将军饮马问题类型一、轴对称变换的应用（将军饮马问题）2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．举一反三：【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?4. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小5已知∠MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM, ON与点A、B，已知＝15，则△PAB 的周长为（ ） A. 15 B 7.5 C. 10 D. 246. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等. 7、2、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数. 8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为______. 答案:2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．举一反三：【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．【答案】作点M关于OA的对称点，过作OB的垂线交OA于P、交OB于Q，侧M→P→Q为最短路线．如图：3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?【答案与解析】见下图4.【解析】作法如下：作M点关于OB的对称点，过作⊥于OA于H，交OB于P，点P为所求.5【答案】A； 提示：根据轴对称的性质，，△PAB 的周长等于.6、 MN的中垂线与∠AOB 的平分线的交点即为所求；如图所示： 7、解：分别作P关于OM、ON的对称点，，连接交OM于A，ON于B.则△PAB为符合条件的三角形. ∵∠MON＝40° ∴∠＝140°. ∠＝∠PAB,∠＝∠PBA. ∴ (∠PAB＋∠PBA)＋∠APB＝140° ∴∠PAB＋∠PBA＋2∠APB＝280° ∵∠PAB＝∠＋∠, ∠PBA＝∠＋∠ ∴∠＋∠＋∠＝180° ∴∠APB＝100°8 4；【解析】过D作DP⊥BC，此时DP长的最小值是.因为∠ABD＝∠CBD，所以AD＝DP＝4.第4页 共4页。