江西省重点中学盟校2020届高三数学下学期第一次联考试题 理第I卷(选择题 共60分)一、选择题：(每小题5分，共60分每小题所给出的四个选项只有一项是符合题意)1.已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，集合B＝{x|()2>1}，则A∩B＝A.(－∞，0) B.(2，＋∞) C.(－∞，－1) D.(0，＋∞)2.i为虚数单位，a为正实数，若复数z＝为纯虚数，则a＝A.1 B. C. D.23.已知实数a＝2ln2，b＝2＋2ln2，c＝(ln2)2，则a，b，c的大小关系是A.c 14.在二项式(x2＋)6的展开式中，其常数项是15，如图所示，阴影部分是由曲线y＝x2和圆x2＋y2＝a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为 15.过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且A、C位于x轴同侧，若|AC|＝2|AF|，记|BF|＝m，|AF|＝n，则等于 16.已知数列{an}满足：a1＝a2＝a3＝1，(n≥3，n∈N*)，数列{bn}满足：(n∈N*)则bn＋1－bn的取值范围是 三、解答题：(本大题共6小题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1)证明：a，c，b成等比数列(2)若c＝3，且4sin(C－)cosC＝1，求△ABC的周长18.(本小题满分12分)已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，在AD上取一点E满足2AE＝ED现将△CDE沿CE折起使点D移动至P点处，使得PA＝PB1)求证：平面PCE⊥平面ABCE；(2)求二面角B－PA－E的余弦值19.(本小题满分12分)某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元。 某医院准备一次性购买2台这种机器现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数1)求X的分布列；(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算?20.(本小题满分12分)已知△ABC中，B(－1，0)，C(1，0)，AB＝4，点P在AB上，且∠BAC＝∠PCA1)求点P的轨迹E的方程：(2)若Q(1，)，过点C的直线与B交于M，N两点，与直线x＝4交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为k1，k2，k3，求证：为定值21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xex－ex－mx2＋mx(m∈R)(1)当m＝0时，求函数f(x)的极值：(2)若函数f(x)存在三个零点x1，x2，x3，满足x1 1)曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)求曲线c上的点到直线l的距离的取值范围23.(本小题满分10分)选修4－5；不等式选讲已知a>0，b>0，a＋2b＝3证明：(1)a2＋b2≥；(2)a3b＋4ab3≤2020届江西省盟校第一次联考理科数学试题（答案）一、 选择题 CCDBA BBACB BD. 13．1； 14．；15．3；16．12.如图．是边中点，是边中点，∵，∴是外心，作，∵平面，∴平面，∴，取，易得，∴是三棱锥的外接球的球心是中点，则，，∴，∵，∴，∴，设，则，，又，∴，过且与垂直的截面圆半径为，则，这是最小的截面圆半径，最大的截面圆半径等于球半径，16.，两式相减可得： ，又由于，得故：17.（1）证明：由正弦定理得：……………2分 ，………………………………4分 所以成等比数列……………………………………………6分（2）由……8分 由余弦定理得：，又，所以……………………10分 于是得：……………………………………11分 所以的周长为.…………………………………………………………12分18解：（1）依题意可得：， 分别取线段的中点，连接的三边， 则，，而为梯形的中位线， 有，，……………2分 且，故：………………3分 ，且不与平行， 综上所述，…………5分（2）过点作与平行线作轴，分别以为轴建立空间直角坐标系 则，，，………………6分 ，，………………7分 设向量，则有令，得：……8分 同理：平面的法向量,得，…………10分 故：二面角的余弦值………………12分19．解：（1）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6. ………1分 ， ， ， ， ， ， ，………3分（注：此步骤中，写对任意一个可得1分，全对得2分）∴的分布列为0123456……………………5分（2）选择延保方案一，所需费用元的分布列为：70009000110001300015000P…………7分（注：此步骤中，取值全对可得1分）(元). …………8分选择延保方案二，所需费用元的分布列为：100001100012000P…………10分（注：此步骤中，取值全对可得1分） (元). ………………………11分∵，∴该医院选择延保方案二较合算. ……………………12分20. 解： （1）如图三角形中，，所以， 所以， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴为4的椭圆（不包含实轴的端点），………………2分 所以点的轨迹的方程为.………………4分 注：答轨迹为椭圆，但方程错，给3分；不答轨迹，直接写出正确方程，得4分（未写出，这次不另外扣分）. （2）如图，设，，可设直线方程为，则，………………5分 由可得，，，………6分 ，，，， ，………………8分 因为………………10分 ，所以为定值.………………12分21解：（1）当时，，………………1分 令得 故：的增区间为；减区间为………………3分 所以当x=0时，f(x)的极小值为-1，无极大值。 …………4分（2）方程等价于或…………5分 记函数，在上递减，上递增 且当，，故：要使存在三零点， 则需，方程在区间和内各有一根，…………6分 满足①，②，且 设，则联立方程①②，得：…………7分 代入，得： …………8分 记函数，…………10分 对于，当时， 且恒成立，故：当时，，单增 所以当时，取得最大值…………12分22.【解】（1），平方后得，…………2分 又，的普通方程为．…………3分 ，即，…………4分 将代入即可得到．…………5分（2）将曲线化成参数方程形式为（为参数），…………6分 则，其中，…………8分 所以．…………10分23. 证明：（1） 表示点P（a,b）到原点的距离的平方，而原点到直线的距离为， ∴；…………5分（2）∵，∴，，…………6分 ，…………8分 易知时，取得最大值．∴．…………10分 。
14.在二项式(x2＋)6的展开式中，其常数项是15，如图所示，阴影部分是由曲线y＝x2和圆x2＋y2＝a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为 15.过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且A、C位于x轴同侧，若|AC|＝2|AF|，记|BF|＝m，|AF|＝n，则等于 16.已知数列{an}满足：a1＝a2＝a3＝1，(n≥3，n∈N*)，数列{bn}满足：(n∈N*)则bn＋1－bn的取值范围是 三、解答题：(本大题共6小题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1)证明：a，c，b成等比数列(2)若c＝3，且4sin(C－)cosC＝1，求△ABC的周长18.(本小题满分12分)已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，在AD上取一点E满足2AE＝ED现将△CDE沿CE折起使点D移动至P点处，使得PA＝PB1)求证：平面PCE⊥平面ABCE；(2)求二面角B－PA－E的余弦值19.(本小题满分12分)某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元。
某医院准备一次性购买2台这种机器现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数1)求X的分布列；(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算?20.(本小题满分12分)已知△ABC中，B(－1，0)，C(1，0)，AB＝4，点P在AB上，且∠BAC＝∠PCA1)求点P的轨迹E的方程：(2)若Q(1，)，过点C的直线与B交于M，N两点，与直线x＝4交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为k1，k2，k3，求证：为定值21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xex－ex－mx2＋mx(m∈R)(1)当m＝0时，求函数f(x)的极值：(2)若函数f(x)存在三个零点x1，x2，x3，满足x1 1)曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)求曲线c上的点到直线l的距离的取值范围23.(本小题满分10分)选修4－5；不等式选讲已知a>0，b>0，a＋2b＝3证明：(1)a2＋b2≥；(2)a3b＋4ab3≤2020届江西省盟校第一次联考理科数学试题（答案）一、 选择题 CCDBA BBACB BD. 13．1； 14．；15．3；16．12.如图．是边中点，是边中点，∵，∴是外心，作，∵平面，∴平面，∴，取，易得，∴是三棱锥的外接球的球心是中点，则，，∴，∵，∴，∴，设，则，，又，∴，过且与垂直的截面圆半径为，则，这是最小的截面圆半径，最大的截面圆半径等于球半径，16.，两式相减可得： ，又由于，得故：17.（1）证明：由正弦定理得：……………2分 ，………………………………4分 所以成等比数列……………………………………………6分（2）由……8分 由余弦定理得：，又，所以……………………10分 于是得：……………………………………11分 所以的周长为.…………………………………………………………12分18解：（1）依题意可得：， 分别取线段的中点，连接的三边， 则，，而为梯形的中位线， 有，，……………2分 且，故：………………3分 ，且不与平行， 综上所述，…………5分（2）过点作与平行线作轴，分别以为轴建立空间直角坐标系 则，，，………………6分 ，，………………7分 设向量，则有令，得：……8分 同理：平面的法向量,得，…………10分 故：二面角的余弦值………………12分19．解：（1）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6. ………1分 ， ， ， ， ， ， ，………3分（注：此步骤中，写对任意一个可得1分，全对得2分）∴的分布列为0123456……………………5分（2）选择延保方案一，所需费用元的分布列为：70009000110001300015000P…………7分（注：此步骤中，取值全对可得1分）(元). …………8分选择延保方案二，所需费用元的分布列为：100001100012000P…………10分（注：此步骤中，取值全对可得1分） (元). ………………………11分∵，∴该医院选择延保方案二较合算. ……………………12分20. 解： （1）如图三角形中，，所以， 所以， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴为4的椭圆（不包含实轴的端点），………………2分 所以点的轨迹的方程为.………………4分 注：答轨迹为椭圆，但方程错，给3分；不答轨迹，直接写出正确方程，得4分（未写出，这次不另外扣分）. （2）如图，设，，可设直线方程为，则，………………5分 由可得，，，………6分 ，，，， ，………………8分 因为………………10分 ，所以为定值.………………12分21解：（1）当时，，………………1分 令得 故：的增区间为；减区间为………………3分 所以当x=0时，f(x)的极小值为-1，无极大值。 …………4分（2）方程等价于或…………5分 记函数，在上递减，上递增 且当，，故：要使存在三零点， 则需，方程在区间和内各有一根，…………6分 满足①，②，且 设，则联立方程①②，得：…………7分 代入，得： …………8分 记函数，…………10分 对于，当时， 且恒成立，故：当时，，单增 所以当时，取得最大值…………12分22.【解】（1），平方后得，…………2分 又，的普通方程为．…………3分 ，即，…………4分 将代入即可得到．…………5分（2）将曲线化成参数方程形式为（为参数），…………6分 则，其中，…………8分 所以．…………10分23. 证明：（1） 表示点P（a,b）到原点的距离的平方，而原点到直线的距离为， ∴；…………5分（2）∵，∴，，…………6分 ，…………8分 易知时，取得最大值．∴．…………10分 。
1)曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)求曲线c上的点到直线l的距离的取值范围23.(本小题满分10分)选修4－5；不等式选讲已知a>0，b>0，a＋2b＝3证明：(1)a2＋b2≥；(2)a3b＋4ab3≤2020届江西省盟校第一次联考理科数学试题（答案）一、 选择题 CCDBA BBACB BD. 13．1； 14．；15．3；16．12.如图．是边中点，是边中点，∵，∴是外心，作，∵平面，∴平面，∴，取，易得，∴是三棱锥的外接球的球心是中点，则，，∴，∵，∴，∴，设，则，，又，∴，过且与垂直的截面圆半径为，则，这是最小的截面圆半径，最大的截面圆半径等于球半径，16.，两式相减可得： ，又由于，得故：17.（1）证明：由正弦定理得：……………2分 ，………………………………4分 所以成等比数列……………………………………………6分（2）由……8分 由余弦定理得：，又，所以……………………10分 于是得：……………………………………11分 所以的周长为.…………………………………………………………12分18解：（1）依题意可得：， 分别取线段的中点，连接的三边， 则，，而为梯形的中位线， 有，，……………2分 且，故：………………3分 ，且不与平行， 综上所述，…………5分（2）过点作与平行线作轴，分别以为轴建立空间直角坐标系 则，，，………………6分 ，，………………7分 设向量，则有令，得：……8分 同理：平面的法向量,得，…………10分 故：二面角的余弦值………………12分19．解：（1）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6. ………1分 ， ， ， ， ， ， ，………3分（注：此步骤中，写对任意一个可得1分，全对得2分）∴的分布列为0123456……………………5分（2）选择延保方案一，所需费用元的分布列为：70009000110001300015000P…………7分（注：此步骤中，取值全对可得1分）(元). …………8分选择延保方案二，所需费用元的分布列为：100001100012000P…………10分（注：此步骤中，取值全对可得1分） (元). ………………………11分∵，∴该医院选择延保方案二较合算. ……………………12分20. 解： （1）如图三角形中，，所以， 所以， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴为4的椭圆（不包含实轴的端点），………………2分 所以点的轨迹的方程为.………………4分 注：答轨迹为椭圆，但方程错，给3分；不答轨迹，直接写出正确方程，得4分（未写出，这次不另外扣分）. （2）如图，设，，可设直线方程为，则，………………5分 由可得，，，………6分 ，，，， ，………………8分 因为………………10分 ，所以为定值.………………12分21解：（1）当时，，………………1分 令得 故：的增区间为；减区间为………………3分 所以当x=0时，f(x)的极小值为-1，无极大值。
…………4分（2）方程等价于或…………5分 记函数，在上递减，上递增 且当，，故：要使存在三零点， 则需，方程在区间和内各有一根，…………6分 满足①，②，且 设，则联立方程①②，得：…………7分 代入，得： …………8分 记函数，…………10分 对于，当时， 且恒成立，故：当时，，单增 所以当时，取得最大值…………12分22.【解】（1），平方后得，…………2分 又，的普通方程为．…………3分 ，即，…………4分 将代入即可得到．…………5分（2）将曲线化成参数方程形式为（为参数），…………6分 则，其中，…………8分 所以．…………10分23. 证明：（1） 表示点P（a,b）到原点的距离的平方，而原点到直线的距离为， ∴；…………5分（2）∵，∴，，…………6分 ，…………8分 易知时，取得最大值．∴．…………10分 。
