2.3 映射的概念(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．下列从P到Q的各对应关系f 中，不是映射的是________．(填序号)①P＝N，Q＝N*，f ：x→|x－8|；②P＝{1,2,3,4,5,6}，Q＝{－4，－3,0,5}，f ：x→x(x－4)；③P＝N*，Q＝{－1,1}，f ：x→(－1)x；④P＝Z，Q＝{有理数}，f ：x→x2.【解析】 ①P＝N中元素8在Q＝N*中无对应，所以①不是映射．②P＝{1,2,3,4,5,6}中元素6在Q＝{－4，－3,0,5}中无对应，所以②不是映射．③④符合映射定义．【答案】 ①②2．观察数表：x－3－2－1123f (x)41－1－335g(x)1423－2－4则f [g(3)－f (－1)]＝________.【解析】 由表中对应数据可知g(3)＝－4，f (－1)＝－1.∴f [g(3)－f (－1)]＝f (－4＋1)＝f (－3)＝4.【答案】 43．设集合A中的元素(x，y)在映射f 下的对应B中的元素是(2x＋y，x－2y)，则在f 下，B中元素(2,1)在A中的对应元素是________．【解析】 令∴因此(2,1)在A中的对应元素是(1,0)．【答案】 (1,0)4．已知A＝B＝R，x∈A，y∈B，f ：x→y＝ax＋b，若5→5，且7→11，若x→20，则x＝________.【解析】 由5→5,7→11，得∴若x→20，则3x－10＝20，得x＝10.【答案】 105．已知a，b为实数，集合M＝，N＝{a,0}，f ：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b的值为________．【解析】 由题意知∴∴a＋b＝1.【答案】 16．如图231所示为一个从集合A到集合B的映射，这个映射表示的函数的奇偶性是________．(填“奇函数”“偶函数”“既是奇函数又是偶函数”“既不是奇函数也不是偶函数”)图231【解析】 该映射表示定义域为{±1，±2}，值域为{1,3}的函数，定义域关于数“0”对称，且f (1)＝f (－1)＝1，f (2)＝f (－2)＝3，因此这个映射表示的函数为偶函数．【答案】 偶函数7．设f ：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B可能是________．(填序号) ①∅；②∅或{1}；③{1}；④∅或{2}．【解析】 若x2＝1，则x＝±1，若x2＝2，则x＝±，所以A中最多含有－，－1,1，四个元素，所以A∩B＝∅或A∩B＝{1}．【答案】 ②8．已知A＝{a，b，c}，B＝{1,2}，从A到B建立映射f ，使f (a)＋f (b)＋f (c)＝4，则满足条件的映射共有________个. 【解析】 ∵4＝2＋1＋1，∴a，b，c中有一个对应2，另两个只能对应1，共有三种情况．【答案】 3二、解答题9．已知A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6}，取适当的对应法则．(1)以集合A为定义域，B为值域的函数有多少个？(2)在所有以集合A为定义域，B为值域的函数中，满足条件f (1)≤f (2)≤f (3)≤f (4)的函数有多少个？【解】 (1)根据映射与函数的定义，集合A中的元素均可与B中的两个元素对应，故从A到B可建立24＝16个函数，但在1,2,3,4都对应5或都对应6这两种情况下，值域不是B，应予以排除，所以集合A为定义域，B为值域的函数有14个．(2)在上述14个函数中，满足条件f (1)≤f (2)≤f (3)≤f (4)的函数具体为：f (1)＝5，f (2)＝f (3)＝f (4)＝6；f (1)＝f (2)＝5，f (3)＝f (4)＝6；f (1)＝f (2)＝f (3)＝5，f (4)＝6.所以满足条件的函数共有3个．10．已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|－1≤x≤1}，对应关系f ：x→y＝ax.若在f 的作用下能够建立从A到B的映射f ：A→B，求实数a的取值范围．【解】 ①当a≥0时，由－2≤x≤2，得－2a≤ax≤2a.若能够建立从A到B的映射，则[－2a,2a]⊆[－1,1]，即∴0≤a≤.②当a<0时，集合A中元素的象满足2a≤ax≤－2a，若能建立从A到B的映射，则[2a，－2a]⊆[－1,1]，即∴－≤a<0.综合①②可知－≤a≤.[能力提升]1．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，则下列能表示从P到Q的映射的是________．(填序号)①f ：x→y＝x；②f ：x→y＝x；③f ：x→y＝x；④f ：x→y＝.【解析】 如果从P到Q能表示一个映射，根据映射的定义，对P中的任一元素，按照对应法则f 在Q中有唯一元素和它对应，③中，当x＝4时，y＝×4＝∉Q.【答案】 ①②④2．若集合A＝{0,1,2}，f ：x→x2－2x是从A到B的映射，则集合B中至少有________个元素．【解析】 由A＝{0,1,2}，f ：x→x2－2x，分别令x＝0,1,2，∴x2－2x＝0，－1,0.又根据集合中元素的互异性，∴B中至少有2个元素．【答案】 23．已知f 是从集合M到N的映射，其中M＝{a，b，c}，N＝{－3,0,3}，则满足f (a)＋f (b)＋f (c)＝0的映射f 的个数是________. 【解析】 【答案】 74．已知A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，其中m，n∈N*.若x∈A，y∈B，有对应法则f ：x→y＝px＋q是从集合A到集合B的一个映射，且f (1)＝4，f (2)＝7，试求p，q，m，n的值. 【解】 由f (1)＝4，f (2)＝7，列方程组：⇒故对应法则为f ：x→y＝3x＋1.由此判断出A中元素3的对应值是n4或n2＋3n.若n4＝10，因为n∈N*，不可能成立，所以n2＋3n＝10，解得n＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A中的元素m的对应元素是n4时，即3m＋1＝16，解得m＝5.当集合A中的元素m的对应元素是n2＋3n时，即3m＋1＝10，解得m＝3.由元素互异性知，舍去m＝3.故p＝3，q＝1，m＝5，n＝2.。