2、短除法：先找公有的约数，然后相乘 3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数 公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数 12的倍数有：12、24、36、48……； 18的倍数有：18、36、54、72……； 那么12和18的公倍数有：36、72、108……； 那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36； 最小公倍数的性质： 1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数 2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积 求最小公倍数基本方法： 1、短除法求最小公倍数； 2、分解质因数的方法六年奥数知识讲解：加法原理 加法乘法原理和几何计数 加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+ m2....... +mn种不同的方法 关键问题：确定工作的分类方法 基本特征：每一种方法都可完成任务 乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2....... ×mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的完成步骤 基本特征：每一步只能完成任务的一部分 直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹 直线特点：没有端点，没有长度 线段：直线上任意两点间的距离这两点叫端点 线段特点：有两个端点，有长度 射线：把直线的一端无限延长 射线特点：只有一个端点；没有长度 ①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一1）； ②数角规律=1+2+3+…+（射线数一1）； ③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数： ④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数六年奥数知识讲解：数列求和 数列求和 等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列 基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示； 项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示； 公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示； 通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示； 数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示． 基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n, sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。
基本公式：通项公式：an = a1+（n－1）d； 通项＝首项＋（项数一1) ×公差； 数列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2； 数列和＝（首项＋末项）×项数÷2； 项数公式：n= (an+ a1)÷d＋1； 项数=（末项-首项）÷公差＋1； 公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）； 公差=（末项－首项）÷（项数－1）； 关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；六年奥数知识讲解：抽屉原理 抽屉原理 抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体 例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况： ①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1 观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体 抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有: ①k=[n/m ]+1个物体：当n不能被m整除时 ②k=n/m个物体：当n能被m整除时。
理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数 例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2； 关键问题：构造物体和抽屉也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算六年奥数知识讲解：平均数问题 平均数 基本公式：①平均数=总数量÷总份数 总数量=平均数×总份数 总份数=总数量÷平均数 ②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数 基本算法： ①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算. ②基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②六年奥数知识讲解：盈亏问题 盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于 分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量． 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量． 基本题型： ①一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差 ②当两次都有余数； 基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差 ③当两次都不足； 基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数六年奥数知识讲解：植树问题总结 植树问题 基本类型： 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树 封闭曲线上植树 基本公式： 棵数=段数＋1 棵距×段数=总长 棵数=段数－1 棵距×段数=总长 棵数=段数 棵距×段数=总长 关键问题： 确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系六年奥数知识讲解：年龄问题的三大特征 年龄问题：已知两人的年龄，求若干年前或若干年后两人年龄之间倍数关系的应用题，叫做年龄问题 年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 解题规律：抓住年龄差是个不变的数（常数），而倍数却是每年都在变化的这个关键 例：父亲今年54岁，儿子今年18岁，几年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍？ ⑴ 父子年龄的差是多少？ 54 – 18 = 36（岁） ⑵ 几年前父亲年龄比儿子年龄大几倍？ 7 - 1 = 6 ⑶ 几年前儿子多少岁？ 36÷6 = 6（岁） ⑷ 几年前父亲年龄是儿子年龄的7倍？ 18 – 6 = 12 (年) 答：12年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍。
六年级奥数专题讲解：利润与折扣 [专题介绍] 工厂和商店有时减价出售商品，通常我们把它称为“打折扣”出售，几折就是百分之几十 利润问题也是一种常见的百分数应用题，商店出售商品总是期望获得利润，一般情况下，商品从厂家购进的价格称为本价，商家在成本价的基础上提高价格出售，所赚的钱称为利润，利润与成本的百分比称之为利润率期望利润=成本价×期望利润率 [经典例题] 例1、某商店将某种DVD按进价提高35%后，打出“九折优惠酬宾，外送50元出租车费”的广告，结果每台仍旧获利208元，那么每台DVD的进价是多少元？（B级） 解：定价是进价的1+35% 打九折后，实际售价是进价的135%×90%=121.5% 每台DVD的实际盈利：208+50=258（元） 每台DVD的进价258÷（121.5%-1）=1200（元） 答：每台DVD的进价是1200元 例2：一种服装，甲店比乙店的进货便宜10%甲店按照20%的利润定价，乙店按照15%的利润定价，甲店比乙店的出厂价便宜11.2元，问甲店的进货价 是多少元？（B级） 分析： 解：设乙店的成本价为1 （1+15%）是乙店的定价 （1-10%）×（1+20%）是甲店的定价 （1+15%）-（1-10%）×（1+20%）=7% 11.2÷7%=160（元） 160×（1-10%）=144（元） 答：甲店的进货价为144元。
例3、原来将一批水果按100%的利润定价出售，由于价格过高，无人购买，不得不按38%的利润重新定价，这样出售了其中的40%，此时因害怕剩余水果会变质，不得不再次降价，售出了全部水果结果实际获得的总利润是原来利润的30.2%，那么第二次降价后的价格是原来定价的百分之几？（B级） 分析： 要求第二次降价后的价格是原来定价的百分之几，则需要求出第二次是按百分之几的利润定价 解：设第二次降价是按x%的利润定价的 38%×40%＋x%×（1-40%）=30.2% X%=25% （1+25%）÷（1+100%）=62.5% 答：第二次降价后的价格是原来价格的62.5% [练习]： 1、某商品按每个7元的利润卖出13个的钱，与按每个11元的利润卖出12个的钱一样多这种商品的进货价是每个多少元？ 2、租用仓库堆放3吨货物，每月租金7000元这些货物原计划要销售3个月，由于降低了价格，结果2个月就销售完了，由于节省了租仓库的租金，所以结算下来，反而比原计划多赚了1000元问：每千克货物的价格降低了多少元？ 3、张先生向商店订购了每件定价100元的某种商品80件张先生对商店经理说：“如果你肯减价，那么每减价1元，我就多订购4件。
商店经理算了一下，若减价5％，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元问：这种商品的成本是多少元？ 4、某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克1.20元从产地到商店的距离是400千米，运费为每吨货物每运1千米收1.50元如果在运输及销售过程中的损耗是10％，商店要想实现25％的利润率，零售价应是每千克多少元？ 5、小明到商店买了相同数量的红球和白球，红球原价2元3个，白球原价3元5个新年优惠，两种球都按1元2个卖，结果小明少花了8元钱问：小明共买了多少个球？ 6、某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万元，每年需付利息5万元甲种贷款年利率为12％，乙种贷款年利率为14％该厂申请甲、乙两种贷款的金额各是多少？ 7、商店进了一批钢笔，用零售价10元卖出20支与用零售价11元卖出15支的利润相同这批钢笔的进货价每支多少元？ 8、某种蜜瓜大量上市，这几天的价格每天都是前一天的80％妈妈第一天买了2个，第二天买了3个，第三天买了5个，共花了38元若这10个蜜瓜都在第三天买，则能少花多少钱？ 9、商店以每双13元购进一批凉鞋，售价为14.8元，卖到还剩5双时，除去购进这批凉鞋的全部开销外还获利88元。
问：这批凉鞋共多少双？ 10、体育用品商店用3000元购进50个足球和40个篮球零售时足球加价9％，篮球加价11％，全部卖出后获利润298元问：每个足球和篮球的进价是多少元？六年奥数知识讲解：不定方程 不定方程 一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程； 常规方法：观察法、试验法、枚举法； 多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一； 多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可； 涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较； 解不定方程的步骤：1、列方程；2、消元；3、写出表达式；4、确定范围；5、确定特征；6、确定答案； 技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数；B、消元技巧：消掉范围大的未知数；六年奥数知识讲解：经济问题 经济问题 利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100%； 卖价=成本×（1+利润的百分数）； 成本=卖价÷（1+利润的百分数）； 商品的定价按照期望的利润来确定； 定价=成本×（1+期望利润的百分数）； 本金：储蓄的金额； 利率：利息和本金的比； 利息=本金×利率×期数； 含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）；六年奥数知识讲解：时钟问题—钟面追及 时钟问题—钟面追及 基本思路：封闭曲线上的追及问题。
关键问题： ①确定分针与时针的初始位置； ②确定分针与时针的路程差； 基本方法： ①分格方法： 时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格分针每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格，故分针每分钟走1分格，时针每分钟走 1／12分格 ②度数方法： 从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转360/60 度，即6°，时针每分钟转360/12*60 度，即1/2 度六年奥数知识讲解：几何面积 几何面积 基本思路： 在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律 常用方法： 1. 连辅助线方法 2. 利用等底等高的两个三角形面积相等 3. 大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上） 4. 利用特殊规律 ①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积） ②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等 ③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。
六年奥数知识讲解：工程问题 工程问题 基本公式： ①工作总量=工作效率×工作时间 ②工作效率=工作总量÷工作时间 ③工作时间=工作总量÷工作效率 基本思路： ①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）； ②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间. 关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系 经验简评：合久必分，分久必合六年奥数知识讲解：比和比例 比和比例 比：两个数相除又叫两个数的比比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项 比值：比的前项除以后项的商，叫做比值 比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变 比例：表示两个比相等的式子叫做比例a:b=c:d或 比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc 正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正比 反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B成反比 比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配六年奥数知识讲解：分数大小的比较 分数大小的比较 基本方法： ①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较 ②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较 ③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较 ④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大 ⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小具体运用见同倍率变化规律） ⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较 ⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较 ⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较 ⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小 ⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较六年奥数知识讲解：余数问题 余数、同余与周期 一、同余的定义： ①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余 ②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质： ①自身性：a≡a(mod m)； ②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)； ③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)； ④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)； ⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)； ⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)； ⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)； 三、关于乘方的预备知识： ①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b ②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md 四、被3、9、11除后的余数特征： ①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod 3）； ②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)； 五、费尔马小定理： 如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。
六年奥数知识讲解：数的整除一、基本概念和符号： 1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a 2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”； 二、整除判断方法： 1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除 2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除 3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除 4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除 5. 能被7整除： ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除 6. 能被11整除： ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除 ②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除 ③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除 7. 能被13整除： ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质： 1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除 2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除 3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除 4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除六年奥数知识讲解：质数与合数 质数与合数 质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数 合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数 质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数 分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数通常用短除法分解质因数任何一个合数分解质因数的结果是唯一的 分解质因数的标准表示形式：N= ，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1
所以 234=200+30+4=2×102+3×10+4 =An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100 注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然数） 二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义 （2）= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7 +……+A3×22+A2×21+A1×20 注意：An不是0就是1 十进制化成二进制： ①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可 ②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出六年奥数知识讲解：定义新运算 定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义 注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用六年奥数知识讲解：周期循环数 周期循环与数表规律 周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现 周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期 关键问题：确定循环周期 闰 年：一年有366天； ①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除； 平 年：一年有365天 ①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；六年奥数知识讲解：牛吃草问题 牛吃草问题 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量 基本公式： 生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）； 总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；六年奥数知识讲解：鸡兔同笼问题 鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差六年奥数知识讲解：归一问题特点 归一问题的基本特点： 问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 复合应用题中的某些问题，解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答，这种方法叫做倍比法 由上所述，解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。