八年级数学第十六章 二次根式第一节 二次根式的概念和性质16.1 二次根式1． 二次根式的概念: 式子叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O．2． 二次根式的性质①；②③； ④16.2 最简二次根式与同类二次根式1. 被开方数所含因数是整数,因式是整式,不含能开得尽方的因数或因式的二次根式,叫做最简二次根式．2.化成最简二次根式后,被开方数相同的二次根式,叫做同类二次根式16.3 二次根式的运算1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式,再把同类三次根式分别合并．2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根,即3.二次根式的和相乘,可参照多项式的乘法进行． 两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,那么这两个三次根式互为有理化因式．4.二次根式相除,通常先写成分式的形式,然后分子、分母都乘以分母的有理化因式,把分母的根号化去<或分子、分母约分>．把分母的根号化去,叫做分母有理化．二次根式的运算法则：a+b=〔a0,b>0< a0>第十七章 一元二次方程17.1 一元二次方程的概念1．只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程2．一般形式y=ax²+bx+c〔a≠0,称为一元二次方程的一般式,ax叫做二次项,a是二次项系数；bx叫做一次项,b是一次项系数；c叫做常数项17.2 一元二次方程的解法1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法,分解因式法2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法3．求根公式：；△=≥017.3 一元二次方程的判别式1．一元二次方程：△＞0时,方程有两个不相等的实数根△＝0时,方程有两个相等的实数根△＜0时,方程没有实数根2．反过来说也是成立的17.4 一元二次方程的应用1．一般来说,如果二次三项式〔通过因式分解得=；、是一元二次方程的根2．把二次三项式分解因式时； 如果≥0,那么先用公式法求出方程的两个实数根,再写出分解式 如果＜0,那么方程没有实数根,那此二次三项式在实数范围内不能分解因式3． 实际问题：设,列,解,答第十八章 正比例函数和反比例函数 18.1．函数的概念1．在问题研究过程中,可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量2．在某个变化过程中有两个变量,设为x和y,如果在变量x的允许取之范围内,变量y随变量x的变化而变化,他们之间存在确定的依赖关系,那么变量y叫做变量x的函数,x叫做自变量3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式4．函数的自变量允许取之的范围,叫做这个函数的定义域；如果变量y是自变量x的函数,那么对于x在定义域内去顶的一个值a,变量y的对应值叫做当x=a时的函数值18.2 正比例函数1． 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成正比例2．正比例函数:解析式形如y=kx〔k是不等于零的常数的函数叫做正比例函数,气质常数k叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数3．对于一个函数,如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式,同时以这个函数解析式所确定的x与y的任意一组对应值为坐标的点都在图形上,那么这个图形叫做函数的图像4．一般地,正比例函数的图像时经过原点O〔0,0和点〔1,k的一条直线,我们把正比例函数的图像叫做直线5． 正比例函数有如下性质： 〔1当k＜0时,正比例函数的图像经过一、三象限,自变量x的值逐渐增大时,y的值也随着逐渐增大 〔2当k＜0时 ,正比例函数的图像经过二、四象限,自变量x的值逐渐增大时,y的值则随着逐渐减小18.3 反比例函数1．如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成反比例2．解析式形如的函数叫做反比例函数,其中k也叫做反比例系数 反比例函数的定义域是不等于零的一切实数3．反比例函数有如下性质： 〔1当k＞0时,函数图像的两支分别在第一、三象限,在每一个象限内,当自变量x的值逐渐增大时,y的值则随着逐渐减小 〔2当k＜0时 ,函数图像的两支分别在第二、四象限,在每一个象限内。
自变量x的值逐渐增大时,y的值也随着逐渐增大18.4函数的表示法1．把两个变量之间的依赖关系用数学式子来表达------解析法2．把两个变量之间的依赖关系用图像来表示------图像法3．把两个变量之间的依赖关系用表格来表示------列表法第十九章 几何证明19.1 命题和证明1．我们现在学习的证明方式是演绎证明,简称证明2．能界定某个对象含义的句子叫做定义3．判断一件事情的句子叫做命题；其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题4．数学命题通常由题设、结论两部分组成5．命题可以写成"如果……那么……"的形式,如果后是题设,那么后市结论19.2 证明举例1．平行的判定,全等三角形的判定19.3 逆命题和逆定理1．在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,二第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题,如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的逆命题2．如果一个定理的逆命题经过证明也是定理,那么这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫做另一个的逆定理19.4线段的垂直平分线1. 线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
2、逆定理：和一条线段的两个端点距离相等的点,在这条线段垂直平分线上19.5 角的平分线1、角的平分线定理：在角的平分线上的点到这个角的两边距离相等2、逆定理：在一个角的内部〔包括顶点且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上19.6 轨迹1、和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线2、在一个叫的内部〔包括顶点且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线3、到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆19.7 直角三角形全等的判定1．定理1：如果直角三角形的斜边和一条直角边对应相等,那么这两个直角三角形全等〔简记为H.L2．其他全等三角形的判定定理对于直角三角形仍然适用19.8 直角三角形的性质1．定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半2．推论1：在直角三角形中,如果一个锐角等于,那么它所对的直角边等于斜边的一半3．推论2：在直角三角形中,如果一条之骄傲便等于斜边的一般,那么这条直角边所对的角等于19.9 勾股定理1．定理：在直角三角形中,斜边大于直角边2．勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和,等于斜边的平方3．勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形19.10 两点间距离公式1．如果直角坐标平面内有两点、,那么、两点的距离八年级下册第二十章 一次函数20.1 一次函数的概念1．一般地,解析式形如的函数叫做一次函数； 一次函数的定义域是一切实数2．一般地,我们把函数〔c为常数叫做常值函数20.2一次函数的图像1．列表、描点、连线2．一条直线与轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距,简称直线的截距3．一般地,直线与y轴的交点坐标是〔0,b,直线的截距是b4．一次函数〔b≠0的图像可以由正比例函数的图像平移得到 当b＞0时,向上平移b个单位,当b＜0时,向下平移b的绝对值个单位5．一元一次不等式与一次函数之间的关系〔看图20.3一次函数的性质1． 一次函数具有以下性质：当k＞0时,函数值y随自变量x的值增大而增大当k＜0时,函数值y随自变量x的值增大而减小2．一次函数①如图所示,当k＞0,b＞0时,直线经过第一、二、三象限〔直线不经过第四象限；②如图所示,当k＞0,b﹥O时,直线经过第一、三、四象限〔直线不经过第二象限；③如图所示,当k﹤O,b＞0时,直线经过第一、二、四象限〔直线不经过第三象限；④如图所示,当k﹤O,b﹤O时,直线经过第二、三、四象限〔直线不经过第一象限．20.4一次函数的应用1．利用一次函数及图像解决实际问题 第二十一章 代数方程21.1一元整式方程1．〔a是正整数,x是未知数,a是用字母表示的已知数。
于是,在项ax中,字母a是项的系数,我们把a叫做字母系数,我们把a叫做字母系数,这个方程是含字母系数的一元一次方程2．如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式, 那么这个方程叫做一元整式方程3．如果经过整理的一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n〔n是正整数,那么这方程就叫做一元n次方程；其中次数n大于2的方程统称为一元高次方程,本章简称高次方程21.2二项方程1．如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项,另一边是零,那么这样的方程就叫做二项方程；一般形式为〔,n是正整数2．解一元n〔n＞2次二项方程,可转化为求一个已知数的n次方根3．对于二项方程〔 当n为奇数时,方程有且只有一个实数根 当n为偶数时,如果ab＜0,那么方程有两个实数根,且这两个根互为相反数；如果ab＞0,那么方程没有实数根21.3可化为一元二次方程的分式方程1．解分式方程,可以通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母,约去分母,转化为正式方程来解2．注意将所得的根带入最简公分母中检验是否为增根〔也可带入方程中3．换元法可将某些特殊的方程化繁为简,并且在解分式方程的过程中,避免了出现解高次方程的问题,起到降次的作用21.4无理方程1．方程中含有根式,且被开方数是含有未知数的代数式,这样的方程叫做无理方程2．整式方程和分式方程统称为有理方程3．有理方程和无理方程统称为初等代数方程,简称代数方程4．解简单的无理方程,可以通过去根号转化为有理方程来解,解简单无理方程的一般步骤5．注意无理方程的检验必须带入原方程中检验是否为增根21.5二元二次方程和方程组1．仅含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫二元二次方程2．关于x、y的二元二次方程的一般形式是：〔a、b、c、d、e、f都是常数,且a、b、c中至少有一个不是零；当b为零时,a与d以及c与e分别不全为零3．仅含有两个未知数,各方程是整式方程,并且含有未知数的项的最高次数为2。
像这样的方程组叫做二元二次方程组4．能是二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元二次方程5．方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解21.6二元二次方程组的解法1．代入消元法2．因式分解法21.7列方程〔组解应用题第二十二章 四边形22.1多边形1．由平面内不在同一直线上的一些线段收尾顺次联结所组成的封闭图形骄傲做多边形2．组成多边形每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点3．多边形相邻两边所成的角叫做多边形的内角4．对于一个多边形,画出它的任意一边所在的直线,如果其余个边都在这条直线的一侧,那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形5．多边形的内角和定理：n边形的内角和等于〔n-2×180°6．多边形的一个内角的邻补角叫做多边形的外角7．对多边形的每一个内角,从与它相邻的两个外角中取一个,这样取得的所有的外角的和叫做多边形的外角和8．多边形的外角和等于360°22.2平行四边形1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；用符号 表示2．〔1性质定理1：如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对边分别相等 简述为：平行四边形的对边相等〔2性质定理2：如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对角分别相等简述为：平行四边形的对角相等〔3夹在平行线间的平行线段相等〔4性质定理3：如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两条对角线互相平分〔5性质定理4：平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点3．〔1判定定理1：如果一个四边形两组对边分别相等,那么这个四边形是平行四边形 简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 〔2判定定理2：如果一个四边形的一组对边平行且相等,那么这个四边形是平行四边形 简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 〔3判定定理3：如果一个四边形的两条对角线互相平分,那么这个四边形是平行四边形简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形〔4判定定理4：如果一个四边形的两组对角分别相等,那么这个四边形是平行四边形 简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形22.3特殊的平行四边形1．有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形2．有一组林边相等的平行四边形叫做菱形3．矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角 2：矩形的两条对角线相等 菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等 2：菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角4．矩形的判定定理1：有三个内角是直角的四边形是矩形 2：对角线相等的平行四边形是矩形 菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形 2.：对角线互相垂直的平行四边形是菱形5．有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形6．正方形的判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形 2：有一个内角是直角的菱形是正方形7．正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角,四条边都相等 2：正方形的两条对角线相等,并互相垂直,每条对角线平分一组对角22.4梯形1．一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形2．梯形中,平行的两边叫做梯形的底〔短—上底；长—下底；不平行的两边叫做梯形的腰；两底之间的距离叫做梯形的高3．有一个角是直角的梯形叫做等腰梯形4．两腰相等的梯形叫做等腰梯形22.5等腰梯形1．等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底商的两个内角相等2． 性质定理2.：等腰梯形的两条对角线相等3．等腰梯形判定定理1：在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形4． 判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形22.6三角形、梯形的中位线1．联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线2．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半3．联结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线4．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半22.7平面向量1．规定了方向的线段叫做有向线段,有向线段的方向是从一点到另一点的指向,这时线段的两个端点有顺序,我们把前一点叫做起点,另一点叫做终点,画图时在终点处画上箭头表示它的方向2．既有大小。
又有方向的量叫做向量,向量的大小也叫做向量的长度〔或向量的模3．方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的量4．方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量5．方向相同或相反的两个向量叫做平行向量22.8平面向量的加法1．求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法2．求不平行的两个向量的和向量时,只要把第二个向量与第一个向量收尾相接,那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量,这样的规定叫做向量加法的三角形法则3．一般地,我们把长度为零的向量叫做零向量4．向量的加法满足交换律、结合律22.9平面向量的减法1．已知两个向量的和及其中一个向量,求另一个向量的运算叫做向量的减法2．在平面内任取一点,以这点为公共起点作出这两个向量,那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量；求两个向量的差向量的规定叫做向量减法的三角形法则3．减去一个向量等于加上这个向量的相反向量4．向量加法的平行四边形法则 副章 向量一、向量的基本概念1、向量 既有大小又有方向的量叫向量2、零向量 长度为零的向量叫零向量,记为. 零向量的方向不确定,是任意的,因此零向量与任意向量平行。
3、单位向量 长度为1的向量叫单位向量记做4、负向量 与非零向量长度相等并且方向相反的向量称为的负向量〔或的反向量,记作 -,的负向量规定为 -, = -5、相等向量 如果两个向量,的长度相等并且方向相同,则称这两个向量相等,记为=6、共线向量 如果把一组向量平行移动到同一个起点后,这些向量在同一条直线上,那么这一组向量叫做共线向量共线向量也叫平行向量共线向量与平行向量的关系是：共线向量不一定是相等向量,而相等向量一定是共线向量两个向量与共线的充要条件是：与方向相同或相反,或者有一个是零向量二、向量的表示1、几何表示：用有向线段表示一个向量,起点A到终点B的指向表示的方向,线段AB的长度表示的大小长度相等并且方向相同的有向线段表示相等的向量2、坐标表示：在平面上取不共线的两个向量,,则平面上每一个向量都可以唯一地表示成,的线性组合=x+y,我们称,是平面的一个基,把称为在基,下的坐标特别的,在平面上取一个直角坐标系[O;,],平面上每一个向量在基,下的坐标称为的直角坐标,其中x称为横坐标,y称为纵坐标定位向量的坐标等于它的终点坐标任一向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标。
三、向量的线性运算向量有加法、减法和数乘运算,它们统称为向量的线性运算,有两种方式进行向量的线性运算：1、用有向线段加法有三角形法则：+=;对于不共线的两个向量的加法还有平行四边形法则： +=; 其中AC是以AB、AD为邻边的平行四边形的对角线减法：-=+<->用有向线段表示向量时,有-=.数乘向量：λ的长度为|λ||| ; 对于非零向量λ,λ的方向为：当λ>0时,与同向 ; 当λ<0时,与反向2、用坐标两个向量的和〔差的坐标等于它们的坐标的和〔差实数k与向量的乘积坐标等于k乘以的坐标向量的加法与数乘运算满足8条运算法则：对任意向量、、,任意实数λ,μ有①+=+;② <+>+=+<+> ;③+=+=;④+<->=<->+=⑤ 1=⑥ <λμ>= λ<μ>⑦ <λ+μ>=λ+μ⑧λ<+>=λ+λ利用向量的线性运算可以很容易得出下列公式：线段的中点坐标公式：设A ,B两点,则线段AB的中点M的坐标满足x= , y =线段的定比分点坐标公式：设两点A , B, 点C分线段AB成定比λ<即=λ>,则定比分点C的坐标满足：x= ,y =平移公式：设的坐标为,则由决定的平移的公式为 x’=x+a1y’=y+a2其中是平面上任一点P在平移下的象P’的坐标。
四、向量的内积利用向量的内积可以统一地研究有关长度、角度、垂直等度量问题任给两个向量,,实数||||cos<,>称为与的内积,记作·由定义立即得到 ·= ·=0向量的内积有4条基本性质：对任意向量、、,任意实数k,有①·=·; 〔对称性；② ·= k<·>〔线性性之一；③ <+>·=·+·〔线性性之二；④·≥0, 等号成立=〔正定性利用向量、的直角坐标,< b1, b2>,可以很容易计算它们的内积：·=a1b1+a2b2向量内积的应用：1、计算向量的长度：设的直角坐标为,则||==2、计算两点间距离：设在直角坐标系中,P,Q,则 |PQ|=3、计算两个非零向量的夹角：设两个非零向量,的直角坐标分别为,< b1, b2>,则 cos<,>=4、判断两个向量是否垂直：设、的直角坐标分别为, < b1, b2>,则⊥·=0=0 第二十三章 概率初步23.1确定事件和随机事件1．在一定条件下必定出现的现象叫做必然事件2．在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件3．必然事件和不可能事件统称为确定事件4．那些在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫做随机时间,也称为不确定事件23.2事件发生的可能性23.3时间的概率1．用来表示某事件发生的可能性大小的数叫做这个事件的概率2．规定用0作为不可能事件的概率；用1作为必然时间的概率3．事件A的概率我们记作P〔A；对于随机事件A,可知0＜P〔A＜14．如果一项可以反复进行的试验具有以下特点： 〔1试验的结果是有限个,各种结果可能出现的机会是均等的； 〔2任何两个结果不可能同时出现 那么这样的试验叫做等可能试验 5．一般地,如果一个试验共有n个等可能的结果,事件A包含其中的k个结果,那么事件A的概率 P〔A=事件A包含的可能结果数／所有的可能结果总数=k／n6．列举法、树状图、列表20 / 20。