 ÷ Þ P4÷T CP =ç 2 ÷ç ÷ç 2÷è øæ 5 -1 - öÞ PT CPPT CP = ÷ ，øç 3 1÷æ 1 ö ç ÷故C = P ç 2 ÷ PT = ç-15 1 ÷ .ç ÷ ç 3 3 ÷ç 2÷ ç ÷è ø(22)(本题满分 12 分)ç -1è1 5ø3 3 ÷在区间(0, 2) 上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为 X ,较长的一段长度记为Y , 令 Z = Y .X(1) 求 X 的概率密度；(2) 求 Z 的概率密度.ç Y ÷(3) 求 E æ X ö .è øì1, 0 < x < 1ì 2 , z ³ 1(1)X : f (x) = íî0, 其他；(2)fZ (z) = (FZ(z）¢ = ï(z +1)2.(3)-1+ 2 ln 2 .íì1, 0 < x < 1îï 0, 其他(1)由题知： X :f (x) = íî；0, 其他2 - X(2) 由Y = 2 - X ，即 Z = ，先求 Z 的分布函数：XF (z) = P {Z £ z} = P ì 2 - X £ z ü = P ì 2 -1 £ z üZ í X ý í X ýî þ î þ当 z < 1 时， FZ (z) = 0 ； 当 z ³ 1 时，ì 2 ü ì 2 ü 2 2FZ (z) = P í -1 £ z ý = 1 - P íX £ ý = 1 - ò z +11dx =1 - ；î X þ îì 2 , z ³ 1z +1þ0z +1íï 2fZ (z) = (FZ (z）¢ = (z +1) ；îï 0, 其他(3) E æ X ö = E æ Xö = 1 x× 1dx = -1+ 2 ln 2 .Y 2 - Xç ÷ ç ÷è ø è øò0 2 - x。