9.6 9.6 第一型曲线积分的计算第一型曲线积分的计算一、第一型曲线积分的概念一、第一型曲线积分的概念曲线形物体的质量曲线形物体的质量 设曲线形物体在xoy平面上占有可求长曲线 L，其线密度为连续函数),(yxf，求该物体的质量 mx),(iiA1M1iMiMBoyL1nM2M（2 2）近近似似 iiis),(，则第 i 小段的质量iiisfm),(3 3）求求和和 iiinisfm),(14 4）取取极极限限 令max1inisd，则),(lim10niiiidsfm1 1）分割）分割 在上L任取点列121,nMMM，把小分为 nL段),2 ,1(nisi，同时也以is 表示第 i 小段弧长),(lim),(10niiiidLsfdsyxf，其中),(yxf称为被积函数，L 称为积分弧段注注：（1）当),(yxf在光滑曲线 L 上连续时，Ldsyxf),(存在2）将上述定义推广，可得空间曲线L上的第一型曲线 积分：),(lim),(10niiiiidLsfdszyxf若L是闭曲线，则),(yxf在 L 上的第一型曲线 积分记为 Ldsyxf),(二、第一型曲线积分的计算法二、第一型曲线积分的计算法22)()(:dydxds弧微分公式baLdxyxyxfdsyxf21)(,(),(则的方程为若曲线,),()1(bxaxyyLdttytxtytxfdsyxfL)()()(,)(),(22则的方程为若曲线,)()()2(ttyytxxL(3)若由 L方程)(sin)(cos)()(yx或给出，则 取为参数，dds)()(22 dfdsyxfL)()(sin)(,cos)(),(22。
4).若空间光滑曲线的L参数方程为 )(txx，)(tyy，)(tzz)(t，则 dttztytxds)()()(222，dttztytxtztytxfdszyxfL)()()()(),(),(),(222注注：第一型曲线积分与曲线的方向无关，化为关于 参数的定积分计算时，上限必须大于下限上限必须大于下限0,:222yRyxLdsxL求022RRLdxxRxRxdsdxxRRdxxydsRxRxRyL22222)(1 ,:)(法一1例解dRRdsRyRxL2222cossin 0,sincos:)(法二0sincos 0202RdRxdsLdydsyxOBdxdsxxyABdxdsxyOA100:2101:100:.)1,0(),0,1(),0,0(:,)(的折线连接三点BAOLdsyxLoxyAB2121221 2)(102102101010yxydydxxdxdsyxL2例解.129:,)(222222zxzyxLdszyxL其中计算,sin2,cos221yx：可用参数方程表示为142)21(22yx等式20,cos221,1zzx得代入3例解,1142)21(:22zxyxL20,cos221sin2cos221zyxL的参数方程为：于是18229)(20222ddszyxLddds2)sin2()cos2()sin2(222。