护士工作时间的安排摘 要：本文是在满足各个时间段护士满足人员需要的情况下求最值问题，是护 士排班的规划优化问题，因此我们针对题中两小问建立两种数学模型在尽 量减少约束条件的情况下，运用线性规划建立模型，再利用LINGO求解，分 别算出所需护士人员总数及加班人员人数总和，接着根据实际情况进行人性 化排班，调整工作模式，制定优化方案在问题一中，我们研究的是，在满足护士每日工作时间，工作强度和各 个时间段人员需求的条件下，求每天最少需要多少护士的最终目的根据每 位护士每天工作8小时，且在工作4 小时后需要休息1 小时这一条件，以及 各个时间段的人员需求量不同的约束条件，假设第i时间段有Xi名护士开始 上班，以各时间段护士最少需求量ai为约束条件，利用LINGO求解得每天该 科所需的最少护士数，继而进行方案优化在问题二中，考虑到限定医院护士总人数为 80，加班人员每天加班的时 间为 2 小时，且紧随在后一个4小时工作时段之后，中间没有休息，满足各 时间段的人员需求且每天安排最少护士加班分别假设出正常上班人员安排 在各时间段开始上班的人数W.，加班人员安排在各时间段开始上班的人数Y., 再以各时间段护士最少需求量a i及排班要求为约束条件建立最优化模型，并 采用LINGO编程求解。
关键词： 护士排班 线性规划 最优方案 Lingo一、问题的重述某医院心脑血管科护士的一个工作日分为12个时间段，每个时间段需要护士人数如 下表：每个时段的人员需求编号时段需要护士人数10:00——-2:001522:00——-5:001534:00——-6:001546:00——-8:003558:00——-10:0040610:00-—12:0040712:00-——14:0040814:00-——16:0030916:00-——18:00311018:00——20:00351120:00——22:00301222:00——24:0020护士排班需满足的条件：（1）每位护士每天工作 8 小时，且在工作 4 小时后需要休息 1 小时 （2）总护士人数为80 人，如果加班，每天加班的时间为2 小时，且紧随在 后一个 4 小时工作时段之后，中间没有休息求解问题： （1）每位护士每天工作8 小时，且在工作4 小时后需要休息1 小时，为满 足需求最少需要多少名护士？如果满足需求的排班方案不止一种，给出合理 的排班方案2）只能考虑让部分护士加班，求解出护士工作时间安排的方案方案，使 需要加班的护士数目最少，并给出最合理的排班和加班方案。
二、问题的分析 因为医院护士职业的特殊性以及相关医院制度的规定，还需考虑护士在上班 时的精力合理化安排，所以护士工作时间安排问题是客观因素较多，较为复 杂的优化问题相对该问题的处理首先应考虑各个时间段的护士需求量，并 依据其他条件制定工作时间安排的约束条件，其次，在同时考虑使排班更加 人性化的情况下，算出加班护士人数的最优解具体分析如下： 问题一的分析 首先由于每个护士每天工作8小时，且在工作4个小时后需要休息1个小时， 故划分24 个时段以下列出了每个时段的人员需求量：编号 时段 需要护士人数1000——100152100——200153200——300154300——400155400——500156500—600157600——700358700——800359800——9004010900——10:00401110:00-——11:004012 11:00——12:00 40131200——130040141300——140040151400——150030161500——160030171600——170031181700——180031191800——190035201900——200035212000——210030222100——220030232200——230020242300——240020每位护士每天工作 8 小时，且在工作 4 小时后需要休息 1 小时，例如： 在第1 时段内工作的护士人数等于第1 时段开始工作的护士人数、第24时 段开始工作的人数、第 23 时段开始工作的人数、第22时段开始工作的人数、 以及第 20 个、第 19 个、第 18 个和第 17 个时段开始工作的护士人数之和。
即：在第1 时段，正在工作的护士分别是在时段17、18、19、20、22、23、 24、1开始工作例如：有个护士在时段2 开始工作，则她在时段 2、时段 3、 时段 4 和时段 5 中将进行工作，在第6 时段休息，然后在时段7、时段8、 时段 9 和时段 10 继续工作 为保证在各个时段工作的护士人数满足该时段的最少人员需求，所以以符合 上述条件的最少护士工作人数为目标函数，以护士每天工作8 小时，且在连 续工作4小时后休息1小时为约束条件，建立整数规划模型I,求解满足条 件是需要护士工作的最少人数 针对于白天和凌晨的医院对护士需求不同的情况，及就诊病人的人数不同致 使护士工作量的不同，故将护士的工作模式分为白班和夜班两种（白班：若 护士由第7个时段至第15个时段开始上班,则工作4小时后休息2小时，再 工作4小时;夜班：若护士由第16个时段至第6个时段开始上班,则工作4小 时后休息 1小时，再工作 4小时），使工作时间安排更加人性化，仍以已知 各时间段人员需求为约束条件，建立整数规划模型 II 求解该条件下所需护士 工作的最少人数 在凌晨时段（时段1到时段5）开始上班和下班的护士在生活上会有很多的 不便，比如乘车问题、安全问题等等。
为最大限度方便护士上下夜班，现对 模型II进行改进以满足上述条件并需在凌晨时段开始上下班的总护士人数 最少为目标函数，建立模型III,得出更加合理，更为人性化的工作时间安排 表问题二的分析目前该科室仅有 80 名护士，在此种情况下不能满足各时间段对护士的最少 人员需求，故需要安排部分护士加班如果护士加班，则每天加班的时间为 2小时，且紧随在后一个4 小时工作时段之后，中间没有休息，同问题一类 似分析所以以满足条件时加班人数最少为目标函数，确定第i时段以加班 状态下的工作模式为约束条件，建立模型W,求解满足需求时需要加班的护 士最少人数最后，设计更人性化的加班制度，规定只让加白班的护士加班， 优化加班安排三、模型的假设1. 假设护士对工作时间安排没有异议；2. 假设不考虑法定假期对工作时间安排的影响；3. 假设不存在护士在上班时迟到和早退；4. 假设不考虑护士因请假或其他特殊情况而导致换班；5. 假设所给数据符合真实情况且每个约束条件医院排班均必须考虑；6. 假设计算所得人数为小数时可忽略小数点向上进一；7. 假设每天的工作量是固定的，无特殊情况增加人员；四、 符号说明1. t ：第 i 个时间段所需人员数。
i2. X ：安排在第 i 个时间段开始上班的人数i3. MIN：满足需求最少需要的护士人员总数4. z :第i个时段开始工作的护士人数中不需要加班的人数i5. Y ：第 i 个时段开始工作的护士人数中需要加班的人数i (注:i=1, 2 ……24)五、模型的建立与求解从所需解决的问题及对问题所做的分析假设出发，我们对本题问题一所涉及的问题建立了模型I,以求出满足该医院心脑血管科需求，最少需要安 排多少名护士因护士上班时间内工作量不同，为使工作时间安排更人性化， 故建立模型II考虑到凌晨时段上下班，会对护士的生活、人身安全等造成 不便，故对模型II进行优化，得到模型III对问题二，建立模型W,以求取在只有80名护士时，工作时间的安排 方案，使得所需加班的护士数目最少之后，按照更人性化的要求，再次对 模型进行优化5.1 问题一的求解I的建立：已知在该医院里，一个工作日内的 12 个两小时长的时段的人员要求， 选取一个小时为时间间隔，将每天划分24 个时段为满足每个时间段都有 足够的护士在工作，且每名护士每天工作8小时，且连续工作4小时后需休 息一小时由此可以列出约束条件，在满足需求的前提下，以所需的最少护 士人数为目标函数的整数规划模型。
24模型I如下：Min = 丫 Xji=15.1・1・2模型I的求解利用 LINGO 软件编程可对该模型求解，得到结果如下（代码详见附录- 代码 1）图1 . 代码1 运行结果结论：在将一天划分24个时段的情况及护士每天工作8小时，且每连 续工作 4 小时需获得1 小时休息时间的条件下，医院该科室为满足每日每时 段工作量的需求，至少需要91 名护士表1・模型I的工作时间排班表时段号时间段开始工作的人数总工作人数100-01015201-02415302-03215403-04815504-05715605-06815706-07835807-08635908-094401009-101401110-115401211-120401312-136401413-144401514-157301615-162301716-178311817-182311918-198352019-201352120-210302221-220302322-230202423-240205.1.2.1模型II的建立针对医院在白天和凌晨对护士需求、就诊病人的人数不同，致使护士的 工作量不同，为了护士能得到充分休息，故将护士的工作模式分为白班和夜 班两种。
在白班工作的护士，将得到2小时休息时间而夜班仍为休息1 小时 （注：白班是从时间段7 至时间段15开始上班的班次，其他为夜班班次） 根据上述条件，建立整数规划模型II以求解该条件下所需护士的最少人数模型11如下：min =£4xii 二 15.1.2.2模型II的求解利用 LINGO 软件编程可对该模型求解，得到结果如下（代码详见附录- 代码 2）图2 . 代码2 运行结果结论：将一天划分24 个时段，护士每天工作8 小时，在工作时间分为 白班和夜班的情况下，医院该科室为满足每日每时段工作量的需求，至少需 要 90 名护士表2・模型II的工作时间排班表时段号时间段开始工作的人数总工作人数100-01015201-02315302-03015403-04715504-05815605-06815706-07935807-08735908-096401009-100401110-115401211-127401312-133401413-142401514-150301615-166301716-177311817-180311918-197352019-205352120-210302221-220302322-230202423-240205・1・3・1模型III的建立在对模型II的求解过程中发现，在凌晨12点至5点上下班的护士，人 数过多。
为最大限度方便护士上下夜班，现对模型II进行优化以满足上述 条件并需在凌晨时段开始上下班的总护士人数最少为目标函数，建立模型III, 得出更加合理，更为人性化的工作时间安排表模型皿如下：5.1.3.2模型皿的求解利用 LINGO 软件编程可对该模型求解，得到结果如下（代码详见附录- 代码 3）图3 . 代码3 运行结果结论：由表3可以看出，对模型II进行改进后，护士在凌晨时段（时段 1 到时段 5） 开始上下班的护士人数，从18 人下降至 14 人，总人数减少了 4人比较改进后的模型III,能在很大程度上降低护士对时间安排的不满意 度，使护士在生活上享受更大便利，人身安全得到更大保障表3・模型III的工作时间排班表时段号时间段开始工作的人数总工作人数100-01015201-02115302-03015403-04615504-05715605-06815706-071335807-08635908-096401009-101401110-116401211-126401312-131401413-140401514-150301615-166301716-176311817-180311918-199352019-207352120-211302221-220302322-230202423-240205.2问题二的求解5.2.1.1模型W的建立在该科室仅有80名护士的情况下，由于上述方案所需人数多于 80人， 故需在正常排班的基础上，在连续工作4小时休息1小时再工作4小时之后， 无休息地安排2小时的加班时间。
在总人数80 人的约束下，为求解满足需 求时需要加班的护士最少人数最后，在此基础上，设计更人性化的加班制 度，以对该模型进行更深一步优化模型W详见附录-代码45.2.1.2模型W的求解利用LINGO软件编程可对该模型求解，得到结果如下代码详见附录-代码 4）结论：在仅有80 名护士，按照上述条件，对正常排班时间外所需加班的护士，最少需要30 人表4・模型W的工作时间排班表时 段 号时间段需要加 班的人 数不加班的人 数开始工作的 人数总工作人 数100-0100015201-0290915302-0303315403-0406615504-0501115605-0601115706-070131335807-0803335908-09000401009-10000401110-11808401211-12202401312-13505401413-14178401514-15022301615-16044301716-17099311817-18011311918-19000352019-20000352120-21000302221-22000302322-23000202423-24505205.2.2.1 彳模型V的建立对排班方案进行优化，上班时间分为白班和夜班。
白班上4 小时，休息2 小时，再接着上班 4 小时，加班 2 小时；夜班上 4 小时，休息 1 小时，再 接着上班 4 小时，加班 2 小时模型V详见附录-代码55・2・2.2模型V的求解利用 LINGO 软件编程可对该模型求解，得到结果如下代码详见附录- 代码4）27 人在仅有加班的护士，最少为作的总工作人时间段结论段 号班的人 数数人数数100-0110115201-0280815302-0300015403-0415615504-0501115605-0607715706-070121235807-0806635908-09000401009-10606401110-11505401211-12527401312-13101401413-14011401514-15033301615-16011301716-17099311817-18000311918-19066352019-20000352120-21000302221-22000302322-23000202423-24000205・2・2.3对模型V的优化在模型V的基础上，出于更人性化考虑，仅让白天工作的护士加班，建立模型（代码详见附录-代码 6）以进行求解。
求解结果：表6・模型V的优化工作时间排班表时 段 号时间段需要加 班的人 数不加班的人 数开始工作的 人数总工作人 数100-0100015201-0205515302-0300015403-0405515504-0505515605-060101015706-07191035807-0850535908-09505401009-10505401110-11505401211-12505401312-13000401413-14505401514-15000301615-16000301716-17055311817-18000311918-19055352019-20000352120-21055302221-22000302322-23000202423-2400020六、模型的评价与推广6.1 模型的优点文中将所需数据及最后结果均以表格的形式给出，使其更为清晰直观；在 各个问题下所建立的整数规划模型通俗易懂，紧扣题目要求，结合实际情况 进行分析求解，使模型具有较强的通用性和可执行性；在对模型进行优化时， 我们最大程度上从护士方便工作角度考虑，建立了新的工作模式，并使工作 时间安排更加人性化，具有较强的实用性；在求解模型时使用 LINGO 软件， 算法简明易懂，易于推广且有较高可信度。
6.2 模型的缺点在该问题中我们的各个模型，均是在假设一些理想情况的基础上建立的， 未全面考虑各种客观因素的影响，难以避免地会存在一些不当之处例如， 在对模型进行优化时，我们为减轻白天护士工作负担，定义了新的工作模式， 其中白班为护士连续工作4小时后休息2 小时，然后继续工作4小时，夜班 为休息1小时，但在实际情况中，护士连续工作4小时后可休息不止1 或2 小时因此我们的模型在此显示了一定的局限性6.3 模型的改进与推广6.3.1 模型的改进在该问题下，我们所建立的模型对于护士休息时间的考虑较为局限在实 际情况下，工作时间内护士会出现因特殊情况而请假；护士上班不连续工作 4 小时；医院发生突发状况护士需求量增加；法定假期换休对工作时间安排 的影响等综合以上不确定因素，可建立工作时间不连续的整数规划模型， 并利用枚举法求得工作时间安排的最优解6.3.2 模型的推广 在该问题下建立的整数规划模型不仅可解决护士的工作时间安排，在改变限 定条件后，也可在其他领域有所应用，例如解决公司保安执勤问题、酒店服 务人员的值班问题等等附录附录-代码 1：model:MIN=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X16+X17+X18+X19+X20+X 21+X22+X23+X24;X1+X24+X23+X22+X20+X19+X18+X17>=15;X2+X1+X24+X23+X21+X20+X19+X18>=15;X3+X2+X1+X24+X22+X21+X20+X19>=15;X4+X3+X2+X1+X23+X22+X21+X20>=15;X5+X4+X3+X2+X24+X23+X22+X21>=15;X6+X5+X4+X3+X1+X24+X23+X22>=15;X7+X6+X5+X4+X2+X1+X24+X23>=35;X8+X7+X6+X5+X3+X2+X1+X24>=35;X9+X8+X7+X6+X4+X3+X2+X1>=40;X10+X9+X8+X7+X5+X4+X3+X2>=40;X11+X10+X9+X8+X6+X5+X4+X3>=40;X12+X11+X10+X9+X7+X6+X5+X4>=40;X13+X12+X11+X10+X8+X7+X6+X5>=40;X14+X13+X12+X11+X9+X8+X7+X6>=40;X15+X14+X13+X12+X10+X9+X8+X7>=30;X16+X15+X14+X13+X11+X10+X9+X8>=30;X17+X16+X15+X14+X12+X11+X10+X9>=31;X18+X17+X16+X15+X13+X12+X11+X10>=31;X19+X18+X17+X16+X14+X13+X12+X11>=35;@gin(X1);@gin(X2);@gin(X4);@gin(X5);@gin(X6);@gin(X7);@gin(X8);@gin(X9);@gin (X10);@gin(X11);@gin(X12);@gin(X13);@gin(X14);@gin(15);@gin(16);@gin(X17);@g in(X18);@gin(X19);@gin(X20);@gin(X21);@gin(X22);@gin(X23);@gin(X24);End运行结果如下：附录-代码 2：@ LINGO 11.0 [Solution Report - LINGO1]Global tziptimal solution fowid・91.0000091.000000.5329071E-137233598Obj eut i时已 value:Ob j 已匚t ib「已 b owid:InfeasibiliEszt 已匸Ld已 d solve r mt 已匚is:Total solver iterations:VariableValueReduced CostXO0.0000000.1100000XI4. riuuuuu0. LlOOOLlLlX22.0000000.000000X 36. riLILIULIU0. LlOOOLlLlX48.0000001. 1100000X 510.000001. 1100000X67.0000001. 1100000X 74.0000001. 1100000X87.0000001.1100000X92.0000001.1100000X101.0000001.1100000XU0.0000000. 1100000X128.000000-1.1100000X133.000000-1.1100000X143.000000-1.1100000X155.0000000. 1100000X1610.000000. 1100000X172.000000-1.1100000X186.000000-1.1100000X193.000000-2. 1100000X200.000000-1.1100000X210.0000000. 1100000X220. riLILIULIU0. 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