点顶距已知时矩形周长最大值问题的解决《美国数学月刊》2004年1月问题11057为：设，，为正实数，矩形内部有一点，满足，，，求矩形面积的最大值．文[1]在给出上述问题的解答（文[2]、[3]指出文[1]解法有误）后，通过类比提出并探讨了另一个与此相关的问题：问题：设，，为正实数，为矩形的边上或内部的一点，且，，，求证：矩形的周长．文[2]作者从文[1]的证明过程中注意到了上述结论中的等号未必成立，并试图通过微分法解决矩形周长的最大值问题，但未能成功．文[2]作者只得在文末感叹到：这是“又一个值得继续研究的问题”．本文将解决矩形周长的最大值问题．注意到对于矩形所在平面内的任一点，点顶距(点与顶点、、、距离之简称)之间总满足：（见文[2]引理）．故在讨论矩形周长的最大值问题时，为表述简明，引进点顶距，并不改变问题的实质．且总可假定（否则，适当改变顶点的标注顺序）．定理1 设，，，为非负常数，为矩形的边上或内部的一点，且，，，．令，则矩形周长的最大值为其中为关于的方程的（唯一）实根．证 如图1，过点分别作矩形边的平行线交于，交于．设，，，，则由勾股定理有注意到，由（３），设 （），则．于是，由（２）有，由（４）有．从而(）当时，对求导得： 显然在时为减函数，且；在时为增函数，且．故方程在有唯一实根．从而可知，当时，，当时，．于是，结合初等函数的连续性知，在为增函数，在为减函数．故当时，取得最大值．证毕．由定理1的证明过程，显然有定理2 在定理1的条件下，矩形周长的最小值为．参考文献：[1] 杨志明．美国数学月刊问题征解11057的简证及类比［J］．数学通讯，2004（23）.[2] 郭要红，丁亚元，谢亚义．一类矩形面积的最大值［J］．中学数学教学，2005（3）.[3] 蒋明斌,周兰林,孙世保．求一类矩形面积的最大值的初等方法［J］．中学数学教学，2005（5）.（收稿日期：2008—12—19,发表于《数学通讯》2009年第6期） 。