2022年高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.4函数的应用Ⅱ同步训练新人教B版必修5分钟训练1.为了治理沙尘暴，A市政府大力加强环境保护，其周边草场绿色植被面积每年都比上一年增长10.4%，那么经过x年绿色植被的面积为y，则y=f(x)的图象大致为（ ）答案：D解析：y=a(1+10.4%)x（a为草场绿色植被初始面积）.2.已知甲、乙两厂年产值的曲线如下图所示，则下列结论中，错误的一个是（ ）A.两厂的产值有三年相同 B.甲厂产值有两年超过乙厂C.1994年前甲厂产值低于乙厂 D.1996到xx年乙厂的产值增长最快答案：B解析：两图象有三个交点，在这一年显然产值相同，所以A正确.此外易观察出C、D均能成立.3.当x→+∞时，下列函数中，增长速度最快的应该是（ ）A.y= B.y=100lnxC.y=x100 D.y=100·2x答案：A解析：指数函数增长的快慢与底数有关，当底数大于1时，底数越大，增长速度越快.4.某工厂从t年到t+2年新产品的成本共下降了51%，若两年下降的百分率相同，则每年下降的百分率为（ ）A.30% B.25.5% C.24.5% D.51%答案：A 解析：设第t年的成本为a,每年下降的百分率为x,则第t+2年的成本为a(1-x)2,∴=51%,解得x=30%.10分钟训练1.一种产品的成本今年是a元，计划使成本平均每年比上一年降低m%，则从今年算起，第四年时该产品的成本为( )A.a（1-m%）3 B.a（1+m%）3C.a（1-m）3 D.a（1+m）3答案：A解析：第二年时该产品的成本为a(1-m%),第三年时该产品的成本为a(1-m%)2,第四年时该产品的成本为a(1-m%)3.2.在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：x-2.0-1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a,b为待定系数)（ ）A.y=a+bx B.y=a+bxC.y=ax2+b D.y=答案：B解析：∵x=0时，无意义，∴D不成立.由对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快，所以A不成立.因为C是偶函数，所以x=±1的值应该相等，故C不成立.对于B，当x=0时,y=1,∴a+1=1,a=0;当x=1时,y=b=2.02,显然它与各数据比较接近.3.某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个），则这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过___________小时.( )A.12 B.4 C.3 D.2答案：C解析：设共分裂了x次，则有2x=4 096.∴2x=212,即x=12.又∵每次15分钟,∴共15×12=180分钟，即3小时.4.假设银行1年定期的年利率为2%.某人为观看xx年的奥运会，从xx年元旦开始在银行存款1万元，存期1年，第二年元旦再把1万元和前一年的存款本利和一起作为本金再存1年定期存款，以后每年元旦都这样存款，则到xx年年底，这个人的银行存款共有（精确到0.01）（ ）A.7.14万元 B.7.58万元C.7.56万元 D.7.50万元答案：B解析：到xx年底，这个人有存款（1+2%）万元；到xx年底，这个人有存款（1+2%）2+（1+2%）万元；到xx年底，这个人有存款（1+2%）3+（1+2%）2+（1+2%）万元；……到xx年底，这个人有存款（1+2%）7+（1+2%）6+…+（1+2%）≈7.58（万元）.5.据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“xx年国内生产总值达到95 933亿元，比上一年增长7.3%.”如果“十五”期间（xx年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内生产总值约为（ ）A.115 000亿元 B.120 000亿元C.127 000亿元 D.135 000亿元答案：C解析：到“十五”末我国国内生产总值约为95 933×(1+7.3%)4≈127 000(亿元).6.某工厂xx年开发一种新型农用机械，每台成本为5 000元，并加价20%作为纯利润标价出厂.自xx年开始，工厂加强内部管理，进行技术革新，使成本降低，xx年平均出厂价尽管只有xx年的80%，但却实现了纯利润为50%的高效益.以xx年生产成本为基础，设xx年到xx年生产成本平均每年每台降低的百分数为x,试建立xx年生产成本y与x的函数关系式，并求x的值.（可能用到的近似值：≈1.414,≈1.73,≈2.24）解：根据题意，由xx年到xx年生产成本经历了4年的降低，所以y=5 000(1-x)4.由xx年出厂价为5 000（1+20%）=6 000元，得xx年出厂价为6 000×80%=4 800元.由4 800=y(1+50%)，得y=3 200元.再由5 000(1-x)4=3 200,得x=≈11%.所以，由xx年到xx年，生产成本平均每年降低11%.30分钟训练1.每次用相同体积的水清洗一件衣物，且每次能洗去污垢的,若洗x次后存留的污垢在1%以下，则x的最小值为（ ）A.3 B.2 C.5 D.1答案：A解析：每次洗去污垢的,就是存留了,故洗x次后，还有原来的（）x,有（）x<1%,∴5x>100.解得x的最小值为3.2.（探究题）函数y1=2x与y2=x2,当x>0时，图象的交点个数是（ ）A.0 B.1 C.2 D.3答案：C解析：当x=2时，y1=y2;当x=4时，y1=y2.所以，当x>0时，y1与y2有2个交点.3.（xx山东日照实验高中《函数》过关测试,6）f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时，对三个函数增长速度进行比较，下列选项中正确的是（ ）A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x)C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x)答案：B解析：可借助图象去体会指数爆炸的含义.4.某种商品在今年1月降价10%，在此之后，由于市场供求关系的影响，价格连续三次上涨，使目前售价与1月降价前的价格相同，则这三次价格的平均增长率是_____________.答案：解析：设1月降价前的价格为a,这三次价格的平均增长率是x,由题意，得a(1-10%)(1+x)3=a.则（1+x）3=,1+x=,所以x=.5.（创新题）如图，开始时桶1中有a升水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y1=ae-nt，那么桶2中水就是y2=a-ae-nt.假设过5分钟后桶1和桶2的水相等，则再过_____________分钟桶1中的水只有.答案：10解析：∵过5分钟后桶1和桶2的水相等，∴a·e-5n=a-ae-5n,e-5n=. ①设过x分钟桶1中的水只有,则=ae-nx,即e-nx=.由①可知e-nx=（）3=（e-5n）3=e-15n,∴x=15.∴再过15-5=10分钟桶1中的水只有.6.把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1,空气温度是θ0,t分钟后物体温度θ可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)求得.现有60 ℃的物体放在15 ℃的空气中冷却，当物体温度为35 ℃时，冷却时间t=_______________分钟.答案：2解析：由35=15+(60-15),得,即,所以t=2.7.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系：y=at，有以下叙述：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2；③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1+t2=t3.其中正确的是________________.答案：①②⑤8.某城市xx年底人口总数为100万人，如果人口年自然增长率为1%，试解答下面的问题：（1）写出x年后该城市人口数y（万人）与x的函数关系式;(2)计算xx年底该城市人口总数.解：(1)x年后该城市人口总数为y=100×(1+1%)x.(2)xx年底该城市人口数为y=100×(1+1%)2=100×1.012=102.01(万人).9.某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e-λt，其中N0、λ是正的常数.（1）说明函数是增函数还是减函数；（2）把t表示为原子数N的函数；（3）求当N=时t的值.解：（1）由于N0>0，λ>0，函数N=N0e-λt是属于指数函数y=e-x类型的，所以它是减函数，即原子数N的值随时间t的增大而减小.（2）将N=N0e-λt写成e-λt=，根据对数的定义有-λt=ln，即t=（lnN-lnN0）=（lnN0-lnN）.（3）把N=代入t=（lnN0-lnN），得t=（lnN0-ln分 N0[]2式）=（lnN0-lnN0+ln2）=ln2.10.九十年代，政府间气候变化专业委员会（IPCC）提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加.据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO2浓度分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位.若用一个函数模拟九十年代中每年CO2浓度增加的可比单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y=a·bx+c(其中a、b、c为常数)，且又知1994年大气中的CO2浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？解：（1）若以f(x)=px2+qx+r(这里把1990视为第一年，即x表示“年数-1989”)作模拟函数，则依题意,得所以f(x)=.(2)若以g(x)=a·bx+c作模拟函数，则所以g(x)=.(3)利用f(x)、g(x)对1994年CO2浓度作估算，则其数值分别为f(5)=15可比单位，g(5)=17.25可比单位.∵|f(5)-16|<|g(5)-16|,故选f(x)=作为模拟函数与1994年的实际数据较为接近.。