目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、二、无穷大无穷大 三三、无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 一、一、无穷小无穷小 第四节无穷小与无穷大目录 上页 下页 返回 结束 当一、一、无穷小无穷小定义定义1.若0 xx 时,函数,0)(xf则称函数)(xf0 xx 例如:,0)1(lim1xx函数 1x当1x时为无穷小;,01limxx函数 x1x时为无穷小;,011limxx函数 x11当x)x(或为时的无穷小无穷小.时为无穷小.)x(或目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小!因为0)(lim0 xfxx,0,0当00 xx时,0)(xf显然 C 只能是 0!CC0 xx 时,函数,0)(xf(或 )x则称函数)(xf为0 xx 定义定义1.若(或 )x则 时的无穷小无穷小.目录 上页 下页 返回 结束 其中 为0 xx 时的无穷小量.定理定理 1.(无穷小与函数极限的关系)Axfxx)(lim0 Axf)(,证证:Axfxx)(lim0,0,0当00 xx时,有 Axf)(Axf)(0lim0 xx对自变量的其它变化过程类似可证.目录 上页 下页 返回 结束 Mxf)(二、二、无穷大无穷大定义定义2.若任给任给 M 0,000 xx一切满足不等式的 x,总有则称函数)(xf当0 xx 时为无穷大,使对.)(lim0 xfxx若在定义中将 式改为Mxf)(则记作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(Xx)(x)(lim(xfx(正数正数 X),记作,)(Mxf总存在目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如例如,函数),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n当2n但0)(2nf,时所以x)(xf不是无穷大!xxycosOxy3.具有相同符号的无穷大之和是无穷大；4.无穷大之积是无穷大；目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如例如,函数),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n当2n但0)(2nf,时所以x)(xf不是无穷大!xxycosOxy目录 上页 下页 返回 结束 例例.证明11lim1xx证证:任给正数 M,要使,11Mx即,11Mx只要取,1M则对满足10 x的一切 x,有Mx11所以.11lim1xx11xy若,)(lim0 xfxx则直线0 xx 为曲线)(xfy 的铅直渐近线.铅直渐近线说明说明:xyO1目录 上页 下页 返回 结束 三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系若)(xf为无穷大,)(1xf为无穷小;若)(xf为无穷小,且,0)(xf则)(1xf为无穷大.则(自证)据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理2.在自变量的同一变化过程中,说明说明:目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系3.无穷小与无穷大的关系第五节 。