2019-2020年高三数学第三次模拟考试试题 文 新人教A版 一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=i，是z的共轭复数，则=（ ） A． 1 B． ﹣i C． i D． ﹣12．已知全集U=R，集合A={x|＞0}，B={x|y=}，则A∩B=（ ） A．（1，2） B． （2，3） C． [2，3） D． （1，2]3．已知向量，=（3，m），m∈R，则“m=﹣6”是“”的（ ） A．充要条件 B． 充分不必要条件 C．必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件4．已知实数x、y满足不等式组，则z=x﹣y的最小值为（ ） A．﹣1 B． ﹣ C． ﹣3 D． 35．设奇函数f（x）=cos（ωx+φ）﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，则ω，φ分别是（ ） A． 2， B． ， C． ， D． 2，6．按1，3，6，10，15，…的规律给出xx个数，如图是计算这xx个数的和的程序框图，那么框图中判断框①处可以填入（ ） A． i≥xx B． i＞2014 C． i≤xx D． i＜xx7．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（ ） A． 8π B． 12π C． 16π D． 48π8．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，关于x的方程ax2+bx﹣=0的两根为m，n，则点P（m，n）（ ） A．在圆x2+y2=7内 B． 在椭圆+=1内 C．在圆x2+y2=7上 D． 在椭圆+=1上9．设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是（ ） A．（0，） B． （，e） C． （0，] D． [，）10．如图，圆C：x2+（y﹣1）2=1与y轴的上交点为A，动点P从A点出发沿圆C按逆时针方向运动，设旋转的角度∠ACP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（ ）二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分．11．不等式|x﹣1|≤x的解集是 _________ ．12．已知x、y的取值如表所示，如果y与x线性相关，且线性回归方程为y=x+，则表中的a= _________ ．x234y5a613．圆心为（a，2），过抛物线y2=4x的焦点，且与其准线相切的圆的方程是 _________ ．14．已知双曲正弦函数shx=和双曲余弦函数chx=与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论 _________ ．15．已知数列{an}中，a1=1，a2=2，设Sn为数列{an}的前n项和，对于任意的n≥2，n∈N+，Sn+1+Sn﹣1=2（Sn+1）都成立，则Sn= _________ ． 三、解答题：本题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosBcosC（1﹣tanBtanC）=1．（1）求角A的大小；（2）若a=2，△ABC的面积为2，求b+c的值． 17．（12分）甲、乙两位同学从A、B、C、D共4所高校中，任选两所参加自主招生考试（并且只能选两所高校），但同学甲特别喜欢A高校，他除选A高校外，再在余下的3所中随机选1所；同学乙对4所高校没有偏爱，在4所高校中随机选2所．（1）求乙同学选中D高校的概率；（2）求甲、乙两名同学恰有一人选中D高校的概率． 18．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC，BD交于点O，A1O⊥平面ABCD，A1A=BD=2，AC=2．（1）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（2）求三棱锥A﹣C1CD的体积． 19．（12分）已知等差数列{an}的公差d≠0，首项a1=3，且a1、a4、a13成等比数列，设数列{an}的前n项和为Sn（n∈N+）．（1）求an和Sn；（2）若bn=，求数列{bn}的前n项和Tn． 20．（13分）如图所示，设F是抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，且k1•k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．（1）求抛物线E的方程；（2）若•+•=64，求直线l1、l2的方程． 21．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），函数g（x）的导函数g′（x）=ex，且函数f（x）无极值，g（0）g′（1）=﹣e（其中e为自然对数的底数）．（1）求a的取值范围；（2）若存在x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜+﹣2成立，求实数m的取值范围；（3）当a≤0时，对于任意的x∈（0，+∞），求证：f（x）＜g（x）． 20． 解：（1）由题意，F（0，），△AFO外接圆的圆心段OF的垂直平分线y=上，∴+=3，∴p=4．∴抛物线E的方程是x2=8y；（2）设直线l1的方程y=k1x+2，代入抛物线方程，得y2﹣（8k12+4）y+4=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8k12+4，y1y2=4设C（x3，y3），D（x4，y4），同理可得y3+y4=+4，y3y4=4∴•+•=32+16（k12+）≥64，当且仅当k12=，即k1=1时取等号，∴直线l1、l2的方程为y=x+2或y=﹣x+2．21． 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=a+（x＞0）；当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（x）无极值；当a＜0时，f′（x）=；若x∈（0，﹣）时，f′（x）＞0；若x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＜0；∴f（x）存在极大值，且当x=﹣时，f（x）极大=f（﹣）=ln（﹣）﹣1；综上，a的取值范围是[0，+∞）；（2）∵函数g（x）的导数是g′（x）=ex，∴g（x）=ex+c；∵g（0）g′（1）=﹣e，∴（1+c）e=﹣e，∴c=﹣2，∴g（x）=ex﹣2；∵存在x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜+﹣2成立，即存在x∈（0，+∞），使得m＞ex﹣x成立；令h（x）=ex﹣x，则问题可化为m＞h（x）min，对于h（x）=ex﹣x，x∈（0，+∞），∵h′（x）=ex（+）﹣，当x∈（0，+∞）时，∵ex＞1，+≥2=，∴ex（+）＞；∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上是增函数；∴h（x）＞h（0）=0，∴m＞0，即实数m的取值范围是（0，+∞）；（3）由（1）得a=0，则f（x）=lnx，令φ（x）=g（x）﹣f（x），则φ（x）=ex﹣lnx﹣2，∴φ′（x）=ex﹣，且φ′（x）在（0，+∞）上为增函数；设φ′（x）=0的根为t，则et=，即t=e﹣t，∵当x∈（0，t）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（0，t）上是减函数，当x∈（t，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（t，+∞）上是增函数；∴φ（x）min=φ（t）=et﹣lne﹣t﹣2=et+t﹣2；∵φ′（1）=e﹣1＞0，φ′（）=﹣2＜0，∴t∈（，1）；∵φ（t）=et+t﹣2在t∈（，1）上是增函数，∴φ（x）min=φ（t）=et+t﹣2＞+﹣2＞0，∴f（x）＜g（x）．。
