刚体的平面运动,第八章,在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动此处有影片播放,8.1 刚体平面运动概述和运动分解,,,,S,,A,刚体上每一点都在与固定平面M平行的平面内运动若作一平面N与平面M平行,,并以此去截割刚体得一平面图形S 可知该平面图形S始终在平面N内运动因而垂直于图形S的任一条直线A1A2必然作平动A1A2的运动可用其与图形 S的交点 A的运动来替代刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面S内的运动这就是平面图形的运动方程S,M,O,8.1 刚体平面运动概述和运动分解,,,j,平面图形S在其平面上的位置完全可由图形内任意线段OM的位置来确定，而要确定此线段的位置，只需确定线段上任一点O的位置和线段OM与固定坐标轴Ox间的夹角j即可点O的坐标和j角都是时间的函数，即,平面图形的运动方程可由两部分组成：一部分是平面图形按点O的运动方程xO = f1(t), yO = f2(t)的平移，没有转动；另一部分是绕O点转角为j = f3(t)的转动8.1 刚体平面运动概述和运动分解,平面运动的这种分解也可以按上一章合成运动的观点加以解释以沿直线轨道滚动的车轮为例，取车厢为动参考体，以轮心点O为原点取动参考系Oxy，则车厢的平动是牵连运动，车轮绕平动参考系原点O的转动是相对运动，二者的合成就是车轮的平面运动(绝对运动)。
单独轮子作平面运动时，可在轮心O处固连一个平动参考系Oxy，同样可把轮子这种较为复杂的平面运动分解为平动和转动两种简单的运动y,x,O,,,,,y,x,O,,8.1 刚体平面运动概述和运动分解,对于任意的平面运动，可在平面图形上任取一点O，称为基点在这一点假想地安上一个平移参考系Oxy；平面图形运动时，动坐标轴方向始终保持不变，可令其分别平行于定坐标轴Ox和Oy 于是平面图形的平面运动可看成为随同基点的平移和绕基点转动这两部分运动的合成y,x,O,,,y,x,O,,,,O,M,平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和,这就是平面运动的速度合成法或称基点法1. 基点法,已知O点的速度及平面图形转动的角速度，求M点的速度8.2 求平面图形内各点速度的基点法,,,例1 椭圆规机构如图已知连杆AB的长度l = 20 cm，滑块A的速度vA=10 cm/s ，求连杆与水平方向夹角为30时，滑块B和连杆中点M的速度解: AB作平面运动，以A为基点，分析B点的速度由图中几何关系得：,方向如图所示A,vA,B,wAB,,,30,M,30,以A为基点，则M点的速度为,将各矢量投影到坐标轴上得：,解之得,,,,,,,A,vA,B,wAB,,,30,M,,x,y,,,例2 行星轮系机构如图。
大齿轮I固定，半径为r1；行星齿轮II沿轮I只滚而不滑动，半径为r2系杆OA角速度为wO求轮II的角速度wII及其上B，C两点的速度解:行星齿轮II作平面运动，求得A点的速度为,,wO,,,,O,D,A,,C,B,I,II,以A为基点，分析两轮接触点D的速度由于齿轮I固定不动，接触点D不滑动，显然vD0，因而有vDAvAwO(r1+r2)，方向与vA相反，vDA为点D相对基点A的速度，应有vDA wIIDA所以,,,,wO,,,,O,D,A,,C,B,,,I,II,以A为基点，分析点B的速度vBA与vA垂直且相等，点B的速度,以A为基点，分析点C的速度vCA与vA方向一致且相等，点C的速度,同一平面图形上任意两点的速度在其连线上的投影相等这就是速度投影定理2. 速度投影定理,由于vBA垂直于AB，因此vBAAB=0于是,将等式两边同时向AB方向投影:,8.2 求平面图形内各点速度的基点法,,,A,B,,,,,例3 用速度投影定理解例1解：由速度投影定理得,解得,,,,,,A,vA,B,,,30,定理：一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,设有一个平面图形S角速度为w，图形上点A的速度为vA，如图。
在vA的垂线上取一点C (由vA到AC的转向与图形的转向一致)，有,如果取AC vA /w ，则,,,该点称为瞬时速度中心，或简称为速度瞬心图形内各点速度的大小与该点到速度瞬心的距离成正比速度的方向垂直于该点到速度瞬心的连线，指向图形转动的一方8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,,,,,,,,,,,,w,C,确定速度瞬心位置的方法有下列几种：,(1) 平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动，图形与固定面的接触点C就是图形的速度瞬心如车轮在地面上作无滑动的滚动时8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,(2) 已知图形内任意两点A和B的速度的方向，速度瞬心C的位置必在每点速度的垂线的交线上8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,(3) 已知图形上两点A和B的速度相互平行，并且速度的方向垂直于两点的连线AB，则速度瞬心必定在连线AB与速度矢vA和vB端点连线的交点C上8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,(4)某瞬时，图形上A、B两点的速度相等,如图所示，图形的速度瞬心在无限远处瞬时平动：此时物体上各点速度相同，但加速度不一定相等),8.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,另外注意：瞬心的位置是随时间在不断改变的，它只是在某瞬时的速度为零，加速度并不为零。
确定瞬心的一般方法：,,例4 用速度瞬心法解例1解： AB作平面运动,,,,,,A,vA,B,,,30,,,C,,,M,瞬心在C点,例5 已知轮子在地面上作纯滚动，轮心的速度为v，半径为r求轮子上A1、A2、A3和A4点的速度A3,w,,,,A2,A4,A1,,,解：很显然速度瞬心在轮子与地面的接触点即A1,各点的速度方向分别为各点与A点连线的垂线方向，转向与w相同，由此可见车轮顶点的速度最快，最下面点的速度为零O,,,,,,45,,90,,,90,O1,O,B,A,,D,例6 已知四连杆机构中O1Bl，AB3l/2，ADDB，OA以w绕O轴转动求：(1) AB杆的角速度；(2) B和D点的速度w,解：AB作平面运动，OA和O1B都作定轴转动，C点是AB杆作平面运动的速度瞬心C,,例7 直杆AB与圆柱O相切于D点，杆的A端以 匀速向前滑动，圆柱半径 ，圆柱与地面、圆柱与直杆之间均无滑动，如图，求 时圆柱的角速度解一：圆柱作平面运动，其瞬心在 点，设其角速度为 AB圆柱作平面运动，其瞬心在 点，则,即,亦即,故,例9 图示机构，已知曲柄OA的角速度为w，OAABBO1O1Cr，角a = b = 60，求滑块C的速度。
解：AB和BC作平面运动，其瞬心分别为C1和C2点，则,,,,,,,,,,,w,a,b,O,A,B,O1,C,C1,C2,,,,,,,,,解：连杆AB作平面运动，瞬心在C1点，则,例10 曲柄肘杆式压床如图已知曲柄OA长r以匀角速度w转动，AB = BC = BD = l，当曲柄与水平线成30角时，连杆AB处于水平位置，而肘杆DB与铅垂线也成30角试求图示位置时，杆AB、BC的角速度以及冲头C 的速度A,O,B,D,,,C,,30,30,w,,,,C1,,C2,,连杆BC作平面运动，瞬心在C2点，则,,例11 曲柄连杆机构中，在连杆AB上固连一块三角板ABD，如图所示机构由曲柄O1A带动已知曲柄的角速度为w2rad/s，曲柄O1A=0.1m，水平距离O1O2=0.05m，AD=0.05m，当O1AO1O2时，ABO1O2 ，且AD与AO1在同一直线上，j =30试求三角板ABD的角速度和点D的速度解、运动分析：O1A和O2B作定轴转动；ABD作平面运动，其速度瞬心在点CO1,O2,A,B,D,,,j,,,,,C,,w2,wABD,,w,,,,,,,,,,如图所示由牵连运动为平动的加速度合成定理，有,而,其中,故,由于牵连运动为平动，所以ae=aA，于是有,8.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,B,A,,,,即：平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与相对基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。
这就是平面运动的加速度合成法，称为基点法B,A,aA,aB,aA,aBA,,,w,a,8.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,,,,,,,,,,,,,,,解： 如图所示由于此式对任意时间都成立，故两边对时间求导有,由此可得,再对时间求导有,由此可得,例14 求圆轮在地面上作纯滚动时的角速度w和角加速度aw,,j,O,O,r,M,M,s,vO,vO,,,a,,例15 车轮在地面上作纯滚动，已知轮心O在图示瞬时的速度为vO，加速度为aO，车轮半径为r，如图试求轮缘与地面接触点C的加速度解：车轮作平面运动，取O点为基点，则C点的加速度为,取如图的投影轴，将各矢量投影到投影轴上得,,,,,,,方向由C点指向O点a,,,w,,aO,C,O,vO,aO,,,,例16 平面四连杆机构中，曲柄OA长r，连杆AB长l4r当曲柄和连杆成一直线时，此时曲柄的角速度为w，角加速度为a，试求摇杆O1B的角速度和角加速度的大小及方向解：AB作平面运动，由题设条件知，AB的速度瞬心在B点，也就是说，vB = 0，故：,,O,,,,,O1,A,B,w,a,30,30,,,,,,,vA,取A为基点分析B点的加速度如图所示：,其中：,,O,,,,O1,A,B,,,,,,,,,,将加速度向h轴投影得 ：,,O,,,,O1,A,B,,,,,,,,,,,h,30,,,,,,,,,,,,,,,,,A,B,C,D,,,,,O,100,,,,,100,vC,vB,45,45,例17 平面四连杆机构的尺寸和位置如图所示，如果杆AB以等角速度w = 1 rad/s绕A轴转动，求C点的加速度。
解：AB和CD作定轴转动，BC作平面运动，其B、C两点的运动轨迹已知为圆周，由此可知vB和vC的方向，分别作vB和vC两个速度矢量的垂线得交点O即为该瞬时BC的速度瞬心由几何关系知,wBC,w,,,,,,,,,,A,B,C,D,,,,aB,45,,,,,,aB,,,80.54,取B为基点分析C点的加速度，有,,,,,,,将C点的加速度向BC方向投影得：,aC,负值表明实际方向与假设方向相反例18 图示曲柄连杆机构中，已知曲柄OA长0.2 m，连杆AB长1m，OA以匀角速度w =10 rad/s绕O轴转动求图示位置滑块B的加速度和AB杆的角加速度解：AB作平面运动，瞬心在C点，则,,,,,,,,,,,,,O,w,wAB,,45,A,45,B,C,AB作平面运动，以A点为基点，则B点的加速度为,其中,,,,,,,,,O,45,A,B,,x,将B点加速度投影到h轴上得,,h,将B点加速度投影到x轴上得,,解：薄板作平面运动，取B为基点分析A点的加速度如图所示：,例19 图示正方形薄板边长20 mm，在其平面内运动某瞬时顶点A和B的加速度分别为 和 ，方向如图求薄板的角速度和角加速度。
D,C,B,A,其中 ：,将等式两边分别向x和y方向投影得：,,,,D,C,B,A,再取B为基点分析C点的加速度如图所示,将加速度分别向x和y方向投影得：,其中,方向与CD成45夹角指向右下方D,C,B,A,例20 半径r = 1m的轮子，沿水平直线轨道纯滚动，轮心具有匀加速度aC = 0.5 m/s2，借助于铰接在轮缘A点上的滑块，带动杆OB绕垂直图面的轴O转动，在初瞬时(t = 0)轮处于静止状态，当t = 3s时机构的位置如图试求杆OB在此瞬时的角速度和角加速度解：当t=3s时，轮心C的速度,轮子作平面运动，瞬心在D点，则,,,,,,,,,,,,,,,r,C,,O,A,B,vA,vC,aC,45,D,取滑块A为动点，动系取在OB杆上，动点的速度合成矢量图如图所示ve,vr,轮作平面运动，取C为基点，则A点的加速度,根据牵连运动为转动的加速度合成定理，动点A的绝对加速度为,,,,,,,,,,,,r,C,,O,A,B,aC,45,D,于是可得,其中,取如图的投影轴，由以上加速度合成矢量式，将各矢量投影到h轴上得,,,,,,,,,,,r,C,,O,A,B,aC,45,D,,aK,于是，杆OB的角加速度为,转向如图所示。
h,例21 图示机构中，曲柄OA长为r，绕O轴以等角速度w0转动，AB6r，BC 求图示位置时滑块C的速度和加速度Ex 9-19,,,,,,,,,,,A,B,O,C,,,C2,C1,,60,wO,60,90,解：AB和BC分别作平面运动，A点绕O作圆周运动，B、C分别在滑道内作直线运动，依据A、B、C三点的速度可以分别求出AB的速度瞬心C1和BC的速度瞬心C2，如图所示加速度分析取A为基点分析B点的加速度,将B点的加速度向水平方向投影得：,,,,,,A,B,O,C,,,,再取B为基点分析C点的加速度,其中,将C点的加速度向铅直方向投影得：,求得的加速度为负值说明与假设方向相反，即滑块C的加速度方向应为向上A,B,O,C,,,,本章结束,,。