答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.ADCCD ABABC AB第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中的横线上.(13) (14) (15)(16) 三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17) （本小题满分10分）函数定义域为，（1）求函数的单调区间；（2）指出函数的极值点并求对应的极值.解：（1）得或，解得或得或，解得或所以单调增区间为和；单调减区间为和…………5分（2）由（1）可知，极大值点为从而和；极小值点为，从而………………………………………………10分 (18)（本小题满分12分）已知为实数．（1）若，求；（2）若，求的值．【答案】解：（1）因为…………………………………………………………6分（2）由条件，得，即，，，解得……………………………………12分(19)（本小题满分12分）已知函数，对于正数，记，如图，由点构成的矩形的周长为（），都满足．(Ⅰ)求；(Ⅱ)猜想的表达式用表示，并用数学归纳法证明．【答案】(Ⅰ)解：由题意知，，又因为，所以．令，得，又，且，故．令，得，故；令，得，故；…………………4分(Ⅱ)解：由上述过程猜想，下面用数学归纳法证明：①当时，，命题成立；②假设时命题成立，即，则当时，，又，故，由，代入得，．即当时命题成立．综上所述，对任意自然数n，都有成立．………………………………………………………………………………12分 (20) （本小题满分12分）已知函数，其中，是自然对数的底数．(Ⅰ)若，求在处切线的方程；(Ⅱ)若对任意均有两个极值点，一个在区间内，另一个在区间外，求的取值范围．【答案】解：（1），又切线方程为 ……………………………………4分（2），设，它的图象是开口向下的抛物线，由题意对任意有两个不等实数根，且，，则对任意，即，有，又任意关于递增，，故，所以…………12分(21) （本小题满分12分）已知函数，．(Ⅰ) 讨论函数在区间上零点的个数；(Ⅱ) 设,当时，试用反证法证明：与中至少有一个大于0．解（1）由题可得，令．设，令，得；令，得．故在上递减，在上递增．．当或时，无零点．当或时，有1个零点；当时，有2个零点．…………………………6分（2）（反证法）假设都不大于0，即又设，，所以，所以，因为不能同时取到最小值，从而，与矛盾。
所以假设不成立，所以，在与中至少有一个大于0．……………………12分(22)（本小题满分12分） 已知函数.（1）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；（2）若对，恒有成立，求实数的最大值.解：（1），只要的最小值为负即可，从而.由基本不等式，从而…………………………4分（2）由题意问题等价于恒成立，所以必有，从而解得.从而当时，；时，.令，，所以问题转化为：当时恒成立；当时恒成立.由，设，，当时当时，.因为恒成立，所以，解得；同理可得，当时，也成立所以实数的最大值为2……………………12分。
